多項(xiàng)式擬合技術(shù)在天線增益測量中的應(yīng)用研究

摘" 要： 文中簡述了多項(xiàng)式擬合的基本原理公式，提出利用多項(xiàng)式擬合技術(shù)確定天線增益頻段特性和大型口徑天線不同仰角增益的方法。在比較法增益測量中，標(biāo)準(zhǔn)喇叭的增益常為已知的離散校準(zhǔn)值，利用高頻、低頻和兩個(gè)中間頻點(diǎn)的增益值擬合了標(biāo)準(zhǔn)喇叭增益的解析式，非擬合點(diǎn)的增益計(jì)算結(jié)果同已知的標(biāo)準(zhǔn)喇叭增益校準(zhǔn)值吻合很好，證明了該方法的有效性。最后，簡述了多項(xiàng)式擬合技術(shù)在S波段8.54 m氣象雷達(dá)天線增益測量及大型射電望遠(yuǎn)鏡天線不同仰角增益測量中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 多項(xiàng)式擬合技術(shù)； 增益測量； 增益頻段特性； 射電望遠(yuǎn)鏡增益測量； 口徑天線； 氣象雷達(dá)天線增益測量

中圖分類號： TN820?34" " " " " " " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A" " " " " " " " " " "文章編號： 1004?373X（2024）11?0022?04

Applications of polynomial fitting technique in antenna gain measurement

SHI Lei， ZHANG Ji， QIN Shunyou

（The Fifty Fourth Research Institute of CETC， Shijiazhuang 050081， China）

Abstract： In this paper， basic principle formula of polynomial fitting is described briefly. The polynomial fitting technique is used to determine the frequency band characteristics of antenna gain and the gain at different elevation angles of large aperture antenna. In the comparative method of antenna gain measurement， the gain of the standard horn is usually known for discrete calibration values， and the analytical formula of standard horn gain are fitted with gains of high frequency， low frequency and two middle frequency points. The gain calculation results of non?fitting frequency points are agree well with known calibration values of standard horn gain， which verifies the validity of the proposed method. At last， the application of polynomial fitting technique in antenna gain measurement of S?band 8.54?meter weather radar and antenna gain measurement of large radio telescope at different elevation angles is described briefly.

Keywords： polynomial fitting technique; gain measurement; gain frequency band property; radio telescope gain measurement; aperture antenna; weather radar antenna gain measurement

收稿日期：2023?12?29" " " " " "修回日期：2024?01?22

基金項(xiàng)目：國家科技部重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2018YFE0207500）

0" 引" 言

天線增益是衡量天線輻射能量的集中程度，它定義為在天線輸入功率相同時(shí)，天線的輻射強(qiáng)度與理想點(diǎn)源輻射強(qiáng)度之比。增益是天線的重要性能參數(shù)之一，精確測量天線增益是非常重要的。目前天線增益測量常用的方法有：三天線法、兩相同天線法、比較法、射電天文法、方向圖積分法和波束寬度法等[1?5]。這些增益測量方法通常均是確定天線在某一方向上某一頻點(diǎn)的增益，而在天線實(shí)際工程應(yīng)用中，常需要知道天線工作頻段內(nèi)任意頻率點(diǎn)的增益，如標(biāo)準(zhǔn)增益喇叭和測控地面站天線等；又如在大口徑射電望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中，確定天線任意仰角的增益亦是非常重要的。采用傳統(tǒng)的增益測量方法確定天線頻段內(nèi)任意頻率的增益或大口徑天線任意仰角的增益，是非常復(fù)雜和費(fèi)時(shí)的，甚至是不可能的。本文提出了用多項(xiàng)式擬合技術(shù)確定天線增益的頻段特性和不同仰角增益的簡單方法，并給出了工程測量實(shí)例。實(shí)踐證明，該方法不僅簡單、方便，而且精度高，對于實(shí)際天線工程測量具有重要的參考應(yīng)用價(jià)值。

1" 多項(xiàng)式擬合的基本公式

多項(xiàng)式擬合函數(shù)的一般表達(dá)式為[6?7]：

[f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn] （1）

式中：[f（x）]為擬合函數(shù)；[x]為變量；[a0]，[a1]，[a2]，…，[an]為常數(shù)，[n]為整數(shù)（[n]=0，1，2，…，[n]），[n]的取值取決于多項(xiàng)式所要求逼近精度，當(dāng)測量[n+1]個(gè)點(diǎn)，由式（1）得出[n+1]個(gè)未知量的線性方程組，聯(lián)立方程組就可確定常數(shù)[a0]，[a1]，[a2]，…，[an]的大小。在天線增益工程測量中，為了確定天線增益的頻段特性，一般采用2次或3次多項(xiàng)式擬合，即可滿足工程測量的精度要求（當(dāng)然，對于寬帶和超寬帶天線，為了提高多項(xiàng)式擬合精度，[n]可取得大些）。如在天線增益測量中，3次擬合表示的增益頻率函數(shù)為：

[G（f）=a0+a1f+a2f2+a3f3] （2）

式中：[G（f）]表示天線增益，單位為dBi；[f]為工作頻率，單位為GHz。由實(shí)際測量的4個(gè)頻點(diǎn)增益（通常包括高頻、低頻和中間兩個(gè)頻率點(diǎn)），可得到4個(gè)獨(dú)立的線性方程組為：

[G（f0）=a0+a1f0+a2f20+a3f30] （3）

[G（f1）=a0+a1f1+a2f21+a3f31] （4）

[G（f2）=a0+a1f2+a2f22+a3f32] （5）

[G（f3）=a0+a1f3+a2f23+a3f33] （6）

聯(lián)立式（3）～式（6），可確定常數(shù)項(xiàng)[a0]、[a1]、[a2]和[a3]的大小，即：

[a0=Δ0Δ，" a1=Δ1Δ，" a2=Δ2Δ，" a3=Δ3Δ] （7）

式中：

[Δ=1f0f20f301f1f21f311f2f22f321f3f23f33Δ0=G（f0）f0f20f30G（f1）f1f21f31G（f2）f2f22f32G（f3）f3f23f33Δ1=1G（f0）f20f301G（f1）f21f311G（f2）f22f321G（f3）f23f33Δ2=1f0G（f0）f301f1G（f1）f311f2G（f2）f321f3G（f3）f33Δ3=1f0f20G（f0）1f1f21G（f1）1f2f22G（f2）1f3f23G（f3）]

將所求的系數(shù)[a0]、[a1]、[a2]和[a3]代入式（2），即得到天線增益與頻率多項(xiàng)式擬合的解析式，只要給定頻率，很容易計(jì)算天線增益的大小，從而確定天線增益的頻段特性。對于天線不同仰角的增益，把多項(xiàng)式函數(shù)中的頻率變量換成天線仰角變量，同樣可采用2次或3次多項(xiàng)式擬合技術(shù)，確定天線增益隨仰角的變化特性。

2" 多項(xiàng)式擬合的應(yīng)用

2.1" 標(biāo)準(zhǔn)喇叭增益計(jì)算與分析

比較法是天線增益測量的經(jīng)典方法[8?10]，其基本思想是用待測天線增益同標(biāo)準(zhǔn)天線增益進(jìn)行比較，從而確定待測天線增益的方法。標(biāo)準(zhǔn)天線增益是已知的，常給出的是校準(zhǔn)離散值，或是離散增益繪制的曲線，而實(shí)際工程測量中，常常需要測量待測天線任意頻點(diǎn)增益或增益的頻段特性，這樣需要精確知道標(biāo)準(zhǔn)天線在工作頻段內(nèi)任意頻率點(diǎn)的增益。由給定標(biāo)準(zhǔn)天線增益離散值，利用多項(xiàng)式擬合技術(shù)確定增益與頻率擬合解析式，就可以計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)天線任意頻率的標(biāo)準(zhǔn)增益，以便于實(shí)際工程應(yīng)用。

這里以美國科學(xué)亞特蘭大公司（簡稱SA公司）的標(biāo)準(zhǔn)增益喇叭為例，說明多項(xiàng)式擬合技術(shù)在確定標(biāo)準(zhǔn)喇叭增益頻段特性中的應(yīng)用。SA12?1.1型標(biāo)準(zhǔn)增益喇叭離散增益值如表1所示。

本文選擇擬合頻率點(diǎn)為1.10 GHz、1.30 GHz、1.55 GHz和1.70 GHz，則用多項(xiàng)式擬合技術(shù)確定的標(biāo)準(zhǔn)增益喇叭的增益頻率函數(shù)為：

[G（f）=5.599 515+8.978 444f-0.217 402 4f2-0.648 194 3f3] （8）

式（8）即為SA12?1.1型標(biāo)準(zhǔn)增益喇叭的增益多項(xiàng)式擬合的解析式，由此公式計(jì)算的非擬合頻率點(diǎn)與給定的標(biāo)準(zhǔn)增益結(jié)果比較如表2所示。

由表2分析結(jié)果表明：利用多項(xiàng)式擬合的增益與標(biāo)準(zhǔn)增益吻合很好，其擬合精度很高，完全滿足工程測試的需要，從而說明用多項(xiàng)式擬合技術(shù)確定天線增益頻段特性的有效性。

2.2" S波段氣象雷達(dá)天線增益測量

這里以S波段8.54 m氣象雷達(dá)天線增益測量為例，說明多項(xiàng)式擬合技術(shù)在確定天線增益頻段特性中的應(yīng)用。安裝在天線測試轉(zhuǎn)臺上的S波段8.54 m天氣雷達(dá)天線如圖1所示。

該天線為前饋拋物面天線，天線口徑為8.54 m，工作頻段為2.7～3.0 GHz，增益要求[G]≥44.5 dBi（2.7 GHz）。 目前該天線已形成批量生產(chǎn)，不同站點(diǎn)其工作頻率不同，因此需要測量天線的頻段特性。利用實(shí)測方向圖，通過數(shù)值積分法計(jì)算天線方向性增益，然后扣除各種增益損失，即得天線功率增益的大小。方向圖積分法測量天線增益的原理公式為[11?12]：

[G=10×lg4-θmθmP（θ）sinθdθ-δsector-δspillover-δcross-δmismatch-δfeed] （9）

式中：[δsector] 為實(shí)測方向圖有限區(qū)域引起的增益損失；[δspillover]為天線漏失引起的增益損失；[δcross]為天線軸向交叉極化引起的增益損失；[δmismatch]為天線失配引起的增益損失；[δfeed]為天線波導(dǎo)饋線和饋源網(wǎng)絡(luò)總插入損耗引起的增益損失。

本文選擇測試頻率為2.7 GHz、2.8 GHz、2.9 GHz和3.0 GHz四個(gè)頻率點(diǎn)，其增益測量結(jié)果分別為44.61 dBi、45.05 dBi、45.30 dBi和45.63 dBi。由此擬合S波段氣象雷達(dá)天線增益頻率特性為：

[G（f）=-1 025.677+1 114.607f-387.506 2f2+45.000 32f3] （10）

式（10）就是S波段8.54 m天氣雷達(dá)天線增益多項(xiàng)式的擬合公式，只要給定天線的工作頻率，就很容易計(jì)算天線的增益。圖2給出了S波段8.54 m天氣雷達(dá)天線增益頻段特性。在工作頻段內(nèi)，只要給定天線的工作頻率，就可確定天線的增益。

2.3" 射電望遠(yuǎn)鏡天線不同仰角的增益測量

增益是大型射電望遠(yuǎn)鏡天線的重要參數(shù)之一，它直接影響望遠(yuǎn)鏡接收微弱信號的能力[13]。由于受望遠(yuǎn)鏡重力變形的影響，大型射電望遠(yuǎn)鏡在不同仰角的天線增益是不同的[14]。

大型射電望遠(yuǎn)鏡天線增益常用射電源法進(jìn)行測量。射電源法測量天線增益的原理是：通過測量射電望遠(yuǎn)鏡天線指向射電源及其附近冷空氣的噪聲功率之比[Y]因子，利用式（11）計(jì)算射電望遠(yuǎn)鏡天線增益[15?16]。

[G=8πk（Y-1）Tsysλ2SK1K2] （11）

式中：[k]為波爾茲曼常數(shù)，[k=1.38×10-23] J/K；[Tsys]為射電望遠(yuǎn)鏡的系統(tǒng)噪聲溫度；[λ]為工作波長；[S]為射電源的流量密度；[K1]為大氣吸收衰減因子；[K2]為波束展寬修正因子。

測量天線增益常用的標(biāo)準(zhǔn)離散射電源有：仙后座A（CasA）、金牛座A（TauA）、天鵝座A（CygA）和室女座（VirA）等 。由于射電源在不同時(shí)刻的運(yùn)行軌道是不一樣的，因此可測量出不同仰角的天線性能。實(shí)際工程測量中，通常測量出高、中、低仰角的增益，運(yùn)用多項(xiàng)式擬合的方法求出任意仰角的天線增益。不同仰角的天線增益常采用2次多項(xiàng)式擬合，其擬合方程為：

[G（EL）=G0+G1EL+G2EL2] （12）

式中EL為天線仰角。

這里以65 m射電望遠(yuǎn)鏡X波段增益測量為例，說明多項(xiàng)式擬合技術(shù)在大型射電源望遠(yuǎn)鏡天線不同仰角增益測量中的應(yīng)用。

圖3為65 m射電望遠(yuǎn)鏡天線，該望遠(yuǎn)鏡是目前國內(nèi)最大的實(shí)面可跟蹤望遠(yuǎn)鏡[15]。

在X波段頻率為9 GHz，用天鵝座A（CygA）測量的65 m射電望遠(yuǎn)鏡天線增益如表3所示。

結(jié)合表3天線增益測量結(jié)果，用多項(xiàng)式擬合的方法，求得65 m射電望遠(yuǎn)鏡X波段不同仰角的增益曲線為：

[G（EL）=72.479 34+0.064 58EL-0.000 79EL2] （13）

例如當(dāng)仰角為30°，由式（13）可計(jì)算出射電望遠(yuǎn)鏡天線的增益為73.71 dBi。

3" 結(jié)" 語

多項(xiàng)式擬合技術(shù)的應(yīng)用十分廣泛。本文提出了利用多項(xiàng)式擬合技術(shù)確定天線增益頻段特性和大型口徑天線不同仰角增益的方法。通過測量天線頻段上下限和中間任意兩點(diǎn)頻率的增益，用多項(xiàng)式3次擬合技術(shù)即可確定天線整個(gè)頻段的增益特性，由此可計(jì)算天線任意頻率點(diǎn)的增益；通過測量大型口徑天線高中低仰角的增益，用2次多項(xiàng)式擬合技術(shù)可確定天線任意仰角的增益。實(shí)踐證明：該方法是切實(shí)可行的，在天線增益測量中值得推廣和應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] PARINI C， GREGSON S， MCCORMICK J， et al. Theory and practice of modern antenna range measurements [M]. London： British Institute of Engineering Technology， 2014： 63?90.

[2] 秦順友，許德森.衛(wèi)星通信地面站天線工程測量技術(shù)[M].北京：人民郵電出版社，2006.

[3] 秦順友，楊可忠，陳輝.不同極化天線增益測量技術(shù)[J].電子測量與儀器學(xué)報(bào)，2003，7（1）：7?11.

[4] 王新，趙思亮，漆洋，等.基于天氣雷達(dá)的太陽法方位波束寬度改進(jìn)算法[J].成都信息工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2023，38（2）：154?159.

[5] 袁惠云，彭云樓，薛吟章.天線參數(shù)的射電天文測量[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1980（4）：90.

[6] 李勝先，傅君眉，吳須大.多項(xiàng)式逼近技術(shù)在微波雙工器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].空間電子技術(shù)，2006（3）：16?19.

[7] 胡寧杰.多項(xiàng)式擬合在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)勢[J].中國水運(yùn)（下半月），2008，8（12）：119.

[8] DALY P， TITS D. Novel technique for antenna gain measurement in satellite earth stations [J]. Electronics letters， 1982， 18（25）： 1089?1090.

[9] 毛乃宏，俱新德.天線測量手冊[M].北京：國防工業(yè)出版社，1987.

[10] VAN DEN BIGGELAAR A J， GELUK S J， JAMROZ B F， et al. Accurate gain measurement technique for limited antenna separations [J]. IEEE transactions on antennas and propagation， 2021， 69（10）： 6772?6782.

[11] 杜曉恒，秦順友，任冀南，等.低副瓣氣象雷達(dá)天線增益測量及誤差分析[J].無線電通信技術(shù)，2014，40（5）：51?53.

[12] INTELSAT. Earth station verification tests： SSOG 210 [S]. Washington， USA： Intelsat Global Service Corporation， 2002.

[13] 杜彪，伍洋，張一凡，等.大口徑反射面天線技術(shù)綜述[J].無線電通信技術(shù)，2016，42（1）：1?8.

[14] 王從思，劉鑫，王偉，等.大型反射面天線溫度分布規(guī)律及變形影響分析[J].宇航學(xué)報(bào)，2013，34（11）：1523?1528.

[15] STELZRIED C T， KLEIN M L. Precision DSN radiometer systems： Impact on microwave calibrations [J]. Proceedings of the IEEE， 1994， 82（5）： 776?786.

[16] MORABITO D D. The characterization of a 34?meter beam?waveguide antenna at Ka band （32.0 GHz） and X band （8.4 GHz） [J]. IEEE antenna and propagation magazine， 1999， 41（4）： 23?34.

[17] 王錦清，虞林峰，趙融冰，等.TM 65 m射電望遠(yuǎn)鏡低頻段系統(tǒng)噪聲溫度測試和分析[J].天文學(xué)報(bào)，2015，56（1）：63?76.

作者簡介：石" 磊（1982—），男，遼寧朝陽人，碩士，高級工程師，研究方向?yàn)橥ㄐ艑?dǎo)航檢測認(rèn)證測試技術(shù)。

張" 冀（1982—），男，河北邯鄲人，高級工程師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信地面站天線工程技術(shù)。

秦順友（1964—），男，河南光山人，研究員，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槲⒉ㄅc天線測量技術(shù)。