吸引子共存的四維多穩(wěn)態(tài)混沌系統(tǒng)及同步電路

摘" 要： 文中設(shè)計(jì)了一種具有多翼吸引子的四維混沌系統(tǒng)，通過改變系統(tǒng)的多組參數(shù)，觀察到吸引子結(jié)構(gòu)由四翼變?yōu)殡p翼。采用相圖、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖和復(fù)雜度等方法，驗(yàn)證系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。結(jié)果表明，通過改變系統(tǒng)參數(shù)和選擇不同的初始值，系統(tǒng)呈現(xiàn)出極性相反但結(jié)構(gòu)相似的吸引子共存現(xiàn)象。使用Multisim仿真軟件進(jìn)行了電路仿真，發(fā)現(xiàn)數(shù)值分析和模擬仿真結(jié)果一致，驗(yàn)證了系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。最后，采用線性反饋同步法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了同步控制，并成功實(shí)現(xiàn)了同步電路仿真。所設(shè)計(jì)系統(tǒng)具有豐富的多穩(wěn)態(tài)特性，主從系統(tǒng)在極短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到了同步，同步效果良好，可廣泛應(yīng)用于保密通信領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞： 四維混沌系統(tǒng)； 多翼吸引子； 多穩(wěn)態(tài)性； Lyapunov指數(shù)譜； 同步控制； 電路仿真

中圖分類號(hào)： TN876.4?34； TP309.7 " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A" " " " " " " " " 文章編號(hào)： 1004?373X（2024）14?0053?10

Four?dimensional multistable chaotic systems and synchronous

circuits with attractor coexistence

YANG Yang1， BAI Yulong2， LI Yan1， ZHANG Qing1

（1. School of Physics and Electronic Information Engineering， Ningxia Normal University， Guyuan 756000， China;

2. School of Physics and Electrical Engineering， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： A four?dimensional chaotic systems with multi?winged attractors is designed， which can change the attractor structure four wings to two wings by changing the system parameters. The phase diagram， Lyapunov exponential spectrum， bifurcation diagram and complexity methods are used to verify the dynamic characteristics of the system. The results show that， by changing the system parameters and choosing different initial values， the system can exhibit the coexistence of attractors with opposite polarity but similar structure. Multisim simulation software is used for the circuit simulation， and it is found that the numerical analysis and simulation results are consistent， thus verifying the realizability of the system. The linear feedback synchronization method is used for the synchronous control of the system， and the simulation of synchronization circuit is realized successfully. The master?slave system can realize the synchronization in a very short time， and the synchronization effect is good， which can be widely used in the field of secure communication.

Keywords： four?dimensional chaotic system; multi?wing attractor; multi?stability; Lyapunov exponential spectrum; synchronous control; circuit simulation

0" 引" 言

自1963年洛倫茲混沌系統(tǒng)出現(xiàn)以來，混沌系統(tǒng)引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，并相繼提出了不同類型的混沌系統(tǒng)。1986年，蔡少棠首次將混沌與電路相結(jié)合，研究出了著名的蔡氏電路[1]。此后，Chen系統(tǒng)、[Lu]系統(tǒng)等經(jīng)典混沌系統(tǒng)[2?3]被相繼發(fā)現(xiàn)。由于混沌系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為，因此在信息、通信、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[4?9]。

近年來，多穩(wěn)態(tài)特性的分析成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。多穩(wěn)態(tài)性是指在固定系統(tǒng)參數(shù)下，當(dāng)初始條件發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生獨(dú)立的吸引或者不同形狀的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。多穩(wěn)態(tài)性是非線性系統(tǒng)中常見的現(xiàn)象，它反映了系統(tǒng)的狀態(tài)多樣性和結(jié)構(gòu)多樣性[10?12]。

2017年，G. Sivaganesh等人發(fā)現(xiàn)通過選取合適的參數(shù)，Lorenz系統(tǒng)所產(chǎn)生的吸引子從蝴蝶狀演變?yōu)閮蓚€(gè)獨(dú)立的單渦卷[13]。Wu等人在一個(gè)簡單的三維線性系統(tǒng)中引入了兩個(gè)正弦非線性變量，構(gòu)建了一個(gè)具有9個(gè)平衡點(diǎn)和多種不同類型共存吸引子的新混沌系統(tǒng)[14]。

文獻(xiàn)[15]對(duì)廣義三維[Lu]系統(tǒng)在一定參數(shù)范圍內(nèi)的行為進(jìn)行了觀察，發(fā)現(xiàn)其可以轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟M對(duì)稱的共存吸引子。文獻(xiàn)[16]通過引入絕對(duì)值函數(shù)和符號(hào)函數(shù)，增加了共存吸引子的數(shù)量。

2021年，顏閩秀等人在Sprott?A系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)具有無窮共存吸引子的三維保守混沌系統(tǒng)[17]。同年，鮮永菊等人構(gòu)造了一個(gè)只有一個(gè)平衡點(diǎn)，但存在至少12種多翼吸引子共存的四維混沌系統(tǒng)[18]。2022年，黃麗蓮等人提出了一個(gè)具有一線平衡點(diǎn)，可以產(chǎn)生無限多對(duì)稱的同質(zhì)吸引子的四維混沌系統(tǒng)[19]。

本文設(shè)計(jì)一個(gè)形式簡單的新四維多穩(wěn)態(tài)混沌系統(tǒng)，通過改變系統(tǒng)的多組參數(shù)，研究了系統(tǒng)存在不同類型的共存吸引子的現(xiàn)象。文中介紹了新混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)該系統(tǒng)的基本特性進(jìn)行了分析；通過分析Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、Poincare截面和復(fù)雜度等，驗(yàn)證了該系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為和豐富的運(yùn)動(dòng)軌跡；選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)研究了系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)特性；設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的模擬電路仿真圖，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了同步控制，并設(shè)計(jì)了同步電路圖。

1" 混沌系統(tǒng)的模型與基本特性

1.1" 系統(tǒng)模型

建立一個(gè)新的四維混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，其狀態(tài)方程可以表示為：

[x=ax-yzy=bx-ay+xzz=dxy-cz+eww=yz ]" " "（1）

式中：[x]、[y]、[z]、[w]是系統(tǒng)的狀態(tài)變量；[a]、[b]、[c]、[d]、[e]是系統(tǒng)的參數(shù)。當(dāng)選取參數(shù)[a=5，b=0.5，c=16，d=4，e=0.01]以及初始值[x0，y0，z0，w0=1，2，3，4]時(shí)，系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出復(fù)雜的四翼混沌吸引子現(xiàn)象，其相圖如圖1所示。

通過分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)保持初始值和其他參數(shù)不變，改變參數(shù)[b=0]時(shí)，吸引子的相圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生明顯變化，從四翼變?yōu)殡p翼吸引子，如圖2所示。

1.2" 耗散性、平衡點(diǎn)、穩(wěn)定性

根據(jù)耗散性公式，可以得到：

[?V=?x?x+?y?y+?z?z+?w?w=-c ]" " " " "（2）

當(dāng)[c=16]時(shí)，耗散度[?V=-16lt;0]，證明系統(tǒng)模型式（1）是耗散的，并且以指數(shù)形式[e-c]收斂到一個(gè)確定的區(qū)域。這意味著系統(tǒng)所有的軌跡趨于0，混沌吸引域是有界的。令式（1）等于0，可得：

[ax-yz=0bx-ay+xz=0dxy-cz+ew=0yz=0 ]" " " " " " （3）

求解式（3），從而得到系統(tǒng)（1）的唯一平衡點(diǎn)[S0=0，0，0，0]，在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理，得到雅可比矩陣：

[J= a -az -ay 0b+z -a x " 0 dy " "dx -c e 0 " " z " y 0 ]" " " " （4）

令[detλI-J=0]，可得到系統(tǒng)的特征值為：[λ1=-5，λ2=5，λ3=-16，λ4=0]。由此可以確定該平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，具有混沌特性。

2" 混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為分析

2.1" Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

取參數(shù)[a=5，b=0.5，c=16，d=4，e=0.01]，初始值[x0，y0，z0，w0=1，2，3，4]，通過計(jì)算可以得到系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為[LE1=1.792 5，LE2=0.005 9，][LE3=-0.004 9，LE4=-17.788 2]。根據(jù)式（5）計(jì)算得到Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

[DL=j+1LEj+1i=1jLEi=3.1 ]" " " " （5）

參數(shù)[b=0.5，c=16，d=4，e=0.01]，初始值為[1，2，3，4]。令參數(shù)[a]為控制變量，當(dāng)[a∈0，10]時(shí)，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，隨著[a]變化，Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的動(dòng)力學(xué)行為一致。當(dāng)參數(shù)[a∈0，2.8]和[a∈8.1，10]時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)參數(shù)[a∈2.8，8.1]時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，如圖3所示。

參數(shù)[a=5，c=16，d=4，e=0.01]，初始值為[1，2，3，4]。令參數(shù)[b]為控制變量，當(dāng)[b∈-5，5]時(shí)，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，隨著[b]變化，Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的動(dòng)力學(xué)行為一致。當(dāng)參數(shù)[b∈-5，-3.6]和[b∈3.8，5]時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)參數(shù)[b∈-3.6，3.8]時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，如圖4所示。

參數(shù)[a=5，b=0.5，c=16，e=0.01]，初始值為[1，2，3，4]。令參數(shù)[d]為控制變量，當(dāng)[d∈0，10]時(shí)，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)始終存在一個(gè)大于0的Lyapunov指數(shù)，并且隨[d]變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的動(dòng)力學(xué)行為一致，由此可驗(yàn)證系統(tǒng)一直處于混沌狀態(tài)，如圖5所示。

2.2" Poincare截面圖和功率譜圖

Poincare截面是在系統(tǒng)的相空間中截取一個(gè)截面，通過觀察截面上點(diǎn)的分布情況來判斷系統(tǒng)的復(fù)雜度。對(duì)式（1）分別取截面[x=0]，[y=0]，[z=0]，得到的截面圖如圖6所示?？梢钥闯?，Poincare截面上形成了連續(xù)的密集點(diǎn)，表明該系統(tǒng)具有混沌特性?；煦缦到y(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號(hào)是非周期信號(hào)，對(duì)應(yīng)的功率譜是連續(xù)譜。圖6d）給出了該系統(tǒng)的功率譜圖，可以觀察到其是連續(xù)譜，表明該系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。

2.3" 0?1測(cè)試和復(fù)雜度分析

通過0?1測(cè)試，可以得到混沌系統(tǒng)的[p，s]圖，圖7所示給出了x、y變量的測(cè)試圖。其運(yùn)動(dòng)軌跡呈不規(guī)則分布，且與典型的布朗運(yùn)動(dòng)相似，從而證明了系統(tǒng)具有混沌特性?；煦缦到y(tǒng)的復(fù)雜度是分析混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的一個(gè)重要方法，SE復(fù)雜度反映了混沌序列的無序狀態(tài)，SE值越大，表明復(fù)雜度越高；CO復(fù)雜度采用傅里葉變換，反映了混沌序列中不規(guī)則的比例，對(duì)應(yīng)不規(guī)則部分能量比例越高，復(fù)雜度越大。固定參數(shù)[b=0.5]，[c=16]，[d=4]，[e=0.01]，計(jì)算了參數(shù)[a]的SE和CO復(fù)雜度，如圖8a）、圖8b）所示。

圖8c）、圖8d）繪制了參數(shù)a的SE和CO復(fù)雜度混沌圖，圖中顏色越深表示復(fù)雜度越高，在實(shí)際應(yīng)用中為參數(shù)的選擇提供了很好的參考依據(jù)。

3" 多穩(wěn)態(tài)特性

系統(tǒng)參數(shù)確定時(shí)，混沌系統(tǒng)在不同的初始值條件下對(duì)應(yīng)于不同的吸引子，這些吸引子被稱為共存吸引子，表明系統(tǒng)具有多穩(wěn)態(tài)特性。固定參數(shù)不變，選擇不同的初始值進(jìn)行數(shù)值分析。圖9中淺色點(diǎn)集代表初始值為（1，2，3，4）的分岔圖，深色點(diǎn)集代表初始值為（1，-2，3，4）的分岔圖。隨參數(shù)[a]變化的過程中，不同的初始值對(duì)應(yīng)不同的吸引子，如圖10所示。

當(dāng)[a=2.21]時(shí)，存在兩個(gè)周期吸引子共存；當(dāng)[a=3.0]和[a=6.0]時(shí)，存在兩個(gè)混沌吸引子共存；當(dāng)[a=8.6]時(shí)，存在兩個(gè)擬周期吸引子共存。

在相同的參數(shù)取值下，參數(shù)[a=5，b=0.5，c=16，e=0.01]不變，取[d=6.8]，不同的初始值會(huì)產(chǎn)生不同形狀的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖11所示。當(dāng)初始值為（1，2，3，4）時(shí)，吸引子呈現(xiàn)四翼結(jié)構(gòu)；當(dāng)初始值為（1，-2，3，4）時(shí)，吸引子演變?yōu)殡p翼結(jié)構(gòu)。當(dāng)d=7.0時(shí)，吸引子多翼拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化與初始值的關(guān)系正好相反。

4" 電路仿真

在Multisim仿真軟件上，利用運(yùn)算放大器、乘法器和電阻等器件設(shè)計(jì)了電路原理圖，并進(jìn)行了模擬仿真。圖12所示為電路原理圖。

由于混沌序列中變量的動(dòng)態(tài)范圍超過了元器件的工作電壓范圍，因此需要進(jìn)行比例變換。首先將變量值均勻壓縮為原來的[110]，然后進(jìn)行時(shí)間尺度變換，令[τ=τ0t]，[τ0=1 000]，得到壓縮后的變量值為：

[x=5 000x-5 000yzy=500x-5 000y+1 000xzz=4 000xy-16 000z+10ww=1 000yz ] （6）

[x=-1R1C1-x-1R2C1yzy=-1R3C2-x-1R4C2y-1R5C2-xzz=-1R6C3-xy-1R7C3z-1R8C3-ww=-1R9C4-yz ]" "（7）

令[C1=C2=C3=C4=100 nF]，對(duì)比式（6）和式（7），可得各電阻的阻值為：

[R1=2 kΩ，" " " " " " R2=0.2 kΩ，R3=20 kΩ，" " " " "R4=2 kΩ，R5=1 kΩ，" " " " " "R6=0.25 kΩ，R7=0.625 kΩ，" R8=1 000 kΩ，R9=1 kΩ]" "（8）

其余電阻均為[10 kΩ]。圖13展示了電路的仿真結(jié)果圖，與圖1進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值分析和電路仿真所得到的吸引子相圖一致，驗(yàn)證了該四維多穩(wěn)態(tài)混沌系統(tǒng)電路的可行性和正確性。

5" 線性耦合同步控制

5.1" 同步數(shù)值仿真

將本文所設(shè)計(jì)的混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在式（1）的基礎(chǔ)上加上反饋項(xiàng)得到響應(yīng)系統(tǒng)，本研究方法不再需要同步控制器。

[x1=ax1-y1z1+k1x-x1y1=bx1-ay1+x1z1+k2y-y1z1=cx1y1-dz1+ew1+k3z-z1w1=y1z1+k4w-w1 ] （9）

式中：[k1]、[k2]、[k3]、[k4]為隨機(jī)的耦合控制參數(shù)；[a]、[b]、[c]、d、e表示意義同上。

誤差系統(tǒng)為：

[e1=x1-xe2=y1-ye3=z1-ze4=w1-w ]" " " " " （10）

將式（1）和式（9）代入到式（10）中，可得誤差系統(tǒng)方程為：

[e1=ae1-ay1z1+ayz+k1e1e2=be1+ae2+k2e3+x1z1-xze3=-de3+ee4+k3ew+cx1y1-cxye4=k4e4+y1z1-yz ] （11）

參數(shù)[k]的取值影響同步性能。由線性反饋的原理可知，當(dāng)反饋參數(shù)[k1=k2=k3=k4gt;LEmax]時(shí)，驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步。

通過計(jì)算，該系統(tǒng)（1）的最大Lyapunov指數(shù)為1.792 5。所以，當(dāng)耦合控制參數(shù)[k1=k2=k3=k4gt;LEmax]時(shí)，兩系統(tǒng)可以達(dá)到同步。

取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始值為（1，2，3，4），響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為（-1，-2，-3，-4），取不同的k值對(duì)誤差系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，得到的時(shí)域波形圖和同步誤差圖如圖14、圖15所示。由仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)[k=3]時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（9）在極短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步，時(shí)域波形圖吻合，誤差結(jié)果為0，從而驗(yàn)證了線性反饋同步機(jī)理的正確性。

5.2" 同步電路仿真

為了驗(yàn)證上述線性耦合同步控制方法的可行性，對(duì)同步控制進(jìn)行同步電路設(shè)計(jì)，同步電路原理圖如圖16所示。圖17給出了同步電路仿真結(jié)果，電路達(dá)到同步，時(shí)域波形基本重合，誤差曲線呈現(xiàn)為一條傾斜的直線，驗(yàn)證了電路仿真與數(shù)值仿真結(jié)果的一致性，實(shí)現(xiàn)了混沌同步的電路設(shè)計(jì)。

6" 結(jié)" 論

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)具有多翼吸引子的四維混沌系統(tǒng)，并對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性分析。介紹了新混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)該系統(tǒng)的基本特性進(jìn)行了分析；通過分析Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、Poincare截面和復(fù)雜度等內(nèi)容，驗(yàn)證了該系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為和豐富的運(yùn)動(dòng)軌跡；選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)研究了系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)特性，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的模擬電路仿真圖，結(jié)果驗(yàn)證了該系統(tǒng)具有復(fù)雜的混沌特性，并且電路分析與數(shù)值分析結(jié)果一致。

通過改變參數(shù)，可以觀察到系統(tǒng)吸引子出現(xiàn)四翼—雙翼切換現(xiàn)象。

采用線性反饋同步法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了同步分析，并設(shè)計(jì)了同步電路進(jìn)行仿真，兩者結(jié)果相吻合，電路達(dá)到同步，時(shí)域波形基本重合，誤差曲線呈現(xiàn)為一條傾斜的直線，驗(yàn)證了電路仿真與數(shù)值仿真結(jié)果的一致性，實(shí)現(xiàn)了混沌同步的電路設(shè)計(jì)。

注：本文通訊作者為楊陽。

參考文獻(xiàn)

[1] LORENZ E N. Deterministic nonperiodic flow [J]. Journal of the atmospheric sciences， 1963， 20（2）： 130?141.

[2] CHEN G R， UETA T. Yet another chaotic attractor [J]. International journal of bifurcation and chaos， 1999， 9（7）： 1465?1466.

[3] LI J H， CHEN G R. A new chaotic attractor coined [J]. International journal of bifurcation and chaos， 2002， 12（3）： 659?661.

[4] HASLER M. Engineering chaos for encryption and broadband communication [J]. Philosophical transactions of the royal society a： mathematical， physical and engineering sciences， 1995， 353（1701）： 115?126.

[5] OPPENHEIM A V， WORNELL G W， ISABELLE S H， et al. Signal processing in the context of chaotic signals [C]// IEEE International Conference on Acoustics. San Francisco： IEEE， 1992： 117?120.

[6] GRASSI G， MASCOLO S. A system theory approachfor designing cryptosystems based on hyperchaos [J]. IEEE transactions on circuits and systems i： fundamental theory and applications， 1999， 46（9）： 1135?1138.

[7] WANG B， ZOU F C， CHENG J. A memristor?based chaotic system and its application in image encryption [J]. Optik， 2018， 154： 538?544.

[8] HASSAN M F. A new approach for secure communication using constrained hyperchaotic systems [J]. Applied mathematics and computation， 2014， 246： 711?730.

[9] FILALI R L， BENREJEB M， BORNE P. On observer based secure communication design using discrete?time hyperchaotic systems [J]. Communications in nonlinear science and numerical simulation， 2014， 19（5）： 1424?1432.

[10] LI C， SPＲOTT J C， HU W， et al. Infinite multistability in a self?reproducing chaotic system [J]. International journal of bifurcation and chaos， 2017， 27（10）： 1750160.

[11] GUAN Z H， HU B， SHEN X. Multistability of delayed hybrid impulsive neural networks [M]. Berlin： Springer， 2019.

[12] XIAN Yongju， XIA Cheng， GUO Taotao， et al. Dynamical analysis and FPGA implementation of a large range chaotic system with coexisting attractors [J]. Results in physics， 2018， 11： 368?376．

[13] SIVAGANESH G， SRINIVASAN K， FONZINFOZIN T， et al. Energy computation and multistability in a class of second?order chaotic systems with simple nonlinearities： numerical， experimental and analytical results [J]. Physica scripta，2023，98（1）： 015226.

[14] WU Huagan， BAO Han， XU Quan， et al. Abundant coexisting multiple attractors’ behaviors in threedimensional sine chaotic system [J]. Complexity， 2019， 2019： 3687635.

[15] DONG Chengwei. Dynamic analysis of a novel 3D chaotic system with hidden and coexisting attractors： offset boosting， synchronizationand circuit realization [J]. Fractal and fractional， 2022， 6（10）： 102411.

[16] 高正中，杜翔.含多項(xiàng)式取絕對(duì)值函數(shù)的混沌系統(tǒng)分析與應(yīng)用[J].復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2024，21（1）：74?84.

[17] 顏閩秀，林建峰，謝俊紅.具有無窮多共存類吸引子的保守混沌系統(tǒng)同步控制[J].南京郵電大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，41（6）：66?74.

[18] 鮮永菊，扶坤榮，徐昌彪.一個(gè)具有多翼吸引子的四維多穩(wěn)態(tài)超混沌系統(tǒng)[J].振動(dòng)與沖擊，2021，40（1）：15?22.

[19] 黃麗蓮，姚文舉，項(xiàng)建弘，等.一種具有多對(duì)稱同質(zhì)吸引子的四維混沌系統(tǒng)的超級(jí)多穩(wěn)定性研究[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2022，44（1）：390?399.

[20] YANG Ningning， YANG Shuo， WU Chaojun. A novel frac?tional?order chaotic system and its synchronization circuit realization [J]. Modern physics letters B， 2022， 36（23）： 17?21.

[21] ZHANG Chaoxia. Theoretical design approach of fourdimen?sional piecewise?linear multi?wing hyperchaotic differential dynamic system [J]. Optik?international journal for light and electron optics， 2016， 127（11）： 4575?4580.

[22] LAI Q， AKGUL A， ZHAO X W， et al. Various types of coexisting attractors in a new 4?D autonomous chaotic system [J]. International journal of bifurcation and chaos， 2017， 27（9）： 142?150.

[23] ZHANG Sen， ZENG Yicheng， LI Zhijun， et al. Generating one to four?wing hidden attractors in a novel 4?D noequilibrium chaotic system with extreme multistability [J]. Chaos， 2018， 28（1）： 013113.

[24] HUANG Lilian， YAO Wenju， XIANG Jianhong， et al. Hetero?geneous and homogenous multistabilities in a novel 4D memristor?based chaotic system with discrete bifurcation diagrams [J]. Complexity， 2020， 2020： 2408460.