巧用坐標(biāo)系解空間幾何四類問題

［摘 要］高中階段的空間幾何問題中，空間直角坐標(biāo)系常被用來解答空間位置關(guān)系、角度、距離和體積的問題。文章通過分析具體實(shí)例，探究了空間直角坐標(biāo)系在解題中的簡便性和實(shí)用性，旨在為學(xué)生提供一種有效的解題思路和方法，以提升他們的解題能力。

［關(guān)鍵詞］空間直角坐標(biāo)系；空間幾何；四類問題

［中圖分類號(hào)］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1674-6058（2024）26-0032-03

空間幾何作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考中具有極其重要的地位。其中，空間位置關(guān)系、角度、距離和體積等常見的問題，往往讓學(xué)生感到棘手。運(yùn)用空間直角坐標(biāo)系能夠化繁為簡，巧妙解決這些問題。本文將結(jié)合具體實(shí)例，詳細(xì)闡述如何利用空間直角坐標(biāo)系解答這四類問題。

一、位置問題

位置關(guān)系是空間幾何中最為常見、最為基礎(chǔ)的問題，常見的考點(diǎn)有線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面的平行、垂直關(guān)系等。在解答這類問題時(shí)，首要步驟是根據(jù)題目給出的條件，建立合適的空間直角坐標(biāo)系；隨后根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，確定題目中涉及的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方向向量或平面的法向量；最后根據(jù)向量間的關(guān)系判斷出題目的關(guān)系。需要提醒學(xué)生注意，如果無法根據(jù)題目信息快速建立空間直角坐標(biāo)系，則需要思考并采用其他方法進(jìn)行解題。

［例1］如圖1，在正四棱柱[ABCD-A1B1C1DD1]中，[AB=2]，[AA1=4]，點(diǎn)[A2]，[B2]，[C2]，[D2]分別在棱[AA1]，[BB1]，[CC1]，[DD1]上，[AA2=1]，[BB2=DD2=2]，[CC2=3]。證明：[B2C2]∥[A2D2]。

解析：以[C]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[CD]，[CB]，[CC1]所在直線為[x]軸，[y]軸，[z]軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系。

得[C（0，0，0）]，[C2（0，0，3）]，[B2（0，2，2）]，[D2（2，0，2）]，[A2（2，2，1）]，

所以[B2C2=（0，-2，1）]，[A2D2=（0，-2，1）]，

所以[B2C2 ]∥[ A2D2]，即向量[B2C2]與[A2D2]共線，

又[B2C2]，[A2D2]不在同一直線上，所以[B2C2]∥[A2D2]。

點(diǎn)評：本題為線線平行證明問題，在解題中通過建立直角坐標(biāo)系，可得[B2]，[C2]，[A2]，[D2]各點(diǎn)坐標(biāo)，繼而得到[B2C2]，[A2D2]，進(jìn)而通過兩向量之間的關(guān)系，便可證明[B2C2]∥[A2D2]。

二、角度問題

在高考試題中，空間幾何的角度問題是必考點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)。雖然借助定義法可以解答，但是過程較為煩瑣，而借助空間直角坐標(biāo)系可以降低解題難度。在高考中常見的命題類型有求解異面直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面之間的夾角等。解題的主要步驟與上述位置問題相似，首先建立空間直角坐標(biāo)系；其次確定各點(diǎn)的坐標(biāo)和向量，如果要求兩條直線的夾角，就需要計(jì)算出這兩條直線的方向向量；最后計(jì)算向量的點(diǎn)積和模長，便可得夾角余弦值的絕對值。其中需要注意的是，要結(jié)合圖象判斷角度的大小。

［例2］如圖3，三棱錐[A-BCD]中，[DA=DB=DC]，[BD⊥CD]，[∠ADB=∠ADC=60°]，[E]為[BC]中點(diǎn)。

（1）證明：[BC⊥DA]；

（2）點(diǎn)[F]滿足[EF=DA]，求二面角[D-AB-F]的正弦值。

解析：（1）略。

（2）設(shè)[DA=DB=DC=2]，

因?yàn)閇BD⊥CD]，

所以[BC=22]，[DE=AE=2]，

所以[DE2+AE2=4=AD2]，

所以[DE⊥AE]，

又因?yàn)閇BC⊥AE]，[DE?BC=E]，

[DE，BC?]平面[BCD]，

所以[AE⊥]平面[BCD]，

以點(diǎn)[E]為原點(diǎn)，[ED]，[EB]，[EA]所在直線分別為[x]軸，[y]軸，[z]軸建立如圖4所示的坐標(biāo)系，

則有[E（0，0，0）]，[D（2，0，0）]，[A（0，0，2）]，[B（0，][2，0）]，

設(shè)平面[DAB]與平面[ABF]的一個(gè)法向量分別為[n1=（x1，y1，z1）]，[n2=（x2，y2，z2）]，二面角[D-AB-F]的平面角為[θ]。

而[AB=（0，2，-2）]，[DA=（-2，02）]，[EF=（-2，0，2）]

所以[EF=DA]，

所以[F（-2，0，2）]，

即有[AF=（-2，0，0）]，

所以[DA·n1=0，BA·n1=0，]即[-2x1+2z1=0，2y1-2z1=0，]

取[x1=1]，則[y1=0]，[z1=1]，所以[n1=（1，1，1）]，

同理：[2y2-2z2=0，-2x2=0，]

取[y2=1]，則[x2=0]，[z2=1]，所以[n2=（0，1，1）]，

所以[cosθ=n1·n2n1·n2=23×2=63]，

則[sinθ=1-cos2θ=1-632=33]，

所以二面角[D-AB-F]的正弦值為[33]。

點(diǎn)評：本題為求二面角的正弦值問題，在實(shí)際解題中需要先確定涉及的兩個(gè)面，而后計(jì)算出兩面的法向量，再結(jié)合法向量求得二面角的余弦值，最后將其轉(zhuǎn)化為二面角的正弦值。除此之外，在求線面角、已知線面角或面面角求參數(shù)等諸多問題中，都可以通過建立空間直角坐標(biāo)系借助向量法進(jìn)行解題。

三、距離問題

高考中的距離問題主要涉及點(diǎn)到直線、兩平行平面的距離及直線到平面的距離等幾種命題類型。解題中，需要通過建立空間直角坐標(biāo)系確定各點(diǎn)的坐標(biāo)及向量，在此基礎(chǔ)上利用向量運(yùn)算求解。

［例3］如圖5，四棱錐[P-ABCD]中，底面[ABCD]為平行四邊形，側(cè)面[PAD]是邊長為[2]的正三角形，平面[PAD⊥]平面[ABCD]，且[AB⊥PD]。

（1）求證：平行四邊形[ABCD]為矩形；

（2）若[E]為側(cè)棱[PD]的中點(diǎn)，且平面[ACE]與平面[ABP]所成角的余弦值為[64]，求點(diǎn)[B]到平面[ACE]的距離。

解析：（1）略。

（2）以[A]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[AB]為[x]軸，[AD]為[y]軸，建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)[AB=t>0]，[A（0，0，0）]，B（t，0，0），C（t，2，0），P（0，1，[3]），[E0，32，32]，

所以[AC=（t，2，0） ]，[ AE=0，32，32 ]，[ AB=（t，0，0）]，[AP=（0，1，3）]，

設(shè)平面[ACE]的一個(gè)法向量為[n1=（x1，y1，z1）]，

則[AC·n=0，AE·n=0，]即[tx1+2y1=0，32y1+32z1=0，]

令[x1=2]，則[y1=-t]，[z1=3t]，所以[n1=（2， -t，3t）]，

設(shè)平面[ABP]的一個(gè)法向量為[n2=（x2，y2，z2）]，

則[AB·n2=0，AP·n2=0，]即[tx2=0，y2+3z2=0，]

令[z2=1]， 則[x2=0]， [y2=-3]， 所以[n2=（0，-3，1）]，

由[cos<n1，n2>=n1·n2n1·n2=23t2×4+4t2=64]，可得[t=1]，所以平面[ACE]的法向量為[n1=（2，-1，3）]，[AB=（1，0，0）]，則點(diǎn)[B]到平面[ACE]的距離為[AB·n1n1=28=22]。

點(diǎn)評：本題為求解點(diǎn)到平面的距離問題，解答這類問題的難點(diǎn)在于計(jì)算出平面的法向量，得到平面法向量后再根據(jù)相關(guān)距離公式進(jìn)行解題。此外，平面間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩向量間的距離，直線到平面的距離則可以轉(zhuǎn)化為直線上任意一點(diǎn)到平面的距離。

四、體積問題

空間幾何問題中，體積問題是一個(gè)常見考點(diǎn)。對于這類問題，常用的解題方法有公式法、等體積變換法、分割法、補(bǔ)形法和向量法。當(dāng)題目所給圖象便于建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，可以借此進(jìn)行解題，以降低解題難度。

［例4］如圖7，在三棱錐[A-BCD]中，平面[ABD⊥]平面[BCD]，[AB=AD]，[O]為[BD]的中點(diǎn)。若[△OCD]是邊長為[1]的等邊三角形，點(diǎn)[E]在棱[AD]上，[DE=2EA]，且二面角[E-BC-D]的大小為[45°]，求三棱錐[A-BCD]的體積。

解析：如圖8，以[O]為原點(diǎn)，過點(diǎn)[O]且垂直[OD]的直線為[x]軸，過[OD，OA]所在直線分別為[y]軸，[z]軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則[C32，12，0]，[D（0，1，0）]，[B（0，-1，0）]。

設(shè)[OA=m]，則[A（0，0，m）]，[E0，13，23m]，

所以[EB=0，-43，-23m]，[BC=32，32，0]，

設(shè)[n=（x，y，z）]為平面[EBC]的一個(gè)法向量，

則[BC·n=0，EB·n=0，]可得[32x+32y=0，-43y-23m=0，]令[y=1]，則[x=-3]，[z=-2m]，所以[n=-3，1，-2m]，

又因?yàn)槠矫鎇BCD]的一個(gè)法向量為[OA=（0，0，m）]，

所以[cos<n·OA>=-2m·4+4m2=22]，

可得[m=1]（負(fù)值已舍去）。

因?yàn)辄c(diǎn)[C]到平面[ABD]的距離為[32]，

故[VA-BCD=VC-ABD=13×S△ABD×32=13×12×2×1×32=36]。

點(diǎn)評：運(yùn)用空間直角坐標(biāo)系解答本題的難點(diǎn)在于建立合適的空間直角坐標(biāo)系。同時(shí)，需要借助待定系數(shù)法求解平面的法向量，進(jìn)而根據(jù)二面角求解參數(shù)值，確定點(diǎn)到平面的距離，最后利用等體積轉(zhuǎn)換及體積公式進(jìn)行求解。

綜上所述，本文總結(jié)了通過建立空間直角坐標(biāo)系解答四類空間幾何問題的基本方法。在實(shí)際解題中，學(xué)生要積極總結(jié)相應(yīng)的解題規(guī)律及相關(guān)基礎(chǔ)定理，確保能夠快速厘清解題思路，有效解答問題。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 臧永建.巧構(gòu)空間坐標(biāo)系，妙解立體幾何題[J].高中數(shù)理化，2022（23）：45-46.

[2] 張茹.感知空間圖形，探究立體幾何：三類熱點(diǎn)翻折問題的突破[J].求學(xué)，2019（37）：50-52.

[3] 杜娟.基于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)：以“立體幾何中的翻折問題”為例[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)， 2018（10）：25-26，48.

[4] 杜紅全.追蹤考題 曬曬考點(diǎn)：“立體幾何”高考考點(diǎn)題型歸類解析[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2017（2）：40-44.

（責(zé)任編輯 梁桂廣）