高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的策略探究

【摘要】高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)通過(guò)日常教學(xué)活動(dòng)開(kāi)闊學(xué)生數(shù)學(xué)視野，完善學(xué)生學(xué)習(xí)思維，提升學(xué)生解題技能，從而更好地貫徹核心素養(yǎng)理念.數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)模塊的重要部分，其可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合與歸納能力，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)活動(dòng)的開(kāi)展.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)充分優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的前提下領(lǐng)悟建模的方式.文章主要圍繞情境學(xué)習(xí)與案例學(xué)習(xí)兩個(gè)維度探究高中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)策略，以期能夠促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)

引 言

建模能夠幫助學(xué)生站在直觀角度分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)建相關(guān)模型來(lái)快速解出答案.其要求學(xué)生基于已知信息進(jìn)行科學(xué)假設(shè)，根據(jù)現(xiàn)有內(nèi)容構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用能力.學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)、探索、研究、分析數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，更好地理解學(xué)科本質(zhì).日常教學(xué)中數(shù)學(xué)教師可以依托《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《新課標(biāo)》）指示剖析教材內(nèi)容，為學(xué)生講解不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)模型（幾何模型、方程模型、數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型等），并基于具體案例探究數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用策略.

一、營(yíng)造多元學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生的建模能力

（一）打造問(wèn)題化數(shù)學(xué)情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生探究欲

教師能夠通過(guò)情境創(chuàng)設(shè)的形式引導(dǎo)學(xué)生逐步形成建模意識(shí)，問(wèn)題化情境能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究欲，驅(qū)使學(xué)生自主參與課堂活動(dòng)，在互動(dòng)與交流中完善自身核心素養(yǎng).日常教學(xué)中數(shù)學(xué)教師可先培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，再提升學(xué)生的建模能力，引導(dǎo)學(xué)生巧借數(shù)學(xué)模型快速解題.這就要求教師應(yīng)為學(xué)生提供不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)題目，鼓勵(lì)學(xué)生挖掘題干信息，據(jù)此梳理出與本題相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)整合基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)嘗試構(gòu)建模意識(shí)，有效提升學(xué)生的探究欲.例如，在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)最值問(wèn)題”時(shí)，學(xué)生需要基于課堂活動(dòng)明白何為最值問(wèn)題，以及該問(wèn)題的解答策略.同時(shí)，教師可利用問(wèn)題情境來(lái)組織學(xué)生探究具體問(wèn)題，在深度理解教材知識(shí)的前提下應(yīng)用知識(shí)，從而激發(fā)學(xué)生的探究積極性，完善其建模能力.

問(wèn)題一 某快捷酒店里有150間標(biāo)準(zhǔn)客房，經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)客房的價(jià)格設(shè)定為160元/間時(shí)，其入住率僅可達(dá)到55%；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)客房的價(jià)格設(shè)定為140元/間時(shí)，其入住率可達(dá)到65%；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)客房的價(jià)格設(shè)定為120元/間時(shí)，其入住率可達(dá)到75%；當(dāng)將標(biāo)準(zhǔn)客房的價(jià)格設(shè)定為100元/間時(shí)，其入住率可達(dá)到85%.若想讓該快捷酒店的單日收入達(dá)到最高，請(qǐng)問(wèn)標(biāo)準(zhǔn)客房的價(jià)格應(yīng)設(shè)定為多少呢？

在解答此類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)教師能夠引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建二次函數(shù)模型，并嘗試精煉題干信息，具體為：

簡(jiǎn)化假設(shè) 第一，快捷酒店內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)客房的最高價(jià)格是160元/間；第二，假設(shè)隨著標(biāo)準(zhǔn)客房?jī)r(jià)格的逐漸降低，其入住率呈現(xiàn)顯性增長(zhǎng)的趨勢(shì)；第三，假設(shè)該快捷酒店內(nèi)每一間標(biāo)準(zhǔn)客房的價(jià)格相同.

構(gòu)建模型 將w視作該快捷酒店每一天的總收入；相較于最高價(jià)格160元，x表示每一間標(biāo)準(zhǔn)客房的降價(jià)幅度.因此，能夠?qū)⒃瓎?wèn)題轉(zhuǎn)變成求解w的最大值.

求解模型 通過(guò)結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析，當(dāng)x=25時(shí)，w的值最大，為13668.75.這說(shuō)明當(dāng)快捷酒店內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)客房的價(jià)格為135元/間時(shí)，快捷酒店當(dāng)日的收入最高，能達(dá)到13668.75元.

綜上，學(xué)生能夠通過(guò)構(gòu)建模型將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而基于函數(shù)模型進(jìn)一步解出答案，該環(huán)節(jié)能夠提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知能力與反思能力，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的理解，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，不斷完善學(xué)生的核心素養(yǎng).

（二）營(yíng)造生活化數(shù)學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的建模意識(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)看似抽象、難以理解，卻源于實(shí)際生活，并服務(wù)于實(shí)際生活.因此，教師在培養(yǎng)學(xué)生建模能力時(shí)，需著重提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)內(nèi)容解決實(shí)際問(wèn)題的能力，幫助學(xué)生構(gòu)建真實(shí)生活與理論知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，充分強(qiáng)化學(xué)生的實(shí)踐技能.日常教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)依托新課標(biāo)要求深度剖析教材內(nèi)涵，采用潛移默化的方式為學(xué)生滲透數(shù)學(xué)模型，通過(guò)營(yíng)造生活化數(shù)學(xué)情境來(lái)提升學(xué)生的建模意識(shí).

例如，在教學(xué)“集合間的基本關(guān)系”時(shí)，若教師采用傳統(tǒng)方式進(jìn)行講解則會(huì)極大增加學(xué)生的理解難度，此時(shí)就可為其營(yíng)造學(xué)生更為熟悉的生活化情境：本校九月份準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)盛大的迎新晚會(huì)活動(dòng)，已知高一一班有20名學(xué)生參與本次演出，且該班級(jí)內(nèi)參與相聲類(lèi)節(jié)目的有14人，而參與街舞類(lèi)節(jié)目的有12人.請(qǐng)分析該班級(jí)內(nèi)兩類(lèi)節(jié)目都參加的學(xué)生有多少人？在拿到題目后，教師可引導(dǎo)學(xué)生將題干信息進(jìn)行整理，假設(shè)A集合是參加本次街舞類(lèi)節(jié)目的學(xué)生，B集合是參加本次相聲類(lèi)節(jié)目的學(xué)生，C集合是同時(shí)參加本次街舞以及相聲類(lèi)節(jié)目的學(xué)生，具體如圖1所示；隨后組織學(xué)生根據(jù)所學(xué)集合知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，一般將A，B交集理解為既屬于A集合又屬于B集合的元素集合，并記作A∩B={x|x∈A，且x∈B}.如果A集合包含于B集合，那么可記作A∩B=A或A∪B=B.學(xué)生能夠根據(jù)上述理論知識(shí)構(gòu)建更為具象的模型，從而理解題干中暗含的數(shù)學(xué)關(guān)系.最終學(xué)生能夠基于數(shù)學(xué)模型以及圖1信息計(jì)算得出一班內(nèi)有6名學(xué)生參與了兩類(lèi)節(jié)目.

過(guò)去數(shù)學(xué)教師往往在課堂中為學(xué)生講解大篇幅的理論內(nèi)容，這不利于學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，更容易讓學(xué)生產(chǎn)生抵觸情緒.即便學(xué)生通過(guò)死記硬背的方式知道了這些概念定理，但依然難以有效解題.這就要求數(shù)學(xué)教師能夠基于教材內(nèi)容以及學(xué)生的生活實(shí)際來(lái)營(yíng)造生活化情境，引導(dǎo)學(xué)生在更為熟悉的環(huán)境下構(gòu)建模型，充分提升學(xué)生的建模意識(shí).

（三）組織開(kāi)展合作型課堂活動(dòng)，完善學(xué)生建模能力

要想強(qiáng)化學(xué)生的建模能力，數(shù)學(xué)教師還需要為學(xué)生打造更為平等的互動(dòng)交流環(huán)境，鼓勵(lì)學(xué)生分享自己的建模經(jīng)驗(yàn)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的建模積極性.由于班級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的接受水平不同、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知能力不同、個(gè)人成長(zhǎng)環(huán)境不同，導(dǎo)致其建模能力參差不齊，合作型課堂能夠有效緩解這一差異，讓學(xué)生在互動(dòng)交流中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的碰撞，進(jìn)而達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目的.因此，數(shù)學(xué)教師可將班級(jí)學(xué)生劃分成幾個(gè)建模學(xué)習(xí)小組，并要求各小組成員討論后共同選擇某一主題，學(xué)生能夠在小組分工后有序整合相關(guān)數(shù)據(jù)資料，最終完成建模任務(wù).研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能夠在小組合作中自由表達(dá)自己的想法，并有效發(fā)掘其他成員的閃光點(diǎn)，進(jìn)而針對(duì)性彌補(bǔ)自身學(xué)習(xí)漏洞，最終強(qiáng)化自身核心素養(yǎng).從建模教學(xué)的角度來(lái)看，合作型教學(xué)模式能夠增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，幫助學(xué)生克服對(duì)教師的依賴(lài)，獨(dú)立運(yùn)用所學(xué)內(nèi)容解決實(shí)際問(wèn)題，從而更好地完善自身建模能力.

例如，在教學(xué)“圓錐曲線(xiàn)的拋物線(xiàn)”內(nèi)容時(shí)，數(shù)學(xué)教師就能夠設(shè)置籃球投籃的探究活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生自主參與進(jìn)來(lái)，這樣的探究任務(wù)不僅具有更高的可操作性，更具備較高的趣味性.學(xué)生可與小組成員共同商討，通過(guò)改變公式x=-2py（p>0）內(nèi)的參數(shù)進(jìn)一步探究這一生活問(wèn)題，從而強(qiáng)化自身對(duì)圓錐曲線(xiàn)內(nèi)容的理解.綜上，合作型課堂能夠提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教師需要依托新課標(biāo)要求設(shè)計(jì)合作探究的主題，并遵循“以生為本”的原則，讓學(xué)生在討論交流中深度理解數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而運(yùn)用這些模型解決疑難問(wèn)題.

二、依托各類(lèi)案例，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

（一）在問(wèn)題導(dǎo)學(xué)環(huán)節(jié)中融入建模案例

學(xué)生實(shí)際生活中能夠遇到類(lèi)似“預(yù)測(cè)事件發(fā)生可能性”“變相間不確定相互關(guān)系”“變量間函數(shù)關(guān)系”以及“等量、不等量關(guān)系”的問(wèn)題，這些生活化案例與數(shù)學(xué)教材內(nèi)“概率”“線(xiàn)性相關(guān)”“函數(shù)”以及“不等式”“方程”間存在較大關(guān)聯(lián).因此，數(shù)學(xué)教師可在課堂導(dǎo)學(xué)環(huán)節(jié)中為學(xué)生講解一些建模案例，通過(guò)生活化案例的形式引出本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容.數(shù)學(xué)模型能夠作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與感知生活現(xiàn)象的橋梁，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生深度探究此類(lèi)案例，充分激發(fā)學(xué)生的建模思維.

綜上，導(dǎo)學(xué)環(huán)節(jié)的案例分析能夠引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探究思考，數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生在理清解題邏輯后，進(jìn)一步細(xì)化數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建流程，充分完善學(xué)生的建模能力及解題思維，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（二）根據(jù)教材知識(shí)安排相應(yīng)案例

建模教學(xué)是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方式，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)依托教材內(nèi)容安排對(duì)應(yīng)案例，針對(duì)性提升學(xué)生的建模能力，具體為：第一，數(shù)學(xué)教師首先需要具備建模應(yīng)用的教學(xué)覺(jué)悟，能夠利用多元教學(xué)活動(dòng)激發(fā)學(xué)生的建模意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生使用教材知識(shí)解決問(wèn)題；第二，數(shù)學(xué)教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、獨(dú)立建模的機(jī)會(huì)，深度貫徹“以生為本”的教學(xué)原則.高中階段的學(xué)生已經(jīng)具備了豐富的理論實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，且能夠積極探索教材內(nèi)涵.因此，數(shù)學(xué)教師需要通過(guò)建模案例引導(dǎo)學(xué)生挖掘不同數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵，進(jìn)而熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.當(dāng)講解完成教材內(nèi)某一知識(shí)點(diǎn)后，教師能通過(guò)舉例形式提升學(xué)生的建模能力.筆者在講解函數(shù)內(nèi)容時(shí)，就為學(xué)生安排了如下案例：某小賣(mài)部準(zhǔn)備按照5元/盒的價(jià)格購(gòu)入一批涼粉，并定價(jià)為10元/盒進(jìn)行銷(xiāo)售，當(dāng)天結(jié)束后剩余的涼粉則按廢物處理.工作人員統(tǒng)計(jì)了這一百天內(nèi)涼粉的每天需求量，具體如表1所示.假設(shè)小賣(mài)部的老板準(zhǔn)備購(gòu)入16盒或17盒涼粉售賣(mài)，你認(rèn)為最好購(gòu)入多少盒涼粉呢？

在拿到這一問(wèn)題后，教師首先需引導(dǎo)學(xué)生思考老板應(yīng)當(dāng)根據(jù)什么依據(jù)來(lái)判斷購(gòu)入涼粉的數(shù)量.歸根結(jié)底，是判斷購(gòu)入16盒或17盒涼粉后小賣(mài)部的利潤(rùn)情況.其次，教師需引導(dǎo)學(xué)生分析涼粉利潤(rùn)的統(tǒng)計(jì)方式.學(xué)生可以先分析購(gòu)入16盒涼粉后小賣(mài)部的利潤(rùn)預(yù)期，再分析購(gòu)入17盒涼粉后小賣(mài)部的利潤(rùn)預(yù)期，哪一種預(yù)期數(shù)值更大，老板就能夠選擇哪一種購(gòu)買(mǎi)方案.這一案例要求學(xué)生根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)信息來(lái)計(jì)算涼粉利潤(rùn)的可能性，并據(jù)此建立數(shù)學(xué)模型，該方式能夠幫學(xué)生理清解題思路，完善解題思維，進(jìn)而樹(shù)立學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的自信心.綜上，數(shù)學(xué)教師在講解完基礎(chǔ)知識(shí)后，可趁勢(shì)講解典型案例，也能夠依托班級(jí)學(xué)情將歷年競(jìng)賽題目進(jìn)行改編，幫助學(xué)生擴(kuò)展教材內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的熱情.

（三）在案例設(shè)計(jì)中融入學(xué)生的興趣元素

在建模教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師也需要遵循“樂(lè)學(xué)”原則，將趣味性元素融入案例設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)內(nèi)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)各類(lèi)數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)興趣.新時(shí)代下數(shù)學(xué)教師能夠依托教學(xué)要求，巧妙借助信息技術(shù)手段來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)案例，有效刺激學(xué)生的多種感官，活躍學(xué)生數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生構(gòu)建新舊數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的建模能力.

結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)上述的分析能夠發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)教師需要通過(guò)開(kāi)展建模教學(xué)活動(dòng)來(lái)進(jìn)一步完善學(xué)生的核心素養(yǎng).建模教學(xué)是近幾年興起的一種新型教學(xué)形式，其著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維及實(shí)踐運(yùn)用能力.當(dāng)前一些數(shù)學(xué)教師在開(kāi)展建?；顒?dòng)時(shí)，存在解題不靈活、教學(xué)不深入等問(wèn)題，這顯然不利于學(xué)生建模能力的形成.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研讀《新課標(biāo)》，依托班級(jí)學(xué)情不斷調(diào)整建模教學(xué)方案，將建模教學(xué)的價(jià)值發(fā)揮至最大.

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