例析高考數(shù)學(xué)試題與教材例習(xí)題之間的“變度”

王員員 李忠如

[摘? 要] 隨著高考改革的深化，高考命題增強(qiáng)了基礎(chǔ)性和綜合性的考查. 本文以2017年高考全國Ⅱ卷文科試卷的客觀題為例，對(duì)注重基礎(chǔ)性作了另類解析，由此建議高考復(fù)習(xí)要注重基礎(chǔ)，尋找方法;注重變式，提升能力.

[關(guān)鍵詞] 高考;教材;基礎(chǔ)性

2014年9月公布的《國務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》（以下簡稱為《意見》）明確提到，2015年起增加使用全國統(tǒng)一命題試卷的省份. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，2017年全國有25個(gè)省份高考數(shù)學(xué)回歸全國卷，這必將引起全國各地高中數(shù)學(xué)教師和學(xué)生的重點(diǎn)關(guān)注.

2017年高考命題貫徹《意見》的要求，以必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值為考查內(nèi)容，以基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性為考查要求[1]. 那么，由2017年高考數(shù)學(xué)命題如何突出“基礎(chǔ)性”的考查，對(duì)高中數(shù)學(xué)教師的日常教學(xué)有什么啟示？眾所周知，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是高中數(shù)學(xué)教科書（以下簡稱為“教材”）編寫的依據(jù)，而教材又是教師教學(xué)的重要參考、學(xué)生學(xué)習(xí)的重要素材. 仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，2017年高考數(shù)學(xué)試卷中有不少的考題都是教材中的例習(xí)題改編而成，要么是簡單變化，要么是簡單改造，要么是多個(gè)題的重組，也就是說可以在教材中找到原型題目. 本文以2017年高考全國Ⅱ卷文科試卷中16道客觀題（這里指選擇題和填空題）為例，對(duì)注重基礎(chǔ)性作了另類解析，即分析了高考數(shù)學(xué)試題與教材例習(xí)題之間的“變度”（即改變程度），以幫助一線教師和高中學(xué)生進(jìn)一步明確教材是“本”的認(rèn)識(shí).

改編的第一層次——換數(shù)字

換數(shù)字是教材中例習(xí)題改編為高考題的最低層次，往往針對(duì)最基礎(chǔ)的概念、最基本的技能的考查，無論是編題的難度還是答題的難度都很低，學(xué)生一般只是需要簡單的套用所學(xué)知識(shí)就可以求解，但是這種改編方式在高考題中也頻頻出現(xiàn)（見表1）.

高考真題1：（2017年高考全國Ⅱ卷文科第1題）設(shè)集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，則A∪B=（? ）

A. {1，2，3，4}？搖 B. {1，2，3}

C. {2，3，4}？搖？搖 D. {1，3，4}

教材原題：設(shè)A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.

該高考題只不過是將教材原題中集合A，B的元素改變，考查集合的并集的求法. 這種改編方式往往出現(xiàn)在考查集合、復(fù)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等容易題目，無論換成什么數(shù)字，都只是考查相關(guān)的概念或者運(yùn)算，這就只要求學(xué)生理解基本概念，掌握基本運(yùn)算.

改編的第二層次——改形式

改形式是較換數(shù)字略為復(fù)雜的一種改編方式，除了簡單換數(shù)字以外，還會(huì)改變情境或者圖形等，使得題目的呈現(xiàn)形式改變. 這種題目就需要學(xué)生跳出題目的情境或圖形，識(shí)別其本質(zhì)，從而找到解題方法，這種改編方式在高考題中也并不鮮見（見表2）.

高考真題2：（2017年高考全國Ⅱ卷文科第15題）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為__________.

教材原題：一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長是a cm，求球的體積.

該高考題是從教材中求“正方體的外接球的體積”變成求“長方體的外接球的表面積”，但是此題的關(guān)鍵不是求體積或者表面積，而是求外接球的半徑，所以，此題只是變換圖形考查外接球的性質(zhì)，無論是正方體，還是長方體，甚至是一般的直棱柱. 這種改編方式考查的是對(duì)問題本質(zhì)的把握，情境或者圖形只是載體，就要求學(xué)生理解概念的本質(zhì)、思想的核心，不要停留在表面或形式.

改編的第三層次——變換命題

數(shù)學(xué)習(xí)題是一個(gè)系統(tǒng)，包括習(xí)題的條件、解題的依據(jù)、解題的方法、習(xí)題的結(jié)論[2]，而解題的依據(jù)和方法是由解題者來選擇的，所以高考命題者會(huì)通過改變教材原題的條件或結(jié)論得到新的問題（見表3）. 一方面，每一個(gè)數(shù)學(xué)命題都可以變出對(duì)應(yīng)的逆命題、否命題和逆否命題，其中在改編題目時(shí)具有特殊意義的是逆命題，如果它成立，就得到了一個(gè)新的問題;另一方面，改變?cè)}的前提條件，或增加、減少原題的條件，或推廣、引申原題的結(jié)論，又可以得到新的問題[3].

高考真題3：（2017年高考全國Ⅱ卷文科第4題）設(shè)非零向量a，b滿足a+b=a-b，則（? ）

A. a⊥b B. a=b

C. a∥b？搖 D. a>b

教材原題：已知a，b為兩個(gè)非零向量，向量a，b成什么位置關(guān)系時(shí)，a+b=a-b？

該高考題是將教材原題的“若a⊥b，則a+b=a-b”，條件與結(jié)論互換得考查逆命題“若a+b=a-b，則a⊥b”.

高考真題4：（2017年高考全國Ⅱ卷文科第7題）設(shè)x，y滿足約束條件2x+3y-3≤0，2x-3y+3≥0，y+3≥0，則z=2x+y的最小值是（? ）

A. -15? B. -9? C. 1? D. 9

教材原題：求z=2x+y的最大值，使x，y滿足約束條件y≤x，x+y≤1，y≥-1.

該高考題是通過改變教材原題的約束條件，考查線性規(guī)劃問題.

高考真題5：（2017年高考全國Ⅱ卷文科第14題）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)， f（x）=2x3+x2，則f（2）=________.

教材原題：已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)， f（x）=x（1+x）;當(dāng)x<0時(shí)， f（x）等于（? ）

A. -x（1-x） B. x（1-x）

C. -x（1+x）？搖？搖 D. x（1+x）

該高考題的設(shè)問方式是從教材原題中求一段自變量取值的函數(shù)解析式，引申到求一個(gè)具體的函數(shù)值，終究都是考查奇函數(shù)的性質(zhì).

通過這種方式改編的題目往往需要學(xué)生理解和掌握對(duì)應(yīng)的思想方法才能進(jìn)行靈活應(yīng)用，從而解決問題. 教師應(yīng)該注意對(duì)教材中的典型例習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)變式，尤其注意條件的演變和結(jié)論的延伸，引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律與方法，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，以及適當(dāng)進(jìn)行逆向變式，對(duì)逆命題進(jìn)行證明或證偽，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

改編的第四層次——多題重組

多題重組是本文提到的教材原題改編為高考題的最高層次，較前面提到的所有改編方式更為復(fù)雜，多是針對(duì)知識(shí)的綜合考查，這對(duì)編題者和答題者的要求都很高，學(xué)生需要掌握相關(guān)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并且靈活應(yīng)用才能解決，這是高考題中對(duì)于綜合題的一種常見命題方式（見表4）.

高考真題6：（2017年高考全國Ⅱ卷文科第11題）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（? ）

教材原題6.1：（必修3，3.2.1，例1）從字母a，b，c，d中任意取出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中，有哪些基本事件？

教材原題6.2：（必修3，3.2.1，例3）同時(shí)擲兩個(gè)骰子，計(jì)算：

（1）一共有多少種不同的結(jié)果？

（2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？

（3）向上的點(diǎn)數(shù)之和的概率是多少？

該高考題將教材原題6.1中“從4個(gè)字母中取2個(gè)字母”，改成“從5張卡片中抽2張”作為“摸球”背景，舍棄“無放回”摸球模型，而是冠以教材原型題6.2中“有放回”摸球模型的思想，改編而成. 這類由教材編擬的綜合題往往是由多個(gè)公式、多道習(xí)題、多個(gè)方法的串聯(lián)、并聯(lián)與綜合[4]，但是無論怎樣組合，最終都可以分解成幾個(gè)基本問題進(jìn)行解決. 比如，高中函數(shù)的綜合題多是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等相關(guān)知識(shí)的題目進(jìn)行綜合，從而這類問題多是可以分解為對(duì)應(yīng)的幾個(gè)知識(shí)塊的基本問題進(jìn)行解決的. 因此，對(duì)于教材中相互關(guān)聯(lián)或者易于混淆的知識(shí)，教師應(yīng)該注意對(duì)比強(qiáng)調(diào)，并對(duì)綜合性題目進(jìn)行分解變式，培養(yǎng)學(xué)生解決綜合問題的能力.

綜上所述，2017年高考全國Ⅱ卷文科試卷的客觀題，除了第9題邏輯推理題外，其他題目均可從教材中找到原型題目，即此套高考題的客觀題基本上屬于教材原題改編，只要學(xué)生掌握教材中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，就能做到客觀題基本不失分.

事實(shí)上，除了大部分的客觀題來源于教材，中、低檔的主觀題也可以找到教材原型題. 因此，在高中的學(xué)習(xí)過程中，尤其是高考復(fù)習(xí)階段，教師和學(xué)生都應(yīng)該重視教材，合理利用教材. 首先，注重基礎(chǔ). 教材中的大多數(shù)例習(xí)題都具有較強(qiáng)的基礎(chǔ)性，有助于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)的夯實(shí)[5]，利用教材可促使學(xué)生對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，并熟練掌握一些基本技能[6]. 所以，教師應(yīng)該幫助學(xué)生理解教材中的一些數(shù)學(xué)概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的來龍去脈，掌握教材中的一些運(yùn)算、作圖等基本技能，體會(huì)教材中的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等基本思想，從而幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，尋找解題方法. 其次，注重變式. 正如“藝術(shù)來源于生活，而高于生活”，高考來源于教材，而高于教材. 所以，教師應(yīng)該精選例習(xí)題，并且通過條件變式、結(jié)論變式、逆向變式、圖形變式、分解變式、拓廣變式[7]等方法進(jìn)行適當(dāng)變式，從而幫助學(xué)生提高思維能力，提升解題能力.

數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)方式可以是千變?nèi)f化的，但是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法是不變的. 高考題來源于教材，卻與教材原題有所不同，這就是呈現(xiàn)方式的改變，但是考查的知識(shí)、技能和思想方法是不變的. 所以，只有夯實(shí)基礎(chǔ)，提升能力，才能在高考中以不變應(yīng)萬變.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 教育部考試中心. 圍繞高考核心功能 全面深化考試內(nèi)容改革[N]. 中國教育報(bào)，2017-06-09（5）.

[2]? 戴再平. 數(shù)學(xué)習(xí)題理論[M]. 上海：上海教育出版社，1991.

[3]? 鐘善基. 中國著名特級(jí)教師教學(xué)思想錄（中學(xué)數(shù)學(xué)卷）[M]. 南京：江蘇教育出版社，1996.

[4]? 羅增儒.高考復(fù)習(xí)要抓住根本[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016，（12）.

[5]? 徐玲. 高中數(shù)學(xué)課本例題的研讀技巧[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016，（12）.

[6]? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S]. 北京：人民教育出版社，2003.

[7]? 劉長春，張文娣. 中學(xué)數(shù)學(xué)變式教學(xué)與能力培養(yǎng)[M]. 濟(jì)南：山東教育出版社，2001.