基于極限分析的三葉墻抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型研究

蔣宇洪，楊 娜

(北京交通大學(xué)土木工程系，北京 100044)

砌體結(jié)構(gòu)是歷史最為長(zhǎng)遠(yuǎn)、應(yīng)用最為廣泛的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)之一，隨著砌筑材料、砌筑工藝的變換，會(huì)呈現(xiàn)不同的力學(xué)性能。過去砌筑高大的砌體結(jié)構(gòu)時(shí)，為了滿足承載能力和穩(wěn)定性的需求，工匠選擇大厚度墻體作為主要承重構(gòu)件。受限于當(dāng)時(shí)的材料加工、運(yùn)輸手段，很難采用巨型砌塊砌筑厚墻，于是工匠提出了一種利用多種規(guī)格砌塊的砌筑工藝：如圖1 所示，采用較大且規(guī)整的砌塊砌筑墻體的兩片外層，外層所夾空間填充著夯土或較小石塊-砂漿的混合物。這樣的結(jié)構(gòu)被稱為三葉墻(three-leaf wall)，常出現(xiàn)在城墻、教堂、宮殿、民居等古代砌體建筑中；墻體外層被稱為外葉墻(outer-leaf)，填充內(nèi)層被稱為內(nèi)葉墻(innerleaf)。

圖1 三葉墻(西藏古建石砌體)Fig.1 Three-leaf wall (Tibetan ancient stone masonry)

目前，國(guó)外學(xué)者們對(duì)三葉墻進(jìn)行了許多試驗(yàn)研究，著重于探索構(gòu)造、材料、加固手段對(duì)三葉墻力學(xué)性能和行為的影響。Binda 等[1]對(duì)不同外-內(nèi)葉墻連接形式的三葉墻進(jìn)行抗壓試驗(yàn)，指出具有鍵狀連接的三葉墻僅比平整連接的三葉墻的強(qiáng)度有小幅的提高。Silva 等[2]、Corradi 等[3]、Valluzzi等[4]和Oliveira 等[5]分別對(duì)未加固和已加固的三葉墻進(jìn)行抗壓試驗(yàn)，對(duì)比分析了不同加固手段對(duì)三葉墻承載能力的影響。

砌體結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬的收斂性一直是個(gè)難題，而三葉墻構(gòu)造比普通磚墻構(gòu)造更為復(fù)雜，給數(shù)值模擬提出了更大的挑戰(zhàn)。為了規(guī)避有限元法的收斂難題，同時(shí)達(dá)到更快的計(jì)算效率，一些學(xué)者采用極限分析對(duì)砌體結(jié)構(gòu)的極限強(qiáng)度進(jìn)行研究，極限分析常用于土體穩(wěn)定問題的求解[6-8]，但在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用較少。Sloan[9]提出了一種三角形單元的有限元塑性極限分析下限法，提供了對(duì)結(jié)構(gòu)劃分任意網(wǎng)格并進(jìn)行極限分析的基礎(chǔ)。近年來，一些外國(guó)學(xué)者將其用于砌體結(jié)構(gòu)的極限強(qiáng)度預(yù)測(cè)。Sutcliffe 等[10]提出將Sloan[9]的有限元塑性極限分析下限法運(yùn)用于砌體結(jié)構(gòu)剪力墻的抗剪強(qiáng)度計(jì)算；Milani 等[11]基于極限分析法，假定砌塊為剛體，砂漿傳遞的應(yīng)力為多項(xiàng)式分布，提出了一個(gè)分析砌體結(jié)構(gòu)面內(nèi)力學(xué)性能的模型，并研究了砌體構(gòu)造參數(shù)和材料性質(zhì)對(duì)結(jié)果的影響。Casolo等[12]在Milani 等[11]所提模型的基礎(chǔ)上，在厚度方向上進(jìn)行了拓展，對(duì)三葉墻的面外抗彎性能進(jìn)行了研究。

目前利用極限分析對(duì)砌體結(jié)構(gòu)進(jìn)行的研究很少，而且?guī)缀鯖]有關(guān)于三葉墻承載能力的研究。本文基于砌體結(jié)構(gòu)有限元塑性極限分析下限法，將受壓三葉墻破壞模式與材料試驗(yàn)、小型砌體試件試驗(yàn)的結(jié)果相結(jié)合，賦予了本構(gòu)模型參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，考慮了受壓三葉墻的不均勻壓力荷載分布，提出了一個(gè)三葉墻抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型。根據(jù)文獻(xiàn)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用該模型預(yù)測(cè)了多個(gè)三葉墻的抗壓強(qiáng)度，并與試驗(yàn)結(jié)果和抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)公式的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，說明了該模型的準(zhǔn)確性。

1 有限元塑性極限分析下限法

如果一結(jié)構(gòu)內(nèi)部的應(yīng)力場(chǎng)均滿足平衡微分方程，不違背屈服條件，同時(shí)邊界應(yīng)力場(chǎng)滿足邊界條件，這樣的應(yīng)力場(chǎng)稱為靜力許可應(yīng)力場(chǎng)[13]。下限極限分析法就是在所有靜力許可應(yīng)力場(chǎng)對(duì)應(yīng)的荷載中，找到最大的荷載，即為極限荷載。該方法的基本假設(shè)包括：1)材料簡(jiǎn)化為理想剛塑性；2)結(jié)構(gòu)瀕臨破壞前的變形仍為小變形；3)材料滿足Drucker 公設(shè)。

本文以Sutcliffe 等[10]的砌體結(jié)構(gòu)有限元塑性極限分析下限法為基礎(chǔ)，將結(jié)構(gòu)離散成三角形單元和界面單元，把單元的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力作為未知量，根據(jù)平衡條件、應(yīng)力連續(xù)條件、邊界條件、屈服準(zhǔn)則得到約束方程，由外荷載和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的關(guān)系式獲得目標(biāo)函數(shù)，最后基于約束方程和目標(biāo)函數(shù)，提出線性規(guī)劃問題，求得外荷載的極限值。值得注意的是，有限元塑性極限分析下限法與常用的有限元法有很大差別，該方法基本變量是節(jié)點(diǎn)應(yīng)力，不涉及單元應(yīng)變和結(jié)構(gòu)變形，所以沒有要求滿足幾何方程、變形協(xié)調(diào)方程和物理方程。此外，該方法所施加的邊界條件固定不變，因此只能對(duì)單調(diào)靜力加載問題進(jìn)行求解。

1.1 單元離散和平衡條件

有限元塑性極限分析下限法將結(jié)構(gòu)離散成如圖2 所示的三角形單元，三角形單元之間利用零厚度的應(yīng)力間斷界面單元進(jìn)行連接。圖2 中的x向代表水平方向；y向代表豎向；界面單元與x軸正向的夾角為θ。

圖2 有限元離散Fig.2 Finite element discretization

三角形單元上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)上均有三個(gè)平面應(yīng)力分量，同時(shí)設(shè)定單元內(nèi)部的應(yīng)力分量是線性分布的。于是該三角形單元的任意一點(diǎn)的應(yīng)力可用節(jié)點(diǎn)應(yīng)力進(jìn)行表示，如式(1)所示：

式中：{σ}是三角形上任意一點(diǎn)的平面應(yīng)力，{σ}={σxσy τxy}T；N1、N2、N3為三角形單元的形函數(shù)，其表達(dá)式見文獻(xiàn)[14]；{σj}為三角形節(jié)點(diǎn)j的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力，{σj}={σx jσyj τxy j}T。

任意一點(diǎn)的應(yīng)力需要滿足平衡微分方程，即需滿足式(2)、式(3)。

式中，γ為材料重度。

將式(1)代入式(2)、式(3)并整理，即可得到平衡條件對(duì)應(yīng)的約束方程Ae，見式(4)：

1.2 應(yīng)力連續(xù)條件

如圖2 所示，單元邊界上的應(yīng)力可用應(yīng)力分量 σx、σy、τxy表示，也可用法向應(yīng)力 σn和切應(yīng)力τ表示，兩組應(yīng)力分量可用式(5)、式(6)轉(zhuǎn)換：

有限元塑性極限分析下限法不同于常見的有限法，相鄰單元的節(jié)點(diǎn)可在同一坐標(biāo)重合，利用應(yīng)力間斷界面單元相連。為了滿足應(yīng)力連續(xù)，允許重合節(jié)點(diǎn)的 σx、σy、τxy不等，但必須保證重合節(jié)點(diǎn)的 σn和τ相等。對(duì)于如圖2 所示的兩單元，當(dāng)重合節(jié)點(diǎn)①、節(jié)點(diǎn)②的邊界應(yīng)力滿足式(7)時(shí)，即代表滿足應(yīng)力連續(xù)條件。

式中：σn1、σn2分別是節(jié)點(diǎn)①、節(jié)點(diǎn)②的法向應(yīng)力；τ1、τ2分別是節(jié)點(diǎn)①、節(jié)點(diǎn)②的切應(yīng)力。

由于單元應(yīng)力是線性分布的，當(dāng)作為線段端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力保持連續(xù)時(shí)，該線段上任意一點(diǎn)的應(yīng)力也保持連續(xù)。將式(5)、式(6)代入式(7)并整理，得到應(yīng)力連續(xù)條件對(duì)應(yīng)的約束方程Ai，見式(8)。

1.3 邊界條件

實(shí)際問題中，結(jié)構(gòu)邊界往往受到法向、剪切向的分布荷載，如圖3 所示。分布荷載和其合力的關(guān)系式，如式(9)所示：

圖3 應(yīng)力邊界條件Fig.3 Stress boundary condition

式中：q、t分別為邊界上法向和切向分布荷載；P、Q分別是法向和切向分布荷載合力；S為結(jié)構(gòu)的邊界。

因?yàn)閱卧獞?yīng)力是線性分布的，式(9)可寫為式(10)：

如圖3 所示，為了簡(jiǎn)化模型，假設(shè)處于同一條邊界上的節(jié)點(diǎn)①、節(jié)點(diǎn)②的應(yīng)力滿足：σn1=σn2，τ1=τ2；將式(5)、式(6)代入式(10)中，經(jīng)過整理，可以得到約束方程Ab，見式(11)。

值得注意的是，當(dāng)外荷載為線性分布荷載或不均勻分布荷載時(shí)，可以通過細(xì)分邊界單元，對(duì)邊界施加等效的多段均布荷載代替。

1.4 屈服準(zhǔn)則

本文基于Lourenco 等[15]提出的改進(jìn)摩爾-庫(kù)侖屈服模型，對(duì)摩爾-庫(kù)侖模型加入了最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力的限制，如圖4 所示。為了滿足線性規(guī)劃的使用限制，對(duì)該屈服面進(jìn)行線性近似簡(jiǎn)化。同時(shí)，將該屈服面分割成三部分，分別表示不同的破壞形式：帽蓋面、剪切破壞面、立斷面分別反映的是材料受壓破壞、剪切破壞、受拉破壞。

圖4 摩爾-庫(kù)侖模型屈服面Fig.4 Yield surface of Mohr-Coulomb model

為了引出該模型的屈服方程，先給出經(jīng)典的摩爾-庫(kù)侖屈服方程，如式(12)所示：

式中，c、φ分別為材料的內(nèi)粘聚力和內(nèi)摩擦角。

將式(5)、式(6)代入式(12)，即可得到利用平面應(yīng)力分量表示的屈服方程，再代入不同大小的φk、ck，即可分段表示線性近似屈服函數(shù)，如式(13)所示：

式中，下標(biāo)k代表不同段屈服面的編號(hào)，k為1、2、3 時(shí)，分別對(duì)應(yīng)圖4 屈服面上半部分的立斷面、剪切破壞面、帽蓋面，k為4、5、6 時(shí)，分別對(duì)應(yīng)下半部分的立斷面、剪切破壞面、帽蓋面。

對(duì)式(13)進(jìn)行整理，可用式(14)表示。

該屈服方程的具有多個(gè)不同大小的φk、ck。屈服面代表剪切破壞時(shí)，φk、ck與材料真實(shí)的內(nèi)粘聚力內(nèi)摩擦角φ、c相等；屈服面代表抗壓破壞和抗拉破壞時(shí)，φk是根據(jù)所需屈服面形狀設(shè)定的，參考Sutcliffe 等[10]的設(shè)定值，設(shè)定φ1=φ4=89°，φ3=φ6=150°，ck可結(jié)合抗壓、抗拉強(qiáng)度得到。綜上，φk、ck可按式(15)設(shè)定：

式中：fc、ft分別為材料的抗壓、抗拉強(qiáng)度。

將式(14)進(jìn)行整理，可得屈服準(zhǔn)則的約束方程Ay，見式(16)：

由于單元應(yīng)力線性分布，當(dāng)單元的各個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)力滿足屈服條件時(shí)，則單元中任一點(diǎn)的應(yīng)力均不會(huì)違背屈服條件。

1.5 目標(biāo)函數(shù)

對(duì)于結(jié)構(gòu)極限荷載問題，需要在保證滿足約束條件的同時(shí)，找到能使外荷載盡量大的應(yīng)力場(chǎng)。將式(5)和式(6)代入式(10)，可以得到外荷載和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的關(guān)系式，如式(17)所示：

1.6 下限線性規(guī)劃問題

通過綜合上述函數(shù)約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)，可以獲得如式(18)所示的線性規(guī)劃問題。通過對(duì)該問題的求解，所得C{σj}l為結(jié)構(gòu)極限荷載的下限解，此時(shí)的{σj}即為極限荷載對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)整體應(yīng)力解。

式中，C=[c1c2]。

2 三葉墻抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型

本文在Sutcliffe 等[10]的砌體結(jié)構(gòu)有限元塑性極限分析下限法的基礎(chǔ)上，結(jié)合常見受壓三葉墻破壞模式，基于材料試驗(yàn)和小型砌體試件試驗(yàn)賦予了本構(gòu)模型參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，考慮了不均勻壓應(yīng)力邊界條件，對(duì)三葉墻抗壓強(qiáng)度問題進(jìn)行求解。

2.1 受壓三葉墻破壞模式

三葉墻的受壓破壞通常呈現(xiàn)脆性，并且破壞時(shí)往往出現(xiàn)較為明顯的破壞現(xiàn)象。本文基于文獻(xiàn)[1 -5,16 -17]中的三葉墻抗壓試驗(yàn)的破壞現(xiàn)象，總結(jié)了如圖5 所示的常見受壓三葉墻破壞模式：

圖5 受壓三葉墻破壞模式Fig.5 Failure mode of three-leaf wall under compression

1)灰縫受壓而膨脹，導(dǎo)致砌塊受拉破壞：砌塊出現(xiàn)較為密集的豎向裂縫，裂縫可能貫穿多個(gè)砌塊和灰縫。砌體受到垂直于灰縫軸線的壓力作用時(shí)，由于砌塊和灰縫的彈性模量、泊松比差異，灰縫往往比石頭橫向膨脹得更多。為保持砌塊和灰縫之間的位移連續(xù)性，接觸界面粘結(jié)力和摩擦力使得灰縫受到側(cè)向位移約束。這導(dǎo)致灰縫處于三軸壓應(yīng)力狀態(tài)，砌塊同時(shí)處于單軸壓縮和雙向受拉的狀態(tài)。最終，砌塊的拉應(yīng)力達(dá)到了砌塊的抗拉強(qiáng)度，砌塊上最終出現(xiàn)受拉裂縫。

2)邊界約束和壓力作用下，砌塊受剪破壞：處于邊界的砌塊出現(xiàn)了由外向內(nèi)的斜豎向裂縫。在靠近邊界的部分，砌塊同時(shí)受到豎向壓力和水平向剪切力，砌塊切應(yīng)力超過砌塊抗剪強(qiáng)度而破壞。

3)內(nèi)葉墻壓壞：內(nèi)葉墻內(nèi)部出現(xiàn)多條豎向裂縫。內(nèi)葉墻是由比較碎小的砌塊和砂漿組成，承載能力很小；當(dāng)內(nèi)葉墻的壓應(yīng)力達(dá)到了其抗壓強(qiáng)度后，出現(xiàn)大量受壓裂縫。

4)接觸界面開裂：外-內(nèi)葉墻的接觸界面出現(xiàn)裂縫，可能是外、內(nèi)葉墻分離，也可能是該區(qū)域的砂漿開裂。三葉墻在承受壓力時(shí)，內(nèi)葉墻和外葉墻的接觸界面會(huì)發(fā)展橫向拉應(yīng)力，當(dāng)拉應(yīng)力超過界面抗拉強(qiáng)度時(shí)，界面開裂。

5)外葉墻受壓失穩(wěn)：內(nèi)葉墻膨脹，界面開裂并出現(xiàn)明顯的局部空隙，外葉墻砌塊向外鼓出并有脫落的趨勢(shì)。外葉墻在承受壓力的同時(shí)，內(nèi)葉墻的膨脹使得外葉墻產(chǎn)生了面外變形，該外葉墻受壓失穩(wěn)并喪失大部分承載能力。

從破壞現(xiàn)象可以看出：受壓三葉墻破壞模式1)～破壞模式4)均是不同組成部分的材料破壞；而破壞模式5)可以視為一個(gè)有側(cè)向位移的受壓柱的結(jié)構(gòu)破壞，該破壞與外葉墻外鼓變形、試件長(zhǎng)細(xì)比等因素直接相關(guān)。而本文采用的極限分析法不涉及變形變量，因此，本文的三葉墻抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型僅能反映除外葉墻受壓失穩(wěn)以外的受壓破壞模式1)～破壞模式4)。

上述破壞模式中，沒有灰縫壓應(yīng)力超過灰縫材料抗壓強(qiáng)度，導(dǎo)致喪失承載能力的破壞。這是因?yàn)槎鄶?shù)灰縫材料在受到超過自身抗壓強(qiáng)度的壓力之后，往往被壓縮密實(shí)[18]，如圖6 所示。但該灰縫仍然能起到傳遞壓應(yīng)力的作用，不會(huì)導(dǎo)致砌體結(jié)構(gòu)承載能力喪失。

圖6 壓縮密實(shí)的灰縫[18]Fig.6 Compressed joint[18]

2.2 本構(gòu)模型參數(shù)

除了常見的砌塊、灰縫砂漿的基本材性試驗(yàn)，學(xué)者們針對(duì)三葉墻特性，設(shè)計(jì)了特定的小型砌體試件試驗(yàn)。對(duì)于外葉墻，部分學(xué)者[1-2,17]模仿外葉墻構(gòu)造，砌筑如圖7(a)所示的外葉墻試件，將該試件的抗壓強(qiáng)度作為外葉墻抗壓強(qiáng)度，該方法可以較大程度地還原外葉墻的構(gòu)造，但是外葉墻試件所用砌塊往往是等厚度的，不能還原外葉墻砌塊厚度有變化的情況。而Oliveira 等[5]將少數(shù)砌塊和砂漿砌成如圖7(b)所示的棱柱體試件，將該棱柱體的抗壓強(qiáng)度作為外葉墻的強(qiáng)度。該方法的構(gòu)造相似程度較低，但是用料較少，可多次試驗(yàn)，降低結(jié)果離散性。對(duì)于內(nèi)葉墻，大多數(shù)學(xué)者[1,5,17]將碎石和砂漿混合，制成如圖7(c)所示的圓柱體，把該圓柱體的抗壓強(qiáng)度作為內(nèi)葉墻強(qiáng)度。

圖7 三葉墻小型砌體試件Fig.7 Small masonry specimen of three-leaf wall

砌體領(lǐng)域內(nèi)，學(xué)者們往往對(duì)材料試件進(jìn)行抗壓試驗(yàn)和抗折試驗(yàn)，分別得到該材料的抗壓強(qiáng)度和抗折強(qiáng)度。然后根據(jù)抗折強(qiáng)度與抗拉強(qiáng)度比例為1.5∶1 的關(guān)系，得到該材料的抗拉強(qiáng)度。而本文屈服準(zhǔn)則所用的材料參數(shù)不僅需要材料的抗壓、抗拉強(qiáng)度，還需要材料的內(nèi)粘聚力和內(nèi)摩擦角。本文借鑒Milani 等[11]的轉(zhuǎn)換方法，抗壓強(qiáng)度fc、抗拉強(qiáng)度ft與內(nèi)粘聚力c、內(nèi)摩擦角φ的關(guān)系式如式(19)、式(20)所示。

將式(19)和式(20)聯(lián)立方程求解，得式(21)、式(22)，將所得的抗壓強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度代入，即可獲得內(nèi)粘聚力c、內(nèi)摩擦角φ：

對(duì)于三葉墻的不同組分，均可采用式(14)、式(15)作為屈服函數(shù)，代入不同的材料參數(shù)即可。對(duì)于砌塊屈服模型，代入砌塊材性試驗(yàn)所得參數(shù)，可以反映三葉墻破壞模式2)；對(duì)于內(nèi)葉墻屈服模型，代入內(nèi)葉墻圓柱體抗壓試驗(yàn)所得參數(shù)，可以反映三葉墻破壞模式3)；對(duì)于灰縫的屈服模型，因砌體抗壓破壞基本不受灰縫材料抗壓強(qiáng)度的影響，采用Lourenco 等[15]的方法，代入外葉墻試件或棱柱體的抗壓強(qiáng)度作為灰縫的抗壓強(qiáng)度，其余參數(shù)采用灰縫材料的參數(shù)，可反映三葉墻破壞模式1)；對(duì)于外-內(nèi)葉墻界面屈服模型，采用灰縫材料的參數(shù)，反映的是三葉墻破壞模式4)。

2.3 不均勻壓應(yīng)力分布的邊界條件

對(duì)于三葉墻抗壓試驗(yàn)，外葉墻和內(nèi)葉墻構(gòu)造本身存在顯著的差異，導(dǎo)致豎向剛度不同，壓應(yīng)力分布不均勻。為了得到三葉墻合理的承載能力預(yù)測(cè)，本文借鑒Egermann 等[16]和Toumbakari 等[19]對(duì)三葉墻壓應(yīng)力的分析，提出一個(gè)考慮三葉墻不均勻壓應(yīng)力的邊界約束條件。

頂部平均壓應(yīng)力分布如圖8 所示，邊界平均應(yīng)力、應(yīng)變定義式見式(23)。

圖8 三葉墻頂部壓應(yīng)力分布Fig.8 Distribution of compressive stress on top of three-leaf wall

假設(shè)忽略了泊松比的影響，豎向平均壓應(yīng)力和平均壓應(yīng)變的關(guān)系式可表達(dá)為式(24)。

在砌體結(jié)構(gòu)抗壓試驗(yàn)中，往往通過大剛度的加載梁對(duì)試件施加壓力。那么，外、內(nèi)葉墻的豎向平均壓應(yīng)變是相等的，即，代入式(24)，推導(dǎo)可得式(25)：

將式(25)進(jìn)行整理，得到三葉墻頂部壓應(yīng)力的約束方程At，見式(26)。At是考慮了不均勻應(yīng)力分布的邊界條件約束方程，因此，在規(guī)劃問題中，At是Ab的一部分。

2.4 三葉墻有限元模型

本文模型采用了如圖9 所示的簡(jiǎn)化分離式建模方法：對(duì)于外葉墻部分，灰縫利用界面單元代替，砌塊利用擴(kuò)大化的砌塊單元代替，保證砌體結(jié)構(gòu)整體尺寸不發(fā)生改變；對(duì)于內(nèi)葉墻部分，簡(jiǎn)化為均勻統(tǒng)一的各向同性材料；對(duì)于外-內(nèi)葉墻接觸界面，采用界面單元代替。

圖9 三葉墻簡(jiǎn)化分離式模型及網(wǎng)格Fig.9 Simplified micro model and mesh of three-leaf wall

如圖9 所示，本文借鑒李澤[20]的單元?jiǎng)澐址椒?，?duì)三葉墻模型進(jìn)行有限元網(wǎng)格的劃分，將結(jié)構(gòu)劃分成一系列小方格，一個(gè)小方格由四個(gè)三角形網(wǎng)格組成。在三葉墻受壓?jiǎn)栴}中，結(jié)構(gòu)和邊界條件沿豎向中線對(duì)稱，因此可以將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為如圖10 所示的半結(jié)構(gòu)：原本為對(duì)稱軸的半結(jié)構(gòu)邊界設(shè)定為滑動(dòng)支座，切應(yīng)力為0；墻體側(cè)面通常不受外力作用，設(shè)置該半結(jié)構(gòu)左側(cè)法向應(yīng)力、切應(yīng)力均為0；同時(shí)，墻體頂部受到不均勻的壓應(yīng)力作用，具體設(shè)置方法見本文2.3 節(jié)。

圖10 三葉墻半結(jié)構(gòu)邊界條件及網(wǎng)格Fig.10 Boundary conditions and mesh of semi-structure of a three-leaf wall

本文采用MATLAB 編制了主體計(jì)算程序，利用軟件自帶的linprog 函數(shù)，對(duì)該線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。本文方法的流程圖如圖11 所示。

圖11 三葉墻抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型流程圖Fig.11 Flow chart of prediction model of compressive strength of three-leaf walls

3 結(jié)果分析

3.1 算例選擇

目前對(duì)三葉墻的抗壓性能已經(jīng)進(jìn)行了許多試驗(yàn)研究，但因?yàn)槠鲋牧?、砌筑工藝的多樣性，?dǎo)致不同類型三葉墻的結(jié)果差異較大。外葉墻砌塊的尺寸規(guī)格是影響砌體結(jié)構(gòu)不均勻性和性能的重要因素。如圖12 所示，常見的三葉墻砌塊種類包括：毛石、毛料石、細(xì)料石、黏土磚等，砌塊形狀規(guī)則程度、表面平整程度從前到后逐漸變高，對(duì)應(yīng)試件的不均勻程度和試驗(yàn)結(jié)果離散程度逐漸變低[3]。

圖12 三葉墻砌塊種類Fig.12 Type of block of three-leaf walls

考慮文獻(xiàn)所能提供材料參數(shù)的全面程度，本文選取了Binda 等[1]、Silva 等[2]、Oliveira 等[5]、Demir 等[17]的試驗(yàn)，進(jìn)行抗壓強(qiáng)度的計(jì)算。表1是文獻(xiàn)三葉墻的材料性能參數(shù)，基本取自于原文獻(xiàn)試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)。

表1 三葉墻抗壓試驗(yàn)的材料參數(shù)和結(jié)果Table 1 Material parameters and results of compressive tests of three-leaf walls

3.2 經(jīng)典三葉墻抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)公式

為了說明本文所預(yù)測(cè)的三葉墻抗壓強(qiáng)度的準(zhǔn)確性，分別采用本文方法與抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)公式，對(duì)三葉墻抗壓強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測(cè)。以下是學(xué)者們[1,4,17]曾提出的一些三葉墻抗壓強(qiáng)度的預(yù)測(cè)公式及相應(yīng)假定：

1)外葉墻的剛度遠(yuǎn)大于內(nèi)葉墻的剛度，因此，外葉墻承擔(dān)了絕大部分的荷載。

2)假設(shè)外、內(nèi)葉墻根據(jù)各自的體積承擔(dān)荷載。

3)假設(shè)外、內(nèi)葉墻根據(jù)各自的體積和調(diào)整系數(shù)承擔(dān)荷載。

式中：fw為三葉墻抗壓強(qiáng)度；fo、fi分別為外、內(nèi)葉墻強(qiáng)度；θo、θi分別為外、內(nèi)葉墻的抗壓強(qiáng)度調(diào)整系數(shù)；Vo、Vi分別是外、內(nèi)葉墻的體積。

值得注意的是，本文不進(jìn)行式(29)的對(duì)比，因?yàn)樵摴降臏?zhǔn)確性很大程度的依賴于調(diào)整系數(shù)θo、θi的大小。目前該系數(shù)設(shè)定往往取決于學(xué)者的經(jīng)驗(yàn)判斷，缺乏合理力學(xué)解釋，導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果不夠客觀。

3.3 三葉墻抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)結(jié)果的分析

為了證明本文抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性，接下來將對(duì)模型所得的抗壓強(qiáng)度和應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行分析。圖13 是分別利用本文方法和抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)公式所得的抗壓強(qiáng)度。由計(jì)算結(jié)果可以看出：式(27)、式(28)往往高估墻體的抗壓強(qiáng)度。這是因?yàn)轭A(yù)測(cè)公式假定了三葉墻的破壞模式是外葉墻壓壞或外、內(nèi)葉墻同時(shí)壓壞，沒有考慮到其他破壞模式的發(fā)生；此外，該公式?jīng)]有考慮到三葉墻壓應(yīng)力分布不均的狀態(tài)。對(duì)比本文方法所得強(qiáng)度與試驗(yàn)結(jié)果，除了Silva 等[2]試驗(yàn)的結(jié)果誤差為37%，其他試驗(yàn)誤差均在8%～20%范圍內(nèi)，說明了本文抗壓強(qiáng)度模型的有效性。Silva 等[2]的毛石砌塊三葉墻強(qiáng)度預(yù)測(cè)值的誤差較大，是因?yàn)槊鰤K不規(guī)則的規(guī)格導(dǎo)致外葉墻試件與三葉墻中的真實(shí)外葉墻存在構(gòu)造差距 。

圖13 預(yù)測(cè)抗壓強(qiáng)度與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig.13 Comparison of predicted and test values of compressive strength

圖14(a)是本文模型所得的豎向應(yīng)力云圖，該云圖是以半結(jié)構(gòu)應(yīng)力解為基礎(chǔ)，考慮單元應(yīng)力的線性分布特性，利用軸對(duì)稱特性獲得。圖14(b)是采用分離式建模，對(duì)三葉墻進(jìn)行彈性分析所得的應(yīng)力云圖[22]?？梢钥闯鰣D14(a)和圖14(b)中的應(yīng)力云圖分布規(guī)律相近，這說明了本文模型可以獲得三葉墻結(jié)構(gòu)較為合理的應(yīng)力場(chǎng)分布。壓應(yīng)力云圖表明：三葉墻處于一個(gè)不均勻受壓的狀態(tài)，外、內(nèi)葉墻協(xié)同承受豎向壓力荷載時(shí)，剛度更小的內(nèi)葉墻有下凹趨勢(shì)，為了平衡相鄰內(nèi)葉墻區(qū)域的變形趨勢(shì)，導(dǎo)致外葉墻內(nèi)側(cè)壓應(yīng)力更大，內(nèi)葉墻外側(cè)壓應(yīng)力更小。

圖14 壓應(yīng)力分布對(duì)比分析/MPaFig.14 Comparison of compressive stress distributions

3.4 網(wǎng)格細(xì)化對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響

為了探討單元網(wǎng)格細(xì)化程度對(duì)三葉墻預(yù)測(cè)抗壓強(qiáng)度的影響，本文以Demir 等[17]的試驗(yàn)試件為算例，建模方法與本文前述內(nèi)容相同，指定了如圖15所示的6 個(gè)由粗到細(xì)的網(wǎng)格劃分形式，相應(yīng)的三葉墻抗壓強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果如表2 所示。由表2 可以看出，本文方法的計(jì)算精度與網(wǎng)格的精細(xì)程度密切相關(guān)，網(wǎng)格設(shè)置越精細(xì)，計(jì)算精度越準(zhǔn)確，但計(jì)算效率也會(huì)變得更慢。當(dāng)單元網(wǎng)格精細(xì)到一定程度后，計(jì)算開始結(jié)果趨于穩(wěn)定。

圖15 Demir 等[17]試驗(yàn)的有限元網(wǎng)格劃分Fig.15 Finite element meshes of test by Demir et al[17]

表2 不同網(wǎng)格劃分所得抗壓強(qiáng)度比較 /MPaTable 2 Comparison of compressive strength obtained with different meshes

4 結(jié)論

本文以有限元塑性極限分析下限法為基礎(chǔ)，根據(jù)材料試驗(yàn)、小型砌體試件試驗(yàn)結(jié)果，并結(jié)合受壓三葉墻破壞模式，賦予了本構(gòu)模型參數(shù)。同時(shí)考慮壓應(yīng)力分布不均勻的邊界條件，提出了三葉墻抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)模型。主要結(jié)論如下：

(1)該模型規(guī)避了常見有限元法的收斂問題，計(jì)算高效，可以基于小型試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)三葉墻的抗壓強(qiáng)度作出預(yù)測(cè)。

(2)所得抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)值的準(zhǔn)確性顯著高于常見的三葉墻抗壓強(qiáng)度預(yù)測(cè)公式，對(duì)古建筑保護(hù)具有積極意義。