數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折歷程

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。我們在學(xué)習(xí)過程中要了解數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的若干重要事件、重要人物和重要成果，初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，體會數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用，加深對數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)和鍥而不舍的探索精神。下面結(jié)合同學(xué)們學(xué)習(xí)有理數(shù)過程中遇到的幾個有關(guān)概念，聊聊它們產(chǎn)生的歷史。

有理數(shù)的產(chǎn)生

有理數(shù)產(chǎn)生的歷史可以追溯到古希臘時期，最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派系統(tǒng)研究。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了“萬物皆數(shù)”的概念，認(rèn)為所有的數(shù)都可以用整數(shù)或整數(shù)之比來表示。

有理數(shù)的名稱來源于西方，英文為“rational number”，其中“rational”通常的意義是“理性的”，但這個詞在古希臘的詞根為“ratio”，意為比率。因此，“有理數(shù)”實際上是指整數(shù)的“比”，而“無理數(shù)”則指不能精確表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)。在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，人們逐漸認(rèn)識到整數(shù)和分?jǐn)?shù)之間存在某種共同的性質(zhì)，即它們都可以表示為兩個整數(shù)的比。因此，整數(shù)和分?jǐn)?shù)被統(tǒng)稱為有理數(shù)。

在古希臘時期，有理數(shù)被廣泛應(yīng)用于測量和幾何學(xué)中，如在歐幾里得的幾何學(xué)中便有著系統(tǒng)的闡述。有理數(shù)的研究不僅限于古希臘，印度數(shù)學(xué)家也對有理數(shù)的研究有著重要的貢獻(xiàn)，并將其與分?jǐn)?shù)的發(fā)展密切關(guān)聯(lián)。此外，古埃及人在公元前1700年左右的草片文書中記錄了分?jǐn)?shù)的記法，中國《九章算術(shù)》中也記載了分?jǐn)?shù)的各種運算，這些都表明了有理數(shù)在早期數(shù)學(xué)中的重要地位。

然而，公元前500年左右，畢達(dá)哥拉斯的得意門生希帕索斯發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實：邊長為1的正方形，其對角線的長度與一邊的長度之比是不可公度比（能用整數(shù)之比表示的比稱作可公度比，意思為相比的兩個量可用公共度量單位量盡，而把不能這樣表達(dá)的比稱作不可公度比）。這與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的信念大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)引發(fā)了該學(xué)派內(nèi)部的恐慌。盡管如此，這一事件標(biāo)志著無理數(shù)的誕生，也是數(shù)學(xué)史上出現(xiàn)的第一次危機。

隨著數(shù)學(xué)理論的不斷完善和發(fā)展，有理數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位和作用也日益凸顯。它不僅在代數(shù)、幾何等多個數(shù)學(xué)分支中發(fā)揮著重要作用，還廣泛應(yīng)用于物理、工程、經(jīng)濟(jì)等各個領(lǐng)域。

負(fù)數(shù)發(fā)展的歷史

歲月的風(fēng)塵湮沒了許多科學(xué)歷史的真相，使后人無從尋覓，負(fù)數(shù)就是其中一例。負(fù)數(shù)的產(chǎn)生與使用、負(fù)數(shù)概念的形成和確立，經(jīng)歷了漫長的路程，回顧這段曲折的歷程，是耐人回味的。

最古老的負(fù)數(shù)的產(chǎn)生有兩種途徑：一是基于人類生活和生產(chǎn)實踐的經(jīng)驗，如在經(jīng)濟(jì)活動中，人們需要記錄債務(wù)、虧損以及收入不足等情況，這些都為負(fù)數(shù)的產(chǎn)生提供了必要性；二是源于數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，減法運算中兩個正數(shù)相減可能得到一個負(fù)結(jié)果，這也促使了負(fù)數(shù)概念的形成，如3-5=-2。為了解決這些問題，人類不得不創(chuàng)造出一類數(shù)——負(fù)數(shù)。因此，負(fù)數(shù)誕生的同時，人類便開始使用負(fù)數(shù)了。

負(fù)數(shù)的概念最早產(chǎn)生于我國，系統(tǒng)地揭示這顆璀璨明珠的精彩記載便是成書于公元1世紀(jì)左右的《九章算術(shù)》。《九章算術(shù)》的“方程”一章闡述了負(fù)數(shù)及其加減運算法則。公元3世紀(jì)，數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》的注文中更加明確地敘述了正數(shù)、負(fù)數(shù)：“今兩算得失相反，要令正、負(fù)以名之。”大意是說，意義相反的兩個數(shù)，要以正、負(fù)加以區(qū)別。

公元7世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在其編著的《婆羅摩修正體系》中研究了正負(fù)數(shù)的四則運算，但犯了一個錯誤，認(rèn)為“零除以零得空無一物，即零”。500多年后，婆什迦羅在《算法本源》一書中比較全面地討論了負(fù)數(shù)。他首次提出了用記號表示負(fù)數(shù)，即在數(shù)上加小點或小圓圈表示負(fù)數(shù)。他還正確地使用了負(fù)數(shù)運算法則：“正數(shù)、負(fù)數(shù)的平方，常為正數(shù)；正數(shù)的平方根有兩個，一正一負(fù)；負(fù)數(shù)無平方根，因為它不是一個平方數(shù)?！钡诮夥匠坛霈F(xiàn)負(fù)根時說：“這里不要第二個數(shù)值（負(fù)根），因為它不行，人們不贊成負(fù)數(shù)的解?！?/p>

負(fù)數(shù)概念在我國產(chǎn)生大約一千年之后，才經(jīng)由阿拉伯傳入歐洲。那時，歐洲的數(shù)學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)等科學(xué)也已相當(dāng)發(fā)達(dá)，但普遍認(rèn)可負(fù)數(shù)則又經(jīng)歷了一百年之久。在古希臘，首先使用負(fù)數(shù)的是公元4世紀(jì)左右的著名數(shù)學(xué)家丟番圖。因此，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生、認(rèn)識和使用，包括定義和表示，中國遙遙領(lǐng)先于世界。

數(shù)軸誕生的背景

數(shù)軸的產(chǎn)生源于數(shù)學(xué)家們對于數(shù)與圖形之間關(guān)系的不斷探索和深化理解。作為數(shù)學(xué)中的一個重要工具，其起源和發(fā)展經(jīng)歷了多個階段，記錄了無數(shù)數(shù)學(xué)家的智慧和努力。

數(shù)軸的概念最早可以追溯到法國數(shù)學(xué)家笛卡爾提出的平面直角坐標(biāo)系。笛卡爾在思考如何用幾何圖形來表示抽象方程時，受到了蜘蛛在墻角織網(wǎng)的啟發(fā)。他觀察到墻角由三條射線相交而成，這三條射線可以定義為三個方向。于是，他設(shè)想可以用這三個方向的射線作為數(shù)軸，來表示空間中任意一點的位置。雖然當(dāng)時笛卡爾并沒有直接定義數(shù)軸的概念，但他的這一思想為數(shù)軸的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。17世紀(jì)，笛卡爾在《幾何學(xué)》中首次明確了坐標(biāo)系和數(shù)軸的概念，將數(shù)軸引入幾何學(xué)中，用以表示實數(shù)的大小和相對位置。

隨著時間的推移，數(shù)學(xué)家們逐漸完善了數(shù)軸的概念。他們選擇一條直線，并規(guī)定了原點、正方向和單位長度，用這條直線上的點來表示實數(shù)。這樣，數(shù)軸就正式誕生了。在數(shù)軸上，原點表示為0，正方向通常選擇向右或向上，單位長度則是用來衡量數(shù)軸上點與點之間距離的標(biāo)準(zhǔn)。

數(shù)軸不僅是表示實數(shù)的工具，它還與第一次數(shù)學(xué)危機的解決有關(guān)。歐幾里得時期，人們認(rèn)識到有理數(shù)和無理數(shù)都是實際存在的數(shù)，并給它們統(tǒng)一命名為“實數(shù)”。在數(shù)軸產(chǎn)生之后，數(shù)學(xué)家們繼續(xù)探索其性質(zhì)和應(yīng)用。他們發(fā)現(xiàn)數(shù)軸不僅可以用來表示實數(shù)，還可以擴(kuò)展到復(fù)數(shù)等其他數(shù)域。

數(shù)軸的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)家們不斷探索和創(chuàng)新的結(jié)果。數(shù)學(xué)家們用智慧和汗水構(gòu)建了這一重要的數(shù)學(xué)工具。數(shù)軸不僅為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，也為其他學(xué)科和領(lǐng)域的研究提供了有力支持。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級中學(xué)）