巧用特殊法 速解選填題

［摘 要］數(shù)學(xué)選擇題與填空題以其題目小巧、命題角度靈活、知識(shí)覆蓋面廣的特點(diǎn)，而成為各級(jí)考試的必考題型。由于這兩類題型不用寫解題過(guò)程，因此可以運(yùn)用特殊法來(lái)解答，避免“小題大做”。文章通過(guò)幾個(gè)例題，從五個(gè)方面探析了特殊法在選擇題與填空題中的應(yīng)用策略，旨在幫助學(xué)生在考試中規(guī)避煩瑣的計(jì)算與推證過(guò)程，從而能夠簡(jiǎn)便快捷地得出正確答案。

［關(guān)鍵詞］特殊法；選擇題，填空題

［中圖分類號(hào)］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1674-6058（2024）26-0020-03

數(shù)學(xué)選擇題與填空題以其題目小巧、命題角度靈活、知識(shí)覆蓋面廣的特點(diǎn)，而成為各級(jí)考試的必考題型。由于這兩類題型不用寫解答過(guò)程，因此可以運(yùn)用特殊法來(lái)解答，避免“小題大做”。特殊法的解題原理體現(xiàn)在兩個(gè)方面：如果一個(gè)命題在特殊情況下被證明是錯(cuò)誤的，那么它在一般情況下必定錯(cuò)誤；如果一個(gè)命題在一般情況下正確，那么在特殊情況下必正確。這種解法充分體現(xiàn)了“特殊”與“一般”的辯證關(guān)系。常用的特殊法包括取特殊點(diǎn)、取特殊線段、取特殊圖形、取特殊值、取特殊位置、取特殊方法等。這些方法將問(wèn)題的一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，從而探求解題途徑，避免煩瑣的計(jì)算與推證過(guò)程，達(dá)到簡(jiǎn)便快捷地得到答案的目的。

一、取特殊點(diǎn)

［例1］如圖1，已知[△ABC]內(nèi)接于半徑為[r]的半圓內(nèi)，直徑[AB]為其一邊，設(shè)[AC+BC=S]，則有（ ）。

A. [S2≤8r2]

B. [S2≥8r2]

C. [S2≤6r2]

D. [S2≥6r2]

分析：根據(jù)[△ABC]內(nèi)接于半徑為[r]的半圓，得點(diǎn)[C]是弧[AB]上的任一點(diǎn)，既然這樣，點(diǎn)[C]可以是弧[AB]的三等分點(diǎn)或中點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)[C]是弧[AB]的中點(diǎn)時(shí)，可以求得[AC]、[BC]的長(zhǎng)，從而求得[S2]的值；當(dāng)點(diǎn)[C]是弧[AB]的三等分點(diǎn)時(shí)，同樣可以求得[AC]、[BC]的長(zhǎng)，從而求得[S2]的值，進(jìn)而確定本題答案。

解：當(dāng)點(diǎn)[C]是弧[AB]右側(cè)三等分點(diǎn)時(shí)，因?yàn)閇AB]是直徑，所以[∠ACB=90°]，[∠CAB=30°]，因?yàn)閇AB=2r]，所以[AC=3r]，[BC=r]，因?yàn)閇S=AC+BC]，所以[S=（1+3）r]，[S2=（1+3）r2=（4+23）r2<8r2]；當(dāng)點(diǎn)[C]是弧[AB]的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)閇AB]是直徑，所以[∠ACB=90°]，[∠CAB=45°]，因?yàn)閇AB=2r]，所以[AC=BC=2r]，因?yàn)閇S=AC+BC]，所以[S=22r]，[S2=22r2=8r2]，故本題選A。

評(píng)注：本題在解答過(guò)程中取了兩個(gè)特殊點(diǎn)，即點(diǎn)[C]是弧[AB]的三等分點(diǎn)或中點(diǎn)，只需根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)，求得[AC]和[BC]的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可，大大降低了思維量。通過(guò)取特殊點(diǎn)，化不確定的量為確定的量，使得解題更有針對(duì)性。

二、取特殊線段

［例2］如圖2，[△ABC]中，[AB=AC=2]，[BC]邊上有100個(gè)不同點(diǎn)[P1NQzG7QWqIE7AR3vyQiEHYQ==]，[P2]，…，[P100]，記[mi=APi2+BPi×PiC]（[i=1]，2，3，…，100），則[m1+m2+…+m100=] 。

分析：根據(jù)點(diǎn)[P]是邊[BC]上的任意點(diǎn)，線段[AP]是任意線段，所以可以取線段[AP]為三角形[ABC]底邊上的高，這樣可以利用等腰三角形的性質(zhì)得到直角三角形[ABD]，從而利用勾股定理求解。

解：如圖3，取[AP]為等腰三角形[ABC]的特殊線段，即底邊上的高[AD]，由“等腰三角形三線合一”得[BP=BD=PC=DC]，因?yàn)閇mi=APi2+BPi×PiC]，所以[mi=AD2+BD2]，因?yàn)閇△ABD]是直角三角形，[AB=AC=2]，由勾股定理得[AD2+BD2=AB2=4]，所以[m1+m2+…+m100=100×4=400]。故答案為400。

評(píng)注：本題將[AP]取為特殊線段，利用勾股定理求得了結(jié)果。當(dāng)命題在一般情況下成立時(shí)，在特殊情況下也成立，所以根據(jù)特殊情況求得的結(jié)果也是正確的。如果不取特殊線段，那么根據(jù)勾股定理得[AP2i=AD2+DP2i=AD2+（BD-BPi）2=AD2+BD2-2BD·BPi+BP2i]，又∵[PiB·PiC=PiB·（BC-PiB）=2BD·BPi-BP2i]，∴[mi=AD2+BD2=AB2=4]，∴[m1+m2+…+m100=4×100=400]。但這樣的解題過(guò)程不易理解。

三、取特殊圖形

［例3］如圖4，過(guò)[△ABC]內(nèi)任一點(diǎn)[P]，作[DE]∥[BC]，[GF]∥[AC]，[KH]∥[AB]，則[DEBC+GFAC+KHAB=]（ ）。

A. 1

B. [43]

C. 2

D. [83]

分析：既然[△ABC]是任意三角形，那么可以取等邊三角形這一特殊圖形，既然點(diǎn)[P]是三角形[ABC]內(nèi)任一點(diǎn)，那么可以取點(diǎn)[P]是三角形[ABC]的中心，等邊三角形的中心就是它的重心，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可以分別求得[DEBC，GFAC，KHAB]的值，從而求得它們的和。

解：如圖5，取[△ABC]為等邊三角形，取點(diǎn)[P]為等邊三角形[ABC]的中心，過(guò)點(diǎn)[P]作射線[AP]交[BC]于點(diǎn)[M]，則[AM]是[△ABC]的中線，因?yàn)辄c(diǎn)[P]是三角形[ABC]的中心，所以[AP]∶[AM] = 2∶3，因?yàn)閇DE]∥[BC]，所以[AD]∶[AB] = [AP]∶[AM] = 2∶3，所以[DE]∶[BC] = [AD]∶[AB] = 2∶3，因?yàn)閇GF]∥[AC]，[KH]∥[AB]，同理可得[GF]∶[AC] = 2∶3，[HK]∶[AB] = 2∶3，所以[DEBC+GFAC+KHAB=23+23+23=2]。故本題選C。

評(píng)注：本題取等邊三角形這一特殊圖形，利用三角形重心的性質(zhì)分別求得三個(gè)比的值。如果不取特殊圖形，只利用三組平行線解答問(wèn)題，則不能求得三個(gè)比的值，需要利用相似三角形和平行四邊形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行比例與線段的轉(zhuǎn)化，將三個(gè)比轉(zhuǎn)化為同分母分式才能相加得到結(jié)果。

四、取特殊值

［例4］下列關(guān)于二次函數(shù)[y=ax2-2ax+1]（[a>1]）的圖象與[x]軸交點(diǎn)的判斷，正確的是（ ）。

A.沒(méi)有交點(diǎn)

B.只有一個(gè)交點(diǎn)，且它位于[y]軸右側(cè)

C.有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們均位于[y]軸左側(cè)

D.有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們均位于[y]軸右側(cè)

分析：二次函數(shù)的表達(dá)式里有一個(gè)參數(shù)[a]，不易確定根的判別式[b2-4ac]的正負(fù)號(hào)，也不易確定與[x]軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的符號(hào)，此時(shí)可以根據(jù)[a]的取值范圍[a>1]，選取一個(gè)確定的[a]值，然后分別計(jì)算根的判別式的值及圖象與[x]軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定正確選項(xiàng)。

解：因?yàn)閇a>1]，我們?nèi)a=2]，則二次函數(shù)為[y=2x2-4x+1]，因?yàn)閇Δ=（-4）2-4×2×1=8>0]，所以二次函數(shù)的圖象與[x]軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)[y=0]時(shí)，[2x2-4x+1=0]，[x=4±84=2±22]，所以二次函數(shù)的圖象與[x]軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為[2+22，0]和[2-22，0]，因?yàn)閇x1=2+22>0]，[x2=2-22>0]，所以二次函數(shù)的圖象與[x]軸的兩個(gè)交點(diǎn)均在[y]軸右側(cè)，故選D。

評(píng)注：本題如果不取特殊值，用參數(shù)[a]代入計(jì)算，那么[Δ=4a2-4a]，[x=2a±4a2-4a2a]，不易看出正負(fù)號(hào)。而取特殊值，通過(guò)計(jì)算可以直觀地看出根的判別式的符號(hào)以及與[x]軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的符號(hào)，方便快捷。

五、取特殊位置

［例5］如圖6，在[△ABC]中，[AB=AC=5]，[BC=2]。在[BC]邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)[P1]，[P2]，[P3]，…，[P100]，過(guò)這100個(gè)點(diǎn)分別作[△ABC]的內(nèi)接矩形[P1E1F1G1]，[P2E2F2G2]，…，[P100E100F100G100]，設(shè)每個(gè)矩形的周長(zhǎng)分別為[L1]，[L2]，…，[L100]，則[L1+L2+…+L100=] 。

分析：雖然[△ABC]的內(nèi)接矩形[P1E1F1G1]，[P2E2F2G2]，…，[P100E100F100G100]分別是不同的矩形，但是它們是任意內(nèi)接矩形，所以可以設(shè)定點(diǎn)[E1]、[F1]處于特殊位置，即設(shè)定它們分別是[AB]、[AC]的中點(diǎn)，然后讓其他矩形與這個(gè)特殊位置的矩形無(wú)限接近，直至重合，這樣它們的周長(zhǎng)就相等，從而求得它們的周長(zhǎng)和。

解：取點(diǎn)[E1]、[F1]分別是[AB]、[AC]的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)[A]作[AH⊥BC]于點(diǎn)[H]，所以[E1F1]是[△ABC]的中位線，所以[E1F1=12BC=12×2=1]。因?yàn)閇E1F1G1P1]是[△ABC]的內(nèi)接矩形，所以[E1P1]∥[AH]，所以[P1]是[BH]的中點(diǎn)，所以[E1P1=12AH]。因?yàn)閇AB=AC=5]，[BC=2]，所以[BH=1]。在Rt[△ABH]中，由勾股定理得[AH=（5）2-12=2]，所以[E1P1=1]，所以矩形[E1F1G1P1]的周長(zhǎng)[=2×（1+1）=4]，當(dāng)其他99個(gè)內(nèi)接矩形與矩形[E1F1G1P1]無(wú)限接近直至重合時(shí)，這99個(gè)矩形的周長(zhǎng)也等于4，所以這100個(gè)內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)和為[400]。

評(píng)注：本題利用特殊位置求得其中一個(gè)矩形的周長(zhǎng)，同時(shí)讓其他矩形與它重合，從而求得它們的周長(zhǎng)和，這就是特殊法給解決問(wèn)題帶來(lái)的便捷：化不確定為確定，化無(wú)限為有限，讓數(shù)據(jù)看得清清楚楚。

六、取特殊方法

［例6］如圖7，在Rt[△ABC]中，[∠ACB=90°]，[AC=3]，[BC=4]，[CD⊥AB]，垂足為[D]，[E]為[BC]的中點(diǎn)，[AE]與[CD]交于點(diǎn)[F]，則[DF]的長(zhǎng)為 。

分析：點(diǎn)[F]顯然是直線[CD]與直線[AE]的交點(diǎn)，將直角三角形[ABC]放入平面直角坐標(biāo)系中，可以求得兩條直線的表達(dá)式，解方程組可求得交點(diǎn)[F]的坐標(biāo)，從而求得[CF]的長(zhǎng)，[CD]的長(zhǎng)可應(yīng)用三角形面積公式求得，從而求得[FD]的長(zhǎng)。

解：如圖8，以點(diǎn)[C]為原點(diǎn)，以[AC]所在的直線為[x]軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閇AC=3]，[BC=4]，所以點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為（3，0），因?yàn)辄c(diǎn)[E]是[BC]的中點(diǎn)，所以點(diǎn)[E]的坐標(biāo)為（0，2），設(shè)直線[AE]的表達(dá)式為[y=ax+b]，則[3a+b=0，b=2，]解得[a=-23]，[b=2]，所以直線[AE]的表達(dá)式為[y=-23x+2]，因?yàn)閇∠DCA+∠BCD=90°]，[∠ABC+∠BCD=90°]，所以[∠DCA=∠ABC]，所以[tan∠DCA=tan∠ABC=34]，所以直線[CD]的表達(dá)式為[y=34x]，聯(lián)立直線[AE]、[CD]的表達(dá)式，得[y=-23x+2，y=34x，]解得[x=2417]，[y=1817]，所以[CF=24172+18172=3017]，由[CD·AB=BC·AC]得[CD=125]，所以[FD=125-3017=5485]。

評(píng)注：建立直角坐標(biāo)系用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，常見(jiàn)于在處理直角三角形、矩形或正方形中的線段問(wèn)題，所涉及的知識(shí)點(diǎn)包括：當(dāng)兩直線平行時(shí)，它們的比例系數(shù)[k]相等；當(dāng)兩直線互相垂直時(shí)，它們的比例系數(shù)[k]的乘積為-1；使用兩點(diǎn)距離公式；中點(diǎn)坐標(biāo)公式；根據(jù)直線與[x]軸夾角的正切值求直線表達(dá)式。

綜上，在運(yùn)用特殊法解決問(wèn)題時(shí)，我們需要注意所選取的數(shù)值、圖形或位置等必須符合條件，且這些特例應(yīng)易于計(jì)算。一般而言，特例取得越簡(jiǎn)單、越特殊，越能高效解決問(wèn)題。用特殊法解決問(wèn)題，體現(xiàn)了“特殊”與“一般”之間的辯證關(guān)系。因此，它的正確性毋庸置疑，同時(shí)它的方便快捷性也需要大家在應(yīng)用過(guò)程中慢慢體會(huì)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 陳麗.巧用特殊法，速解選擇題[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2022（2）：32-33.

[2] 王靜.另辟蹊徑解答數(shù)學(xué)選擇題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（3）：77-78.

[3] 徐旭侃.巧用嘗試檢驗(yàn) 妙解填空選擇[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2021（5）：29-30.

[4] 王暉.巧用特殊法 妙解選擇題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（5）：49-51.

（責(zé)任編輯 黃春香）