二維波動(dòng)方程的高階精度緊致顯式差分格式及穩(wěn)定性分析

摘 要：針對(duì)具有初邊值問(wèn)題的二維波動(dòng)方程，提出了一種數(shù)值求解該方程的高階緊致顯式有限差分格式。首先，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)導(dǎo)數(shù)的離散近似，得到周期邊界條件下的六階緊致差分格式。其次，在空間方向上，邊界節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)利用原方程代入的方法進(jìn)行計(jì)算，而內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)利用六階緊致差分公式近似，使空間精度達(dá)到六階。同時(shí)，在時(shí)間方向上，利用泰勒級(jí)數(shù)展開公式、原方程代入以及中心差分公式推導(dǎo)出時(shí)間層的二階精度差分格式，為了將整體上的時(shí)間精度由二階提高至四階，采用外推算法實(shí)現(xiàn)時(shí)間層的高階近似。再次，再利用傅里葉分析法對(duì)該格式的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得到在此精度下的穩(wěn)定性條件，即|a|λ∈［0，1276］。最后，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的HOCE（6，4）格式的高效性和準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：波動(dòng)方程；中心差分；緊致差分；外推算法；穩(wěn)定性

DOI：10.15938/j.jhust.2024.03.017

中圖分類號(hào)： O241

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2024）03-0141-08

High Order Compact Explicit Difference Schemes and

Stability Analysis for Two-dimensional Wave Equations

SUN Yang1， SONG Linlin1， AI Xiaohui2

（1.School of Science， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China；

2.School of Science， Northeast Forestry University， Harbin 150040， China）

Abstract：In this paper， a high-order compact explicit finite difference scheme is proposed to numerically solve two-dimensional wave equations with initial boundary value problems. First of all， according to the discrete approximation of derivatives in the existing literature， a sixth-order compact difference scheme with periodic boundary conditions is obtained. Then， in the spatial direction， the derivative term of the boundary node is calculated by substituting the original equation， and the derivative term of the internal node is approximated by the sixth order compact difference formula， so that the spatial accuracy can reach the sixth order. For the time direction， the second-order accuracy difference scheme of the time layer is derived by using the Taylor series expansion formula， the original equation substitution and the central difference formula. In order to improve the overall time accuracy from the second order to the fourth order， the Richardson extrapolation method is used to realize the high-order approximation of the time layer. Furthermore the stability of the scheme is analyzed by Fourier analysis method and the stability condition is |a|λ∈［0，1276］. Finally， the efficiency and accuracy of the proposed HOCE（6，4） scheme are verified by numerical experiments.

Keywords：wave equation; central difference; compact finite difference; Richardson extrapolation; stability

0 引 言

波動(dòng)方程作為一類重要的描述波動(dòng)現(xiàn)象的雙曲型偏微分方程，一直以來(lái)受到人們的廣泛關(guān)注。其在彈性力學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)及氣象學(xué)等諸多自然科學(xué)領(lǐng)域都有著較為深入的研究與應(yīng)用［1］。眾所周知，實(shí)際問(wèn)題具有高度的復(fù)雜性，求解偏微分方程的解析解有時(shí)較為困難。因此，對(duì)于偏微分方程數(shù)值解法的研究具有重要意義。

目前，數(shù)值求解方法主要有：有限差分法、有限元法、有限體積法以及譜方法等。其中以離散點(diǎn)的差商近似導(dǎo)數(shù)作為研究手段的有限差分法具有形式簡(jiǎn)單、易于編程實(shí)現(xiàn)和計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)，是求解偏微分方程的有效方法［2］。有限差分法的產(chǎn)生時(shí)間較早，其數(shù)學(xué)理論也已經(jīng)較為成熟，常見的分析差分法穩(wěn)定性的方法主要有Von Neumann方法、矩陣分析方法和能量分析方法［3-4］。

低精度的差分離散格式雖然計(jì)算相對(duì)穩(wěn)定，但是由于其較低的計(jì)算精度和分辨率，往往導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算失真，因此眾多的計(jì)算數(shù)學(xué)工作者專注于高精度、高分辨率的計(jì)算格式研究。研究表明，高精度格式較低精度格式可以有效地減小對(duì)步長(zhǎng)的限制，即使所使用的網(wǎng)格為粗網(wǎng)格，也能夠獲得低精度格式在較細(xì)網(wǎng)格上的計(jì)算精度，即在計(jì)算域內(nèi)利用比較少的網(wǎng)格點(diǎn)就可以獲得較高的計(jì)算精度，從而提高計(jì)算效率。此外，有研究表明，高精度的數(shù)值方法可以有效抑制數(shù)值色散。然而，隨著計(jì)算精度的提高，高精度格式可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定。因此，發(fā)展波動(dòng)方程的高精度（高于二階精度）且穩(wěn)定性好的差分格式是重要且具有實(shí)際意義的研究課題［5-6］。

近年來(lái)，較多學(xué)者對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行了大量的研究，并提出了很多精確有效的方法。其中，文［7］針對(duì)一維波動(dòng)方程，應(yīng)用Runge-Kutta方法，提出了一種具有嚴(yán)格的穩(wěn)定性條件的的二階精度的顯式格式。在文［8-10］中利用Richardson外推法，將時(shí)間二階精度提高至四階，但需要計(jì)算細(xì)網(wǎng)格的二階精度解進(jìn)一步得到粗網(wǎng)格上的四階精度解，從而降低計(jì)算效率。綜上，許多學(xué)者在解決此類問(wèn)題時(shí)，使用的方法在時(shí)間或空間上精度較低［11-12］。對(duì)于多維問(wèn)題，高精度差分格式因其較小的數(shù)值耗散等優(yōu)點(diǎn)有著廣泛的應(yīng)用，但是也存在明顯的問(wèn)題：即在處理邊界條件問(wèn)題上存在不足，所需精度越高節(jié)點(diǎn)就越多，導(dǎo)致處理邊界時(shí)計(jì)算區(qū)域兩端會(huì)出現(xiàn)所謂“冒點(diǎn)”的情況，從而增加邊界處理難度，同時(shí)破壞了系數(shù)矩陣的對(duì)稱性、增加了計(jì)算時(shí)間，導(dǎo)致高精度格式的計(jì)算效率有所下降。如果采用隱式方法，由于有限差分算子的有理函數(shù)將替代差分算子，進(jìn)而每個(gè)時(shí)間步都要解決三對(duì)角系統(tǒng)，使計(jì)算量增加。常用的解決方法是交替方向隱（alternating direction implicit， ADI）格式和局部一維（local one-dimension， LOD）格式［13-14］。ADI格式是將高維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，從而減少計(jì)算量。在引入ADI格式用于求解雙曲型方程后，有很多學(xué)者將其推廣到二維非線性雙曲方程，在文［15］中有詳細(xì)介紹。但是，ADI格式對(duì)計(jì)算區(qū)域有限制條件。LOD格式相比ADI格式解決了這一問(wèn)題。在文［16］中，討論了基于Richardson外推的時(shí)間和空間四階LOD格式。在文［17］中提出包含LOD的三層隱式格式。然而，以上提出的這些方法都是非緊致的，或者只有在特殊條件下才能使用。為了解決這些問(wèn)題，一些學(xué)者致力于各種緊致的高階差分格式的研究與應(yīng)用。高階緊致差分格式是利用不同節(jié)點(diǎn)處空間導(dǎo)數(shù)值的線性組合等于不同節(jié)點(diǎn)處函數(shù)的線性組合進(jìn)行差分，然后根據(jù)不同的精度要求，通過(guò)待定系數(shù)法得到這些組合系數(shù)。近年來(lái)，相關(guān)數(shù)值實(shí)驗(yàn)可以證明，相比非緊致和低階方法，高階緊致差分格式要求的計(jì)算節(jié)點(diǎn)相對(duì)較少、邊界處理相對(duì)簡(jiǎn)單且在一定程度上具有更好的分辨率，并且能夠證明緊致格式的截?cái)嗾`差通常比非緊致格式的截?cái)嗾`差在同階格式下小四到六倍［18-19］。

本文針對(duì)二維波動(dòng)方程，應(yīng)用有限差分思想，構(gòu)造一種高階精度緊致顯C2g2dZTCI14Ktlqq0X8bPA==式有限差分格式。由于本文格式是顯式的，因此不需要任何迭代過(guò)程，能夠有效的縮短計(jì)算時(shí)間。以往數(shù)值結(jié)果表明，緊致格式優(yōu)于相應(yīng)的同階顯式格式。因此，本文格式是將常見的二階或四階空間精度提高到六階，時(shí)間方向上利用Richardson外推，將時(shí)間精度由二階提高至四階的高階緊致顯式差分格式。然后利用Fourier分析法分析該格式的穩(wěn)定性。為了方便起見，將本文的空間六階、時(shí)間四階計(jì)算格式簡(jiǎn)寫為HOCE（6，4）格式。為驗(yàn)證其計(jì)算效率和高精度特性，本文在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中選擇了其它兩種計(jì)算格式：空間四階、時(shí)間二階（簡(jiǎn)稱：HOCE（4，2））格式［21］和空間六階、時(shí)間二階（簡(jiǎn)稱：HOCE（6，2））格式，并且與本文HOCE（6，4）格式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析，從而驗(yàn)證了本文格式的高精度特性以及在計(jì)算效率方面的較強(qiáng)優(yōu)勢(shì)。

1 問(wèn)題描述

對(duì)于如下二維波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題

2ut2=a2（2ux2+2uy2）+f（x，y，t）

（x，y，t）∈D×（0，T］

u（x，y，0）=φ（x，y）

u（x，y，0）t=ψ（x，y）

u（0，y，t）=g0（y，t），u（1，y，t）=g1（y，t）

u（x，0，t）=h0（x，t），u（x，1，t）=h1（x，t）（1）

由于進(jìn)行數(shù)值求解，需要增加的周期邊界條件如下：

u（x+1，y，t）=－u（x，y，t）

u（x，y+1，t）=－u（x，y，t）（2）

式中：u（x，y，t）是未知函數(shù)；D=［0，1］×［0，1］；f（x，y，t）、φ（x，y）、ψ（x，y）、g0（y，t）、g1（y，t）、h0（x，t）、h1（x，t）均為已知函數(shù)，且充分光滑；a為波動(dòng)系數(shù)。

在計(jì)算區(qū)域內(nèi)，進(jìn)行等距網(wǎng)格剖分，h是空間步長(zhǎng)，τ是時(shí)間步長(zhǎng)，（xi，yj，tn）是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，其中，xi=ih，yj=jh，tn=nτ，i，j=0，1，…，N，n=0，1，…，M，用uni，j近似表示（xi，yj，tn）的近似值。

2 HOCE（6，4）格式

首先，根據(jù)文［18-19］中的二階導(dǎo)數(shù)的離散，可以得到如下公式

αu″j－1+u″j+αu″j+1=

a1uj+1－2uj+uj－1h2+a2uj+2－2uj+uj－24h2（3）

式中α，a1，a2為自由參數(shù)，且決定格式的精度，在這里可取

a1=43（1－α），a2=13（10α－1）。

當(dāng)α=211時(shí)，即a1=1211， a2=311，此時(shí)式（3）即為六階精度。在周期邊界條件下，將上述參數(shù)α，a1，a2代入式（3），可得如下的六階精度格式

211u″j－1+u″j+211u″j+1=

1211uj+1－2uj+uj－1h2+311uj+2－2uj+uj－24h2

即

8u″j－1+44u″j+8u″j+1=

3uj+2+48uj+1－102uj+3uj－2+48uj－1h2（4）

當(dāng)參數(shù)α=110，a1=1210，a2=0時(shí)，式（3）為四階精度，即

u″j－1+10u″j+u″j+1=12uj+1－2uj+uj－1h2（5）

2.1 計(jì)算（2ux2）ni，j和（2uy2）ni，j的值

空間內(nèi)部節(jié)點(diǎn)利用六階緊致差分格式，則有

8（2ux2）ni+1，j+44（2ux2）ni，j+8（2ux2）ni-1，j=

3uni+2，j+48uni+1，j－102uni，j+3uni－2，j+48uni－1，jh2（6）

式中i=2，3，…，N－2，j=0，1，…，N。

8（2uy2ni，j+1+44（2uy2）ni，j+8（2uy2ni，j－1=

3uni，j+2+48uni，j+1－102uni，j+3uni，j－2+48uni，j－1h2（7）

式中：j=2，3，…，N－2；i=0，1，…，N。

對(duì)空間邊界點(diǎn)進(jìn)行處理，由式（1）和式（2）可得

（2ux2）n0，j=1a2（2ut2-f）n0，j-（2uy2）n0，j=

1a2（2g0t2-f）n0，j－（2g0y2n0，j（8）

式中j=0，1，…，N。

（2ux2nN，j=1a2（2ut2-f）nN，j－（2uy2nN，j=

1a2（2g1t2-f）nN，j－（2g1y2nN，j（9）

式中j=0，1，…，N。

（2uy2）n0，j=1a2（2ut2-f）ni，0-（2uy2）ni，0=

1a2（2h0t2-f）ni，0－（2h0y2ni，0（10）

式中i=0，1，…，N。

（2uy2）ni，N=1a2（2ut2-f）ni，N-（2uy2）ni，N=

1a2（2h1t2-f）ni，N－（2h1y2ni，N（11）

式中i=0，1，…，N。

2.2 第一個(gè)時(shí)間層的離散

利用Taylor公式展開得到

u1i，j=u0i，j+τ（ut）0i，j+τ22（2ut2）0i，j+O（τ3）=

u0i，j+τ（ut0i，j+τ22（2ut2）0i，j+O（τ3）（12）

利用式（1），對(duì)上式右端項(xiàng)進(jìn)行整理可得

（2ut2）0i，j=a2［（2ux20i，j+（2uy2）0i，j］+f0i，j=

a2［（φxx）i，j+（φyy）i，j］+f0i，j（13）

將式（13）代入式（12），化簡(jiǎn)并舍去截?cái)嗾`差項(xiàng)得

u1i，j=φ（xi，yj）+τψ（xi，yj）+

τ22［a2φxx（xi，yj）+a2φyy（xi，yj）+f（xi，yj，0）］（14）

2.3 其他時(shí)間層

利用中心差分格式近似時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，并利用Taylor公式展開，可得

un+1i，j－2uni，j+un－1i，jτ2=a2［（2ux2）ni，j+（2uy2）ni，j］+

fni，j+o（τ2）（15）

對(duì)式（15）化簡(jiǎn)整理，并舍去截?cái)嗾`差項(xiàng)得到

un+1i，j=2uni，j－un－1i，j+a2τ2［（2ux2）ni，j+（2uy2）ni，j］+fni，j（16）

式（16）即為空間六階精度，時(shí)間二階精度HOCE/kyzO3GOmU/AWuTjHnRhFQ==（6，2）的顯式緊致差分格式，該格式的截?cái)嗾`差為

O（h6+τ2h2+τ2）。

2.4 時(shí)間層的外推解

式（16）的格式在空間上為六階精度，但時(shí)間精度僅具有二階，考慮采用如下的Richardson外推法將時(shí)間精度提高到四階

uni，j（τ，h）=（4u2ni，j（τ/2，h）－uni，j（τ，h））/3（17）

其中：式（17）左端項(xiàng)uni，j（τ，h）為所求的四階精度解，右端項(xiàng)uni，j（τ，h）為格式（16）在時(shí)間步長(zhǎng)為τ時(shí)的解，u2ni，j（τ/2，h）為時(shí)間步長(zhǎng)取τ/2時(shí)的解。

3 穩(wěn)定性分析

利用Fourier方法分析格式穩(wěn)定性。這里，假設(shè)f精確無(wú)誤差，且令uni，j=ξnei（σ1xi+σ2yj），（uxx）ni，j=ηnei（σ1xi+σ2yj），（uyy）ni，j=γnei（σ1xi+σ2yj），式中ξ、η、γ為振幅，σ1、σ2為波數(shù)，i=－1為虛數(shù)單位。

引理1［20］ 實(shí)系數(shù)二次方程λ2－bλ－c=0的根按模不大于1的充要條件為|b|≤1－c≤2。

由已知條件

uni+1，j=ξnei（σ1xi+1+σ2yj）=

ξnei［σ1（xi+h）+σ2yj］=ξnei（σ1xi+σ2yj）eiσ1h

同理

uni－1，j=ξnei（σ1xi+σ2yj）e－iσ1h

uni+2，j=ξnei（σ1xi+σ2yj）e2iσ1h，uni－2，j=ξnei（σ1xi+σ2yj）e－2iσ1h

uni，j+1=ξnei（σ1xi+σ2yj）eiσ2h，uni，j－1=ξnei（σ1xi+σ2yj）e－iσ2h

uni，j+2=ξnei（σ1xi+σ2yj）eiσ2h，uni，j－2=ξnei（σ1xi+σ2yj）e－iσ2h

且可得到

（uxx）ni+1，j，（uxx）ni-1，j，（uxx）ni+2，j，（uxx）ni-2，j

（uyy）ni，j+1，（uyy）ni，j-1，（uyy）ni，j+2，（uyy）ni，j-2

則將上式代入式（6）化簡(jiǎn)整理得

ηnei（σ1xi+σ2yj）［16cosσ1h+44］=

12h2ξnei（σ1xi+σ2yj）（cosσ1h－1）（cosσ1h+9）（18）

即

ηn=3h2（cosσ1h－1）（cosσ1h+9）4cosσ1h+11ξn（19）

同理，式（7）化簡(jiǎn)為

γnei（σ1xi+σ2yj）［16cosσ2h+44］=

12h2ξnei（σ1xi+σ2yj）（cosσ2h－1）（cosσ2h+9）（20）

即

γn=3h2（cosσ2h－1）（cosσ2h+9）4cosσ2h+11ξn（21）

下面進(jìn)行穩(wěn)定性分析，令vn+1ij=unij，f≡0，式（16）的矩陣形式如下

un+1ijvn+1ij=2－110un+1ijvnij+

a2τ2000（uxx）nij+（uyy）nij（vxx）nij+（vyy）nij（22）

令Unij=（unij，vnij）T，Unij=ξnei（σ1h+σ2h），并代入式（22），化簡(jiǎn)為

ξn+1=2－110ξn+a2τ2000（ηn+γn）（23）

將式（19）與式（21）代入式（23），記λ=τh，r=aλ，令

C=2+3r2（cosσ1h－1）（cosσ1h+9）4cosσ1h+11+

（cosσ2h－1）（cosσ2h+9）4cosσ2h+11（24）

可得該格式的誤差增長(zhǎng)矩陣為

D=C－110

則對(duì)應(yīng)的特征方程是

μ2－2+3r2（cosσ1h－1）（cosσ1h+9）4cosσ1h+11+

（cosσ2h－1）（cosσ2h+9）4cosσ2h+11μ+1=0（24）

由引理1可知，在上述方程式（24）中，

b=2+3r2（cosσ1h－1）（cosσ1h+9）4cosσ1h+11+

（cosσ2h－1）（cosσ2h+9）4cosσ2h+11

c=－1，則該格式穩(wěn)定的充要條件為

2+3r2（cosσ1h－1）（cosσ1h+9）4cosσ1h+11+

（cosσ2h－1）（cosσ2h+9）4cosσ2h+11≤2（25）

式（25）等價(jià)為以下兩個(gè)不等式

3r2（cosσ1h－1）（cosσ1h+9）4cosσ1h+11+

（cosσ2h－1）（cosσ2h+9）4cosσ2h+11≤0（26）

－4≤3r2（cosσ1h－1）（cosσ1h+9）4cosσ1h+11+

（cosσ2h－1）（cosσ2h+9）4cosσ2h+11（27）

對(duì)于式（26），不等式恒成立。

對(duì)于式（27），化簡(jiǎn)為r2≤43A，式中

A=（1－cosσ1h）（cosσ1h+9）4cosσ1h+11+

（1－cosσ2h）（cosσ2h+9）4cosσ2h+11

令α=1－cosσ1h，β=cosσ2h+9，則

A=α（10－α）15－4α+β（10－β）15－4β

且α∈［0，2］，β∈［0，2］，經(jīng)過(guò)特殊取值可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=β=2時(shí)，有

r2≤724

則該格式的穩(wěn)定性條件為

|a|λ∈［0，1276］

4 數(shù)值算例

為驗(yàn)證本文格式的高精度和高分辨率特性，選擇比較HOCE（4，2）格式［21］，HOCE（6，2）格式與本文格式。考慮以下方程的初邊值問(wèn)題，計(jì)算了不同空間步長(zhǎng)的不同時(shí)刻的L∞和L2范數(shù)誤差以及計(jì)算時(shí)間。其中L∞和L2范數(shù)誤差的定義如下：

L∞-error=maxi，j|uni，j－u（xi，yj，tn）|

L2-error=h2∑i，j［uni，j－u（xi，yj，tn）］2

算例1［21］

2ut2=2ux2+2uy2

u（0，y，t）=0，u（1，y，t）=0

u（x，0，t）=0，u（x，1，t）=0

u（x，y，0）=sin（πx）sin（πy）

u（x，y，0）t=0（28）

其精確解為u（x，y，t）=sin（πx）sin（πy）cos（2πt）。

通過(guò)比較HOCE（4，2）格式和HOCE（6，2）格式及本文格式的計(jì)算結(jié)果。即當(dāng)h=1/10，1/20，…，1/320時(shí)，計(jì)算了τ=0.0002時(shí)在第100個(gè)時(shí)間步上，不同空間步長(zhǎng)的范數(shù)誤差。其中，表1為L(zhǎng)∞范數(shù)誤差，表2為L(zhǎng)2范數(shù)誤差。由表1和表2可知，當(dāng)空間步長(zhǎng)不斷減小時(shí)，L2和L∞范數(shù)誤差也相應(yīng)減小，并且本文的計(jì)算結(jié)果優(yōu)于HOCE（4，2）和HOCE（6，2）的格式。表3為通過(guò)數(shù)值算例進(jìn)一步說(shuō)明本文所提出的HOCE（6，4）格式在計(jì)算時(shí)間方面具有高效性。對(duì)于不同的h，由于格式的計(jì)算復(fù)雜度不同，HOCE（6，4）格式計(jì)算時(shí)間較其它兩種格式有一定的增加。然而，若我們加密網(wǎng)格，在空間步長(zhǎng)為h2時(shí)，由計(jì)算結(jié)果能夠看出HOCE（6，4）格式相比其它格式的計(jì)算時(shí)間無(wú)明顯差別，而計(jì)算誤差大為減少，從而充分體現(xiàn)了本文HOCE（6，4）格式的高精度的優(yōu)點(diǎn)。

算例2［21］

2ut2=2ux2+2uy2

u（0，y，t）=0，u（1，y，t）=0

u（x，0，t）=0，u（x，1，t）=0

u（x，y，0）=0

u（x，y，0）t=2πsin（πx）sin（πy）（29）

其精確解為

u（x，y，t）=sin（2πt）sin（πx）sin（πy）

表4和表5給出了本文HOCE（6，4）、本文HOCE（6，2）以及文［21］中的HOCE（4，2）格式的計(jì)算結(jié)果。計(jì)算了τ=0.0025，在t=1時(shí)，不同空間步長(zhǎng)的范數(shù)誤差。即，L∞+范數(shù)誤差和L2范數(shù)誤差?？芍?，當(dāng)空間步長(zhǎng)不斷減小時(shí)，范數(shù)誤差也相應(yīng)減小，并且本文的計(jì)算結(jié)果相對(duì)較好。由表6可以得到，本文格式的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)二維波動(dòng)方程，利用六階緊致格式計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)。由于緊致格式具有基架少，分辨率高等諸多優(yōu)點(diǎn)，因此特別適用于波動(dòng)方程等偏微分方程的高精度計(jì)算。時(shí)間方向上利用Richardson外推，將時(shí)間二階提高到四階精度。利用Fourier分析法求出了該格式的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)閨a|λ∈［0，1276］。數(shù)值實(shí)驗(yàn)方面，為驗(yàn)證本文HOCE（6，4）格式的有效性和高分辨率特性，與HOCE（6，2）格式和HOCE（4，2）格式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。結(jié)果表明，不論計(jì)算精度還是計(jì)算時(shí)間方面，本文的HOCE（6，4）格式都具有很高的計(jì)算精度和計(jì)算效率。HOCE（6，4）格式在計(jì)算時(shí)間上較HOCE（6，2）格式并沒(méi)有明顯增加，但是在相同時(shí)間和空間步長(zhǎng)的條件下，本文的HOCE（6，4）格式的計(jì)算誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于HOCE（6，2）格式和HOCE（4，2）格式，而且從計(jì)算結(jié)果可以看出：在粗網(wǎng)格下，本文的HOCE（6，4）格式的數(shù)值誤差要優(yōu)于空間步長(zhǎng)減半的HOCE（4，2）格式的數(shù)值誤差。這充分驗(yàn)證了高階精度能夠顯著提高差分格式的計(jì)算效率，因此可以說(shuō)本文對(duì)計(jì)算格式的改進(jìn)是成功的。

下一步作者考慮將HOCE（6，4）格式推廣到三維波動(dòng)方程以及其它偏微分方程的數(shù)值計(jì)算當(dāng)中，可以預(yù)見將會(huì)有更多較好的成果呈現(xiàn)。

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（編輯：溫澤宇）