基于原子范數(shù)的非均勻陣列到達角估計

摘" 要： 在雷達系統(tǒng)中，天線陣列至關(guān)重要。非均勻陣列能減少天線陣元使用，帶來更高的自由度，但由于其陣元位置不規(guī)則排布在到達角（DOA）估計、空間頻譜計算等方面存在難題，難以滿足雷達目標(biāo)跟蹤、聲源估計等場景中高精度和快速DOA估計的需求。針對該問題，文中在[?0]原子范數(shù)的基礎(chǔ)上提出基于Circle混沌映射的并行無網(wǎng)格DOA估計算法。該算法通過并行處理目標(biāo)函數(shù)的同時進行群體尋優(yōu)，引入自適應(yīng)策略進行模型精英學(xué)習(xí)和狀態(tài)評估，隨后增加變異算子實現(xiàn)全局最優(yōu)解尋找，從而實現(xiàn)了非均勻陣列信號快速DOA估計。仿真驗證表明，相對于常見DOA估計算法，該算法可以獲得較小的均方根誤差（RMSE），同時實現(xiàn)更精確的角度估計和更少的計算復(fù)雜度。

關(guān)鍵詞： DOA估計； [?0]原子范數(shù)； 非均勻陣列； Circle混沌映射； 自適應(yīng)策略； 變異算子

中圖分類號： TN911.7?34" " " " " " " " " " " " " " 文獻標(biāo)識碼： A" " " " " " " " " " "文章編號： 1004?373X（2024）17?0010?09

Non?uniform array DOA estimation based on atomic norms

LONG Weijun， XU Yizhuo， ZHANG Yulu， ZHAO Qinghua

（School of Electronics and Information Engineering， Nanjing University of Information Science and Technology， Nanjing 210044， China）

Abstract： Antenna arrays are crucial in radar systems. Non?uniform arrays can reduce the use of antenna elements and bring higher degrees of freedom. Due to the irregular arrangement of array elements， non?uniform arrays have difficulties in direction of arrival （DOA） and spatial spectrum calculation， which are difficult to meet the needs of high?precision and fast DOA estimation in radar target tracking and acoustic source estimation. In view of the above， a parallel gridless DOA estimation algorithm based on Circle chaotic map is proposed on the basis of atomic norm [?0 ]. This algorithm performs group optimizing while processing the objective function problem in parallel. An adaptive strategy is introduced for model elite learning and state evaluation. And then， mutation operators are added to find out the global optimal solution， so as to realize fast DOA estimation of non?uniform array signals. Simulation experiments show that the proposed algorithm can obtain a smaller root mean square error （RMSE）， and achieve more accurate angle estimation and less computational complexity in comparison with the existing common DOA estimation algorithms.

Keywords： DOA estimation; atomic norm [?0]; non?uniform array; Circle chaotic mapping; adaptive strategy; mutation operator

0" 引" 言

隨著智能化、信息化的發(fā)展，非均勻陣列的DOA（Direction of Arrival）估計在軍事、民用航空、汽車安全和無人駕駛等場景中得到廣泛應(yīng)用，尤其在雷達、聲學(xué)、多用戶通信等領(lǐng)域，陣元數(shù)目較多會增加設(shè)備使用，這將對信號處理系統(tǒng)的可靠性帶來影響。非均勻陣列能減少陣元數(shù)使用，減少資源利用，通過合成更大孔徑帶來更高的自由度[1]，可以實現(xiàn)信號定位，多目標(biāo)處理和空間譜分析，對于實現(xiàn)場景中的目標(biāo)追蹤和干擾消除至關(guān)重要[2?4]。但是非均勻陣列的不規(guī)則排布使得信號處理變得更加復(fù)雜，可能會造成角度估計模糊、信號區(qū)分困難等難題。

早在20世紀(jì)八九十年代，多重信號分類（Multiple Signal Classification， MUSIC）[5]、旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)信號參數(shù)估計（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique， ESPRIT）[6]、加權(quán)子空間擬合（Weighted Subspace Fitting， WSF）[7]、最大似然函數(shù)估計法（Maximum Likelihood Estimation， MLE）等DOA估計算法被相繼提出，這些算法充分考慮了信號在陣列空間結(jié)構(gòu)上的特性，計算較為容易，但存在局限性，它們在設(shè)計時假設(shè)了均勻陣列的特性，非均勻陣列的不規(guī)則排列使得這些算法無法直接應(yīng)用。2010年基于壓縮感知（Compressive Sensing， CS）的DOA估計算法被提出，相比傳統(tǒng)DOA算法，可實現(xiàn)更精確的角度估計，方法更具優(yōu)勢。CS算法基于[?1]范數(shù)正則化模型，利用矩陣稀疏結(jié)構(gòu)求解，正交匹配追蹤[8]（Orthogonal Matching Pursuit， OMP）、基于特征值分解的[?1]范數(shù)[9]（[?1]?SVD）和基于陣列協(xié)方差稀疏表示的[?1]范數(shù)[10]（[?1]?SRACV）等算法都是通過稀疏結(jié)構(gòu)引入DOA估計。CS算法集中于離散網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，通過劃分角度集實現(xiàn)角度測量，但是由于網(wǎng)格點數(shù)量有限，CS算法會不可避免地產(chǎn)生估計誤差[11]。無網(wǎng)格的壓縮感知算法逐漸代替離散網(wǎng)格算法，2012年基于原子范數(shù)最小化[12]（Atomic Norm Minimization， ANM）的無網(wǎng)格DOA估計算法、交替方向乘子法（ADMM）等被提出，打破了有網(wǎng)格算法的局限性，使得目標(biāo)的定位估計或頻譜估計不需要依賴于網(wǎng)格離散化，可以直接在連續(xù)域中進行。目前無網(wǎng)格DOA估計是通過凸松弛[8?10]求解的，對于非均勻陣列，無網(wǎng)格DOA仍然可用。

無網(wǎng)格的壓縮感知算法可以解決半正定規(guī)劃問題（SDP），半正定規(guī)劃問題通常通過Matlab的CVX工具箱[13]進行求解，求解較慢且精度不高。交替迭代投影[14]（Alternating Projection， AP）、改進的模態(tài)分析中主奇異向量法[15]（Enhanced Principal?singular?vector Utilization for Modal Analysis， EPUMA）等算法逐漸應(yīng)用起來，提高了無網(wǎng)格的計算效率。非均勻陣列對角度的精確性更加敏感，2018年有學(xué)者將ANM技術(shù)推廣到非均勻陣列中，文獻[13]應(yīng)用陣列插值技術(shù)構(gòu)造新的托普利茲矩陣，從虛擬的均勻陣列中得到目標(biāo)的角度值，但是該算法受到計算復(fù)雜度的影響。文獻[16]在ANM框架的基礎(chǔ)上，使用加速近端梯度算法，減少了空間復(fù)雜度，但也使問題求解變得更加復(fù)雜。

然而，不論是均勻陣列還是非均勻陣列，無網(wǎng)格算法大多數(shù)基于原子[?1]范數(shù)的凸松弛展開，在凸松弛問題一直存在的情況下，上述算法中的無網(wǎng)格算法不能很好地保證結(jié)構(gòu)稀疏性，甚至對角度精確度有很大影響。為了獲得更好的DOA估計，突破角度精確度的限制，出現(xiàn)了基于非均勻陣列的重新加權(quán)的原子范數(shù)最小化[17]和重新加權(quán)的協(xié)方差擬合準(zhǔn)則的近似[?0]原子范數(shù)[18]等算法。文獻[14]在參考均勻陣列的范德蒙結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，使用不規(guī)則范德蒙矩陣分解將[?0]原子范數(shù)最小化的無網(wǎng)格DOA推廣到非均勻陣列中使用，使用交替迭代投影求解非凸優(yōu)化問題，提高角度估計的精確性。與[?1]原子范數(shù)相比，[?0]原子范數(shù)帶來了增強的稀疏性和計算精度，對于具有廣泛應(yīng)用場景的非均勻陣列來說，研究[?0]原子范數(shù)具有更加重要的意義[18]。

綜上所述，非均勻陣列的DOA估計在計算復(fù)雜度、角度精確度等方面存在難題，在此背景下，本文主要進行了以下工作：

1） 依據(jù)非均勻陣列進行接收信號模型構(gòu)建，依據(jù)原子[?0]范數(shù)確定目標(biāo)問題模型。

2） 提出一種基于Circle映射的并行無網(wǎng)格DOA估計方法，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)對初始集合[θ，X]進行Circle混沌映射，設(shè)置非支配粒子，通過自適應(yīng)策略和變異算子迭代實現(xiàn)非凸計算。

3） 將2）中算法與各種DOA算法對比，比較SNR不同時角度的RMSE（Root Mean Square Error）、算法復(fù)雜度，驗證了本文算法的有效性。

1" 模型構(gòu)建

1.1" 接收信號模型

引入DOA估計之前，需要構(gòu)造接收信號的陣列模型。考慮一個具有[N]個陣元的非均勻線性陣列，接收來自陣列遠(yuǎn)場中的[K]個窄帶信號源，假設(shè)信號源和陣列位于同一平面內(nèi)。信號源的角度為[θ=θ1，θ2，…，θKT]，陣列的位置位于[r=r1，r2，…，rNT]，其中每一個[rii=1，2，…，N]以半波長為單位表示陣元[i]距任意原點的距離，陣列排布是非均勻的。同時，假設(shè)陣列陣元間滿足各向同性，元件之間沒有耦合，陣列接收信號也沒有額外的誤差。[d]是半波長，即[d=λ2]，非均勻陣列示意圖如圖1所示。

對于[L]個測量快拍，接收信號[Y∈CN×L]構(gòu)建為：

[Y=ΑX+N=i=1Kaθixi+N] （1）

式中：[A=aθ1，aθ2，…，aθK∈CN×K]為陣列流形矩陣，陣列流形向量可以表示為：[aθ=e-j2πr1sinθλ，e-j2πr2sinθλ，…，e-j2πrNsinθλT]； [X=x1，x2，…，xKT∈]

[CK×L]包含來自[K]個源的信號；[N∈CN×L]為互不相關(guān)的高斯白噪聲。

1.2" 目標(biāo)問題建模

實現(xiàn)DOA估計，需要從觀察到的接收信號模型中恢復(fù)[θk]。早期較為常用的算法是基于原子[?1]范數(shù)的壓縮感知算法，該算法在有網(wǎng)格的基礎(chǔ)上進行劃分，它將[θ]的所有可能性取值[θ∈-π，π]離散為[M]個虛擬網(wǎng)格單元，陣列的流形矩陣變?yōu)椋?/p>

[AM=aθ，?：aθ，?=aθ?：θ∈-π，2-MMπ，…，M-2Mπ，?2=1] （2）

式（2）是離散變化的參數(shù)索引[θ，?]的原子集。由于本文僅討論一維線性陣列，因此僅討論參數(shù)[θ]。定義原子[?0]范數(shù)和原子[?1]范數(shù)分別為：

[YAM，0=infθk，ckK：Y=k=1Ka.（θk）ck，θ∈-π，2-MMπ，…，M-2MπYAM，1=infθk，ckk=1Kck：Y=k=1Ka.（θk）ck，θ∈-π，2-MMπ，…，M-2Mπ] （3）

式中：Inf表示下確界；[ck=xk2]。

由于原子[?0]范數(shù)是NP?hard問題，難以計算。為了便于處理，一般對原子[?1]范數(shù)凸優(yōu)化求解，通過使用CVX工具箱解決SDP問題或者是構(gòu)造最小化協(xié)方差矩陣實現(xiàn)擬合。在壓縮感知算法中，可以通過凸松弛范數(shù)最小化來恢復(fù)[θk]和[ck]。因此，目標(biāo)的DOA估計可以通過求解式（4）基于[?1]范數(shù)的凸優(yōu)化問題來獲得。

[mincY-Ac22+χYAM，1]" （4）

式中：[A]是[N×M]的有網(wǎng)格劃分的陣列流形矩陣；[χ]是與噪聲水平有關(guān)的正則化參數(shù)。然而，求解過程中會出現(xiàn)網(wǎng)格精度不匹配的問題，使用更加密集的網(wǎng)格劃分會違反受限等距特性[19]（Restricted Isometry Property， RIP），使得稀疏重建變得更加難以實施，因此離網(wǎng)網(wǎng)格算法逐步應(yīng)用。

但無網(wǎng)格算法同樣需要建立[?1]范數(shù)來模擬最小化問題，目前廣泛使用的是核范數(shù)和ANM原子范數(shù)。通過研究虛擬域原子范數(shù)的性質(zhì)，等效虛擬測量向量的原子范數(shù)最小化問題被公式化，以無網(wǎng)格方式重構(gòu)內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣使得能夠進行離網(wǎng)DOA估計。[?1]范數(shù)的凸優(yōu)化問題都通過用其凸松弛代替來解決。

[minQ，S，Y，uY-Y22+τ2TrQ+TrT（u），s.t." " S=T（u）YYHQ， S?0]" （5）

式中：[Y∈CN×L]是接收信號的測量矩陣；[T（u）∈CN×N]是第一列為[u]的托普利茲矩陣；[Q∈CL×L]；[τ]是正則化參數(shù)系數(shù)。

與上述不同，本文不從[?1]范數(shù)考慮，不進行非凸轉(zhuǎn)凸規(guī)劃，提出的算法從原子[?0]范數(shù)出發(fā)，受離網(wǎng)非均勻子陣列合成中恢復(fù)重構(gòu)稀疏向量的啟發(fā)[20]，這里引入一種并行處理策略，旨在盡可能多地擬合期望的陣列接收測量值[Y]，在滿足匹配精度的同時，最小化[Y]的非零數(shù)量，其可以表示為：

[argminY0s.t." " Y-AX22≤ε]" （6）

簡化式（6），將原子范數(shù)最小化問題簡化成并行的多個優(yōu)化最小值問題：

[minYA，0minY-AX22]" （7）

式中：[YA，0]和[Y-AX22]分別表示原子[?0]范數(shù)和陣列接收信號的測量誤差。并行計算目標(biāo)函數(shù)兩部分，在引入[?0]原子范數(shù)保證獲得信號稀疏性的同時，最小化[Y]的非零數(shù)量，實現(xiàn)更精確的DOA估計。

2" 算法描述

本文針對式（7）目標(biāo)問題模型，設(shè)計了一種基于Circle混沌策略的非支配排序粒子[21]目標(biāo)（Nondominated Sorting Particle Target， NSP）算法。Circle映射是一種混沌映射，它通過將輸入值映射到一個新的值來隨機產(chǎn)生初始混沌序列[22?23]。

本文從原子[?0]范數(shù)的離網(wǎng)模型構(gòu)造出發(fā)，原子[?0]范數(shù)相較于[?1]原子范數(shù)，增強了稀疏性和計算精度，通過最小化[?0]范數(shù)，可以實現(xiàn)對信號中非零元素的選擇，從而達到信號稀疏化的目的。針對非均勻陣列DOA估計精度問題，這里引入混沌映射生成具有高隨機性的初始序列，減少噪聲的干擾，提高搜索能力以便獲得更優(yōu)的解。對于求解速度問題，針對多目標(biāo)參數(shù)的優(yōu)化問題，計算Pareto非支配解，通過非支配解配對，每一步的迭代中基于天牛算法（BAS）迭代更新步長，加速更新粒子位置獲得多樣的不同權(quán)衡度的集合，從而得到更多的可行性選擇。

定義種群大小，設(shè)[Nr=30]。用混沌映射生成更高隨機性[θ]集合，依據(jù)每一個粒子的[θ]集合構(gòu)造關(guān)于目標(biāo)求解模型合成矩陣，利用天牛特性[24]對粒子的速度和動態(tài)步長加權(quán)更新粒子位置，降低計算時間，借鑒非支配排序獲得多樣性，引入自適應(yīng)策略進行模型精英學(xué)習(xí)和狀態(tài)評估，增加擾動算子防止陷入局部最優(yōu)[22]。最后進行存檔處理，對存檔的數(shù)據(jù)依據(jù)擁擠距離進行剪裁，獲得最終數(shù)據(jù)進行非擬合判別，得到需要的[θ]集，提高估計精度。算法具體步驟如下：

1） 劃分初始[θ]集合：圖2顯示了混沌策略的優(yōu)勢。初始定義[θ]的各種集合，將每一個集合放入每一個個體中，引入Circle映射來增加隨機性，使種群分布更加多樣性[13]。其方程如下：

[θi+1=θi+0.2-mod0.52πsin（2πxi），1]" （8）

式中，[θi+1]表示映射之后的位置，[θi]表示目標(biāo)原始值，[i]表示維度。

2） 計算陣列接收信號的測量誤差和[A]中合成[Y]的最小原子數(shù)：[minY-AX22]，可以由最小二乘法進行求解，將求解得到的值[X]代入誤差函數(shù)項進行誤差計算，獲得誤差向量[FG]；[YA，0]形成最小原子數(shù)向量[TG]；

3） 依據(jù)式（7）將兩個向量拼接成矩陣，[AG=TGFG]；目標(biāo)矩陣[AG]由[θ]集和輸入源信號[X]決定，[θ]集合存在于流形矩陣[A]中，合成[Y]的最小原子數(shù)取決于種群中[θ]集合的個數(shù)。

4） 選擇適配度較高的集合[θ，X，AG]為初始精英集合，并初始化存檔矩陣[AR]，[AR]矩陣通過目標(biāo)函數(shù)和[θ]的值進行合理存取，每經(jīng)過一次迭代都會使得存檔矩陣[AR]保留可能性較大的最佳值，避免產(chǎn)生遺漏。

5） 根據(jù)[AG]矩陣計算帕累托等級（Pareto）非支配解，實現(xiàn)非支配排序。給定一個目標(biāo)矩陣[AG]，根據(jù)目標(biāo)向量對比來進行解排序，并計算每個解的前沿號和擁擠距離。迭代開始時在確定好Pareto非支配解集后，使用擁擠距離計算來選擇最具有更大多樣性的解集， 輸出集合解的前沿號和擁擠距離。依據(jù)目標(biāo)問題算法模型對同層同Pareto等級中的個體進行選擇性排序，按照個體擁擠距離（Crowding Distance）大小排序。

6） 自適應(yīng)策略[21]——精英保留策略+狀態(tài)評估。依據(jù)前沿號（每個解的front rank）和擁擠距離進行錦標(biāo)賽選擇輸出個體的索引，對精英集合中個體指導(dǎo)更新，通過適應(yīng)度值進行狀態(tài)評估，基本思路如下。

① 選擇參與錦標(biāo)賽的個體。根據(jù)式（9）設(shè)置錦標(biāo)賽大小，表示每次選擇時比較候選解的數(shù)量。從群體中選擇一定數(shù)量的個體參與錦標(biāo)賽。每個個體以一定概率被選為參與者。找到第一個適應(yīng)度數(shù)組的所有索引，找出對應(yīng)的所有非支配解，[Nr]代表種群大小，根據(jù)非支配解的數(shù)量選擇個體，確保至少選擇[Nr 2]個個體。如果非支配解數(shù)量大于[Nr 2]，選擇前[Nr 2]個解索引；如果非支配解數(shù)量小于[Nr 2]，就從中隨機選擇一些個體進行填充。

[numindex適應(yīng)度值=1gt;Nr 2，任意1：Nr 2numindex適應(yīng)度值=1lt;Nr 2，隨機個體填充] （9）

② 進行狀態(tài)估計。隨機選擇[Nr 2]個個體作為待選擇的個體，這些個體將與①中確定的[Nr 2]非支配解配對。隨機選擇某個解與非支配解配對，將非支配解的索引放在選定個體索引數(shù)組的奇數(shù)位置，將從隨機選擇的個體中獲得的索引放在選定個體索引數(shù)組的偶數(shù)位置，過程如圖3所示。

③ 確定勝者。在每一輪的錦標(biāo)賽中，每個參與個體都會進行一次競爭，最終只有一個個體勝出。勝利的個體被選為當(dāng)前錦標(biāo)賽中的勝者[gbest]。

④ 更新精英。將當(dāng)前錦標(biāo)賽的勝者與當(dāng)前精英解進行比較，如果勝者的適應(yīng)度值優(yōu)于當(dāng)前精英解，則將勝者取代為新的精英解。

⑤ 重復(fù)步驟③、步驟④。重復(fù)進行錦標(biāo)賽選擇和精英更新的步驟，直到滿足迭代次數(shù)為止。

7） 更新粒子位置。根據(jù)粒子的速度和步長加權(quán)更新粒子位置，步長更新由BAS算法[24]獲取，圖4顯示了更新粒子位置的過程，其中[d]指的是天牛兩個觸角之間的距離，虛線表示適應(yīng)度函數(shù)曲線，[δk]表示搜索步長。

8） 變異算子。更新粒子的存檔archive，每一次循環(huán)迭代將會通過精英保留策略把每一代的個體精英粒子[pbest]集合存入其中，由于進行步驟6）可能會丟失一些非支配解或者陷入局部最優(yōu)解，這時打亂解的順序，對精英集合的解進行變異操作，根據(jù)新生成的集合計算目標(biāo)函數(shù)值，更新非支配解，同時find函數(shù)查找排除重復(fù)解，過程如圖5所示。

9） 當(dāng)存檔遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過自身最大存檔數(shù)時，可以依據(jù)擁擠距離對數(shù)據(jù)合理剪裁，然后重復(fù)步驟得到結(jié)果更新種群和存檔。最后將存檔的數(shù)據(jù)進行處理，存檔中保存了許多[θ]解對應(yīng)的非擬合函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的模型，將存檔中保留的可能的精英集合代入式（7）中，找到符合目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)折點，依據(jù)非擬合函數(shù)的斜率法找到符合的[θ]值[25]。

在非擬合函數(shù)的情況下，選取存檔矩陣中的[AG]。本文通過斜率法實現(xiàn)轉(zhuǎn)折點尋找：

① 將存檔的數(shù)據(jù)寫入，獲得非擬合數(shù)據(jù)集，這個數(shù)據(jù)集包括了[YA，0]和[Y-AX22]在不同的[θ，X]下的變化。

② 對于數(shù)據(jù)集中的每一個數(shù)據(jù)點[x，y]，計算當(dāng)前點與其前后兩個點之間的斜率：

[k1=yi-1-yixi-1-xik2=xi+1-xiyi+1-yi]" "（10）

③ 計算夾角：使用向量之間的夾角公式來計算兩個向量的夾角。對于數(shù)據(jù)點[x1，y1]和[x2，y2]，可以將它們視為向量，計算他們之間的夾角。

[θ1=arctank1θ2=arctank2]" （11）

④ 將[θ1]和[θ2]相加，得到當(dāng)前點的總角度，然后將其存儲在[?]數(shù)組中的相應(yīng)位置。

[?=θ1+θ2]" "（12）

找到[?]數(shù)組中具有最大值的索引，這將是轉(zhuǎn)折點的位置。將索引更新到存檔中，得到[θ]。算法整體流程如圖6所示。

3" 仿真實驗

3.1" 一維DOA估計結(jié)果

為直觀地顯示DOA估計結(jié)果，采取空間譜顯示多個快照DOA性能。通過常規(guī)波束形成（CBF）算法、改進MUSIC算法、ANM算法、加速近端梯度下降（APG）算法以及本文算法對目標(biāo)進行一維DOA估計。其中快拍數(shù)取500，陣列陣元位置為[0，3，4，6，8，9]，信號的方向來自[-60°，-30°，30°，60°]。當(dāng)信噪比較高時，算法的估計結(jié)果良好，各個算法無明顯差別，但當(dāng)信噪比較低時，本文算法優(yōu)于其他算法，其他算法得到的DOA估計結(jié)果與目標(biāo)真實波達方位角之間將存在明顯的偏差。

不同SNR條件各算法估計如圖7所示，角度真值表示入射的4個期望角度[-60°，-30°，30°，60°]。

3.2" 均方根誤差

在本節(jié)中將評估所提算法的基本性能。[θ]解的準(zhǔn)確性通過真實方位角[θk]和恢復(fù)方位角[θk]之間的均方根誤差（RMSE）來衡量：

[RMSE=1Kk=1Kθk-θk2]" （13）

式中[K]代表蒙特卡洛次數(shù)。在模擬實驗中，選擇陣列進行模擬。本文提出算法（NSP）與已提出的估計非均勻陣列DOA的MUSIC算法、最大似然估計（MLE）算法、兩步（TWO?STEP）算法、交替投影迭代法（AP?Gridless）和交替協(xié)方差（AP?COV）算法進行比較，最后引入了Cramér?Rao下界（CRLB），CRLB提供了一個理論上的參數(shù)估計方差下限，具體表達形式如下：

[CRLB=12π2NSUsin θ，U=1Nn=1Nrn-r2] （14）

式中：[N]表示非均勻陣列的陣元個數(shù)；[S]表示線性陣列的信噪比（SNR）；[r]表示陣列位置向量；[rn]表示第[n]個陣元的位置；[r]表示[r]的平均值。

繪制均方根誤差與SNR的關(guān)系圖，如圖8所示。選取單快拍源，源的角度為-50°和40°。該實驗通過對每個SNR值進行1 000次蒙特卡洛模擬實驗獲得。在每次的實驗中，隨機設(shè)置源的角度從[-50.5°，-49.5°][ ? ][39.5°，40.5°]中均勻隨機生成。設(shè)置MUSIC和MLE兩種算法的角度搜索范圍為[-70°，70°]，搜索精度為0.01°，TWO?STEP算法首先使用常規(guī)波束形成獲得初始DOA估計，隨后基于角度偏移的閉合公式精細(xì)化布置離網(wǎng)搜索。AP?GRIDLESS和AP?COV都是在交替投影的基礎(chǔ)上直接解決原子[?1]范數(shù)最小化問題。

結(jié)果表明：在低信噪比條件下，SNR取值為-10～10 dB時，本文算法（NSP）優(yōu)勢更加明顯。本文算法初始化混沌映射均勻設(shè)置初始范圍，減少噪聲影響，Pareto非支配求解提供了解的多樣性。其他算法也可以提供較高的分辨率，但MUSIC算法計算復(fù)雜度高，對噪聲更加敏感。MLE算法需要處理解優(yōu)化的問題，在多信號源場景復(fù)雜度較高，依據(jù)信號概率處理，估計的準(zhǔn)確性可能會受到影響。TWO?STEP算法誤差最明顯，在高信噪比下遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如其他算法。通過對不同陣元數(shù)進行實驗看出，本文提出的算法在低信噪比時明顯優(yōu)于其他算法，且在信噪比較強的環(huán)境下性能良好且接近CRLB。

3.3" 算法復(fù)雜度比較

DOA快速估計在雷達、聲學(xué)、多用戶通信等領(lǐng)域同樣十分重要，為此比較了各種算法在非均勻陣元下的時間復(fù)雜度和計算復(fù)雜度，該仿真在具有Intel[?] CoreTM i5?12500 CPU和16 GB RAM的PC上通過Matlab R2022b實現(xiàn)。

1） 時間復(fù)雜度

各算法所需計算時間如表1所示。

非均勻陣列陣元數(shù)較少時，EM?ESPRIT運行速度最快，該算法在EM算法的基礎(chǔ)上重構(gòu)陣列協(xié)方差進行ESPRIT算法，其次是本文算法和TWO?STEP算法，在非均勻陣列陣元數(shù)較多時，本文算法運行速度最快。這是由于本文算法無需考慮SDP正半定編程問題，并行計算目標(biāo)函數(shù)，也不需要像MUSIC算法和EM?ESPRIT算法遍歷所有角度，計算速度相對較快。TWO?STEP算法與MUSIC算法相比，無需進行空間譜搜索，通過重投影技術(shù)在信號子空間直接估計DOA，隨著DOA維數(shù)增加，TWO?STEP算法計算優(yōu)勢會更加明顯。ADMM算法將問題分解成多個子問題進行獨立交替求解，但是ADMM算法收斂速率與問題求解相關(guān)，迭代次數(shù)不可知，實際中需要數(shù)百次迭代達到精度，AP?GRIDLESS和AP?COV利用[?1]范數(shù)通過交替迭代半正定規(guī)劃矩陣來求解，與[?0]范數(shù)相比增加了模型難度，循環(huán)求解次數(shù)較多。

2） 計算復(fù)雜度

信號處理中計算復(fù)雜度的比較也同樣重要，計算復(fù)雜度可以影響運行時間長短，對各種優(yōu)化問題直觀反映。[M]代表迭代次數(shù)，[N]代表陣元數(shù)量，[L]表示角度網(wǎng)格搜索數(shù)。各算法的計算復(fù)雜度如表2所示。

通過比較表明，本文算法（NSP）相較于其他算法計算復(fù)雜度較低。本文算法依托Pareto解，非支配前沿排序最壞的情況是有[K]個前沿，每個前沿只有一個解，重復(fù)迭代[M]遍，復(fù)雜度為[O（KM）]。對于MLE算法來說，復(fù)雜度取決于搜索角度網(wǎng)格的復(fù)雜性。MUSIC算法涉及計算協(xié)方差矩陣，其大小為[N×N]，以及計算其特征值和特征向量，這需要[M]次迭代。EM?ESPRIT算法綜合了EM算法和ESPRIT算法的特點，在信號子空間估計和信號參數(shù)估計步驟中使用了迭代的方法。AP?GRIDLESS實現(xiàn)了非凸轉(zhuǎn)凸優(yōu)化的解決方案，計算復(fù)雜度高，在復(fù)雜性上相較于ADMM算法有輕微的損失。

4" 結(jié)" 論

本文提出基于混沌策略的并行無網(wǎng)格[?0]原子范數(shù)算法，通過非支配排序粒子目標(biāo)（NSP）算法進行自適應(yīng)評估實現(xiàn)陣列的DOA估計。通過原子[?0]范數(shù)并行處理目標(biāo)模型，運用混沌策略初始化解集，采用非支配排序和非擬合函數(shù)進行求解，無需將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化進行CVX處理，在陣元數(shù)較多的情況下，相對于MUSIC、AP?GRIDLESS等算法減少了計算的復(fù)雜度。當(dāng)非均勻陣列陣元數(shù)為24時，計算時間比其他算法平均快2～3 s。其次，本文算法能實現(xiàn)在信噪比條件下DOA估計且優(yōu)于其他算法，當(dāng)信噪比為-10～10 dB時，本文算法的RMSE相較于其他算法更低，當(dāng)信噪比升高時本文算法也可以接近標(biāo)準(zhǔn)的CRLB。

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