數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

【摘要】初中階段是學(xué)生數(shù)學(xué)思維迅速發(fā)展的關(guān)鍵期，通過對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，學(xué)生能夠更好地理解和掌握各種數(shù)學(xué)概念和原理，在提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的基礎(chǔ)上養(yǎng)成多角度思考問題的良好習(xí)慣.文章以初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想為主題展開研究，分析在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值和原則，結(jié)合實(shí)踐案例提出具體的方法與策略，并從課堂教學(xué)、難題解答和專項(xiàng)復(fù)習(xí)三方面展開詳細(xì)闡述，以期通過培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)思維習(xí)慣，提升學(xué)生的實(shí)際問題解決能力，不斷強(qiáng)化理論與實(shí)踐的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；培養(yǎng)應(yīng)用

引 言

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)是幫助學(xué)生深化對(duì)數(shù)學(xué)概念理解和應(yīng)用的關(guān)鍵策略之一，教師可以將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的幾何形狀相結(jié)合，通過視覺和圖形的方式幫助學(xué)生更深入地探索和解釋數(shù)學(xué)問題，不僅能夠使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加直觀和生動(dòng)，還能有效提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力，更有效地達(dá)成初中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標(biāo).因此，在新課改的全面實(shí)施過程中，教師在教學(xué)過程中需要設(shè)計(jì)一系列富有創(chuàng)意的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過圖形化的方法探索數(shù)學(xué)規(guī)律，鼓勵(lì)他們?cè)趯?shí)際操作中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法發(fā)現(xiàn)和解決問題，為學(xué)生的素養(yǎng)提升提供強(qiáng)有力的支持.

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

（一）直觀展示學(xué)習(xí)內(nèi)容，降低抽象性知識(shí)的學(xué)習(xí)難度

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠極大程度上增強(qiáng)教學(xué)的直觀性，降低抽象性知識(shí)的學(xué)習(xí)難度，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.一方面，通過數(shù)形結(jié)合的方法，復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算可以通過圖形和幾何模型直觀呈現(xiàn)，學(xué)生可以直接觀察到抽象概念的具體表現(xiàn)和操作過程.例如在學(xué)習(xí)線性方程時(shí)，通過坐標(biāo)圖形描繪不同方程的解集，學(xué)生不僅能直觀看到斜率和截距的變化，還能實(shí)時(shí)觀察到不同方程圖形的交點(diǎn)，直觀理解方程解的含義.這種圖形化的表示方法讓原本難以把握的抽象概念變得易于理解和接受.另一方面，數(shù)形結(jié)合思想還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，圖形操作和視覺效果更能吸引學(xué)生的注意力，使他們?cè)谙硎芤曈X效果的同時(shí)加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.當(dāng)學(xué)生在動(dòng)手操作和視覺化過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律時(shí)，這種發(fā)現(xiàn)的過程本身就是一種動(dòng)力，能夠激勵(lì)學(xué)生探索更多的數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)習(xí)的積極性.因此，數(shù)形結(jié)合不僅是一種教學(xué)策略，更是一種激發(fā)學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)力的有效途徑，可以有效降低學(xué)生學(xué)習(xí)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的難度，持續(xù)提升整體教學(xué)效果.

（二）促進(jìn)高階思維發(fā)展，養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣

數(shù)形結(jié)合不僅可以為學(xué)生提供一種直觀的學(xué)習(xí)工具，還能促進(jìn)學(xué)生思維方式的轉(zhuǎn)變，有效促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展，有助于學(xué)生形成多角度思考問題的良好習(xí)慣.一方面，數(shù)形結(jié)合可以通過圖形和視覺元素將數(shù)學(xué)問題具體化，學(xué)生在解決問題時(shí)將深入理解問題背后的數(shù)學(xué)原理和邏輯關(guān)系，深度思考的過程不斷促進(jìn)思維能力的提升.例如在探索函數(shù)圖像時(shí)，學(xué)生需要理解變量之間的依賴關(guān)系和圖形的變化趨勢(shì)，涉及函數(shù)、變量和圖形之間復(fù)雜的交互作用，學(xué)生需要運(yùn)用比較、分析和歸納等高階思維技能.通過這種方式，數(shù)形結(jié)合不僅提高學(xué)生的問題解決能力，也強(qiáng)化他們的批判性思維.另一方面，在數(shù)形結(jié)合的思考中，學(xué)生將逐步學(xué)會(huì)從不同的視角和維度探索數(shù)學(xué)問題，有助于學(xué)生形成全面的思考習(xí)慣.例如在處理幾何問題時(shí)，學(xué)生需要從幾何形狀的特性、空間位置關(guān)系以及它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式等多個(gè)角度進(jìn)行分析，進(jìn)而建立更為系統(tǒng)和全面的數(shù)學(xué)認(rèn)知框架.再比如解決空間幾何問題時(shí)，學(xué)生需要將三維空間問題轉(zhuǎn)換為二維圖形進(jìn)行分析，他們不僅需要掌握幾何知識(shí)，還要掌握能夠靈活運(yùn)用視覺和空間轉(zhuǎn)換技巧.綜合而言，數(shù)形結(jié)合思想可以為學(xué)生提供一個(gè)多維度、互動(dòng)豐富的學(xué)習(xí)環(huán)境，能夠有效促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的發(fā)展，幫助他們養(yǎng)成了從多角度審視和解決問題的習(xí)慣，對(duì)于學(xué)生整體數(shù)學(xué)能力的提升將產(chǎn)生重要影響.

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則

（一）主體性

主體性原則強(qiáng)調(diào)在數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的中心和主體，教師需要深入理解每名學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的具體情況，尤其是他們對(duì)數(shù)與形的認(rèn)識(shí)和理解水平.遵循這一原則，教師的任務(wù)是激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性和探索欲，使他們能夠積極參與到數(shù)與形之間關(guān)系的探索中.例如，教師需要設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過自主探索和解決問題的方式，發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系.這種方法的核心在于充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使他們不僅在理解時(shí)能夠主動(dòng)思考，而且在遇到難題時(shí)能夠嘗試?yán)脠D形轉(zhuǎn)換等策略尋找解決方案，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中扮演更為主動(dòng)的角色，突出學(xué)生的主體地位，從而更有效地吸收和運(yùn)用新知識(shí).

（二）開放性

在數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)中，開放性原則強(qiáng)調(diào)創(chuàng)造一個(gè)開放和包容的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)能夠自由表達(dá)自己的想法，并探索多種解決問題的方法.在這一教學(xué)環(huán)境中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)提出問題，分享自己獨(dú)到的解題方法，即使這些方法可能不完美或者有待改進(jìn).而教師的角色是引導(dǎo)者，并非單一的知識(shí)傳授者，他們的教學(xué)重點(diǎn)是鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，通過討論和實(shí)驗(yàn)等方式找到最適合自己的學(xué)習(xí)路徑.開放性的教學(xué)環(huán)境不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和批判性思維能力，還能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和參與感，使他們能用更加多元化的思維分析和解決數(shù)學(xué)問題，最終形成科學(xué)的思維習(xí)慣.

（三）遞進(jìn)性

遞進(jìn)性原則是指教師在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)時(shí)，需要按照由淺入深、循序漸進(jìn)的方式組織教學(xué)內(nèi)容和活動(dòng)，目的是避免學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)感到不知所措.也就是說，在教學(xué)設(shè)計(jì)上，教師應(yīng)從基礎(chǔ)的數(shù)形結(jié)合概念開始，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入理解并擴(kuò)展到更復(fù)雜的應(yīng)用，如從簡(jiǎn)單的線性函數(shù)的圖形表示開始，逐步過渡到非線性函數(shù)和多變量函數(shù)的復(fù)雜關(guān)系.這樣的漸進(jìn)學(xué)習(xí)過程有助于學(xué)生建立扎實(shí)的基礎(chǔ)，逐步提升解決問題的能力，最終能夠自信地應(yīng)對(duì)更高級(jí)的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)，從而有效地掌握和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決實(shí)際問題.

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）課堂教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)思維習(xí)慣

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合思想，教師首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的基本概念形成清晰的理解.為此，課堂教學(xué)中，教師可結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容穿插介紹數(shù)形結(jié)合的定義、原理及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.具體實(shí)施中，教師可以從簡(jiǎn)單的例子開始，展示如何通過繪制圖形理解和解決基本的數(shù)學(xué)問題，例如利用線段圖解釋分?jǐn)?shù)加減，或是使用坐標(biāo)圖來展示線性關(guān)系.通過這些直觀的示例，學(xué)生可以逐漸理解數(shù)與形之間的互動(dòng)關(guān)系.接著，教師需要在課堂講解中持續(xù)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的策略，將其融入不同數(shù)學(xué)主題的教學(xué)中.尤其是在講述復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念或原理時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如何通過數(shù)形表達(dá)數(shù)學(xué)概念，分析如何通過圖形結(jié)合的方式尋求數(shù)學(xué)問題的解決方案.例如在探討代數(shù)方程的解集時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫出相關(guān)圖形，通過圖形的交點(diǎn)找到解的可能性.此外，教師還可以結(jié)合教學(xué)主題設(shè)置特定的任務(wù)或問題，鼓勵(lì)學(xué)生在梳理知識(shí)時(shí)必須應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的技巧，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這種思維習(xí)慣的掌握和運(yùn)用.

以青島版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“數(shù)據(jù)的收集、整理與描述”單元的教學(xué)為例，教師可以通過引入數(shù)形結(jié)合的方法，增強(qiáng)課堂教學(xué)的直觀性.為此，在教學(xué)如何收集和整理數(shù)據(jù)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用條形圖、餅狀圖或折線圖等圖形工具表示收集的數(shù)據(jù).例如在一個(gè)實(shí)際的調(diào)查活動(dòng)如班級(jí)同學(xué)的業(yè)余愛好統(tǒng)計(jì)中，學(xué)生首先收集數(shù)據(jù)，隨后學(xué)習(xí)如何將這些數(shù)據(jù)通過圖表形式展示出來.通過這個(gè)過程，學(xué)生不僅能看到數(shù)據(jù)背后的具體信息，還能通過圖形的形式直觀地理解數(shù)據(jù)分布和趨勢(shì)，視覺呈現(xiàn)的方式有助于他們更深入地分析和理解信息.需要注意的是，在這個(gè)教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)重復(fù)強(qiáng)調(diào)圖形與數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)，鼓勵(lì)學(xué)生思考如何選擇最合適的圖形表達(dá)特定的數(shù)據(jù)集，從而培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中使用圖形工具解決問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生逐步養(yǎng)成科學(xué)的思維方式，激發(fā)學(xué)生探索和運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的興趣.

（二）難題解答中引入數(shù)形結(jié)合，提升學(xué)生實(shí)際問題解決能力

面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題，教師也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析，將復(fù)雜的文字信息轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，幫助學(xué)生抓住問題的關(guān)鍵，提高解題的成功率.首先，教師應(yīng)在案例講解時(shí)，明確展示如何通過圖形表示的方法分析復(fù)雜題目，例如利用坐標(biāo)解析線性方程問題，或是利用幾何圖形解釋代數(shù)恒等式的變換.在此過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生理解如何將抽象的數(shù)學(xué)文字轉(zhuǎn)換成可視的圖形模型，比如如何設(shè)置坐標(biāo)軸、標(biāo)記關(guān)鍵點(diǎn)、繪制圖形以及從圖形中讀取和推斷數(shù)學(xué)性質(zhì)和關(guān)系等.接下來，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在解決具體數(shù)學(xué)問題時(shí)主動(dòng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，比如通過使用動(dòng)態(tài)幾何軟件、圖形計(jì)算器等探索問題的圖形解.在此過程中，教師的角色是提供必要的技術(shù)支持和概念指導(dǎo)，幫助學(xué)生正確設(shè)置問題模型，并從中尋找解題線索.最后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生定期回顧和總結(jié)數(shù)形結(jié)合策略在實(shí)際問題解決中的應(yīng)用，通過實(shí)例說明如何通過圖形方式簡(jiǎn)化問題解析過程，以及如何從圖形中提取關(guān)鍵信息構(gòu)建數(shù)學(xué)論證.這種練習(xí)不僅可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，還能鍛煉他們的邏輯思維和空間想象力，使他們能夠更加自信和熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.

例如在如下題目中：文具店、書店和服裝店分布在同一條東西向的街道上.其中，書店位于中間，文具店的位置在書店位置的西邊20米處，服裝店位置在書店位置的東邊80米處.如果小明從書店出發(fā)，沿著街道先向西走20米，然后又沿著街道向東走100米，請(qǐng)問此時(shí)的他最終將到達(dá)哪里？為解決這個(gè)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將街道視作一條數(shù)軸，以書店位置作為數(shù)軸的原點(diǎn)（0點(diǎn)），東邊方向?yàn)檎?，西邊方向?yàn)樨?fù).根據(jù)題目的意思，文具店的位置應(yīng)該在書店位置的西邊，數(shù)軸上標(biāo)記為“-20”，服裝店位置在書店位置的東邊，數(shù)軸上標(biāo)記為“+80”.此時(shí)，小明的行走路徑可以通過數(shù)軸上的移動(dòng)直觀表示：他首先從0點(diǎn)向西移動(dòng)到-20點(diǎn)，然后向東移動(dòng)到+80點(diǎn).這種表示方法幫助學(xué)生清晰地看到小明的最終位置是在服裝店處.通過這個(gè)例子，學(xué)生可以直觀地理解和分析問題，學(xué)習(xí)如何將日常問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的計(jì)算，從而深入掌握數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際問題解決中的應(yīng)用.實(shí)踐中，這種方法不僅使問題的解決過程更加直觀和具體，而且可以強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行邏輯推理的能力，增強(qiáng)他們解決實(shí)際問題的信心和效率.

（三）專項(xiàng)復(fù)習(xí)中引入數(shù)形結(jié)合，強(qiáng)化理論與實(shí)踐的內(nèi)在聯(lián)系

在初中數(shù)學(xué)的專項(xiàng)復(fù)習(xí)中引入數(shù)形結(jié)合思想是一種有效的策略，能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論與實(shí)踐之間聯(lián)系的理解，有效提高復(fù)習(xí)效率.首先，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)的過程中系統(tǒng)地整合數(shù)形結(jié)合的概念與實(shí)際應(yīng)用，挑選可以通過數(shù)形結(jié)合有效闡釋的數(shù)學(xué)概念和公式，例如在復(fù)習(xí)幾何、比例、函數(shù)等主題時(shí)，教師可以明確展示如何使用圖形工具（如坐標(biāo)圖、幾何軟件等）表示和解析這些概念.其次，教師可以設(shè)計(jì)一系列的練習(xí)和活動(dòng)，活動(dòng)直接涉及如何將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為具體的圖形問題.通過這種方法，學(xué)生能夠在實(shí)際操作中看到理論知識(shí)的直接應(yīng)用，從而深化理解.最后，教師在復(fù)習(xí)過程中還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考圖形表示與數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，思考如何通過觀察和分析圖形的方式解決數(shù)學(xué)問題，思考如何從圖形中提取信息以及如何利用這些信息驗(yàn)證或推導(dǎo)數(shù)學(xué)規(guī)律.通過這樣的實(shí)踐和反思，數(shù)形結(jié)合的方法將被學(xué)生內(nèi)化為解決數(shù)學(xué)問題的一種強(qiáng)有力的工具.

以青島版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)“勾股定理”的專項(xiàng)復(fù)習(xí)為例，該章節(jié)內(nèi)容的復(fù)習(xí)可以從“探索勾股定理”“一定是直角三角形嗎”和“勾股定理的應(yīng)用”三方面展開，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想加深學(xué)生對(duì)理論和實(shí)踐聯(lián)系的理解.首先，教師可以通過幾何軟件展示直角三角形，并實(shí)時(shí)演示勾股定理的幾何證明，讓學(xué)生直觀看到邊長(zhǎng)平方和與直角三角形的關(guān)系.例如，在探索“勾股定理”章節(jié)的復(fù)習(xí)時(shí)，通過動(dòng)態(tài)調(diào)整直角三角形的邊長(zhǎng)，學(xué)生可以觀察到直角三角形兩直角邊的平方和與斜邊平方的等量關(guān)系.接著，在復(fù)習(xí)“一定是直角三角形嗎”這一部分時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)建不同的三角形，使用圖形工具驗(yàn)證只有直角三角形才滿足勾股定理.最后，在“勾股定理的應(yīng)用”部分，學(xué)生可以通過解決實(shí)際問題，如計(jì)算梯子最高能夠達(dá)到的垂直高度，實(shí)際應(yīng)用勾股定理，同時(shí)利用圖形工具直觀展示問題的解決過程.通過這樣的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，學(xué)生不僅能夠理解勾股定理的數(shù)學(xué)原理，還能夠通過圖形工具深化對(duì)定理應(yīng)用的理解，強(qiáng)化理論與實(shí)踐的內(nèi)在聯(lián)系.

結(jié) 語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想是一種在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛的方法，教師可以將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的幾何形狀或圖形結(jié)合起來，以直觀的方式展示數(shù)學(xué)理論，通過視覺輔助工具幫助學(xué)生更好地理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，從而促進(jìn)概念的深入理解和應(yīng)用.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于學(xué)生綜合素質(zhì)的提升具有重要價(jià)值.因此，教師應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)和應(yīng)用，在課堂教學(xué)、難題解答和專項(xiàng)復(fù)習(xí)中引入數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的思維習(xí)慣，持續(xù)提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)難題的能力，在理論與實(shí)踐的充分聯(lián)系中提高數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

[1]龍瑩瑩.試析數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2024（11）：81-83.

[2]何士杰.初中數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)過程探討[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2024（16）：78-80.

[3]張晨曦.數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2024（18）：49-51.

[4]張曉莉.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2024（18）：91-93.

[5]周敏.數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)解題中的相關(guān)思考[J].數(shù)理天地（初中版），2024（10）：64-67.

[6]尹金鳳.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透[J].學(xué)周刊，2024（14）：95-97.

[7]張鳳鮮.數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（4）：158-160.