淺談帶電粒子在“運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)”中的受力及運(yùn)動(dòng)問題

摘 要：基于對(duì)帶電粒子在“運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)”中做擺線運(yùn)動(dòng)的討論，利用洛倫茲變換確定不同慣性參考系下電磁場(chǎng)的分布，指出在實(shí)驗(yàn)室參考系中，運(yùn)動(dòng)磁源會(huì)在空間產(chǎn)生磁場(chǎng)和感生電場(chǎng)，感生電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做功，洛倫茲力表達(dá)式中的速度v是相對(duì)于觀察者的，永不做功；遷移分析相關(guān)的高考和模擬題，指出傳統(tǒng)的求解對(duì)學(xué)生物理觀念的形成存在誤導(dǎo)，以此淺談對(duì)此類問題的教學(xué)與命題建議。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)磁源；洛倫茲變換；感生電場(chǎng)；洛倫茲力

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2024）8-0068-4

１９０５年，愛因斯坦在創(chuàng)立狹義相對(duì)論時(shí)曾舉例，磁鐵與線圈發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以磁鐵為參考系產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，以線圈為參考系則產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，同一物理現(xiàn)象在不同參考系下描述結(jié)果不同，根本原因在于電磁場(chǎng)的分布與參考系的選取是有關(guān)的。

中學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷在靜止勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律非常熟悉。但在高三復(fù)習(xí)備考乃至高考中，常常會(huì)出現(xiàn)“運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)”對(duì)靜止電荷作用使其運(yùn)動(dòng)等相關(guān)問題，學(xué)生常常會(huì)感到困惑，到底是什么力對(duì)電荷做功使其具有動(dòng)能，洛倫茲力公式中的速度ｖ究竟是相對(duì)磁場(chǎng)還是相對(duì)觀察者的？基于對(duì)一道典型試題的分析，利用洛倫茲變換確定不同慣性參考系下電磁場(chǎng)的分布，指出在實(shí)驗(yàn)室參考系中，運(yùn)動(dòng)磁源在空間中會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)和感生電場(chǎng)，在感生電場(chǎng)力和洛倫茲力的共同作用下帶電粒子做擺線運(yùn)動(dòng)。遷移分析其他典型試題，指出傳統(tǒng)的處理結(jié)果雖然正確，但對(duì)學(xué)生物理觀念的形成存在誤導(dǎo)，以此淺談對(duì)此類問題的教學(xué)和命題建議。

１ 提出問題

例１ 如圖１所示，假定空間中存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ｂ，并以速度ｖ向左勻速運(yùn)動(dòng)，在其中放置一個(gè)電荷量為ｑ、質(zhì)量為ｍ的帶正電的初速度為０的微觀粒子，不計(jì)帶電粒子的重力，試分析帶電粒子在該磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。

分析與解答 此題為帶電粒子垂直進(jìn)入靜止勻強(qiáng)磁場(chǎng)的逆過程，即相對(duì)于地面，初始情況下粒子靜止而磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)。通常處理這類問題的思路是利用伽利略相對(duì)性原理，將帶電粒子相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)視為其相對(duì)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)與磁場(chǎng)相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的矢量和。

以磁場(chǎng)Ｂ為參考系，帶電粒子以速度ｖ向右垂直進(jìn)入磁場(chǎng)。此時(shí)，帶電粒子在洛倫茲力的作用下，相對(duì)磁場(chǎng)做逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。不難得出，帶電粒子相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)與勻速直線運(yùn)動(dòng)合成后的擺線運(yùn)動(dòng)［１］，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖２所示。

提出問題 中學(xué)生對(duì)上述解答過程是不難接受的，但大多數(shù)學(xué)生常常會(huì)有疑惑：相對(duì)于地面，帶電粒子初速度為０，運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)與之作用過程中，是什么力對(duì)帶電粒子做功使其具有動(dòng)能，洛倫茲力究竟做不做功？通常情況下，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生從能量守恒的角度思考問題，即維持磁場(chǎng)勻速運(yùn)動(dòng)的外力是需要對(duì)此系統(tǒng)做功，是外力做功轉(zhuǎn)化為帶電粒子的動(dòng)能。此番引導(dǎo)很難消除學(xué)生對(duì)洛倫茲力永不做功的質(zhì)疑，即外力做功是怎么轉(zhuǎn)化為帶電粒子的動(dòng)能呢？有必要對(duì)此問題進(jìn)一步研究。

２ 追根溯源

２．１ 場(chǎng)的特性

物理學(xué)早已證實(shí)，場(chǎng)是一種客觀存在的物質(zhì)，反映空間某點(diǎn)的情況，它是把物理狀態(tài)作為空間和時(shí)間的函數(shù)來描述。若物理狀態(tài)與時(shí)間無關(guān)，則為靜態(tài)場(chǎng)；反之，則為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或時(shí)變場(chǎng)。沒有運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)，只有運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)源，磁體的運(yùn)動(dòng)只會(huì)帶來空間各處變化的磁場(chǎng)和渦旋電場(chǎng)，而不會(huì)帶來運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)［2］。因此，題干中關(guān)于運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)的表述是不妥的，確切表述應(yīng)該是帶電粒子在運(yùn)動(dòng)磁源產(chǎn)生的電磁場(chǎng)空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。為便于討論，在此仍沿用習(xí)慣上“運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)”的表述。

２．２ 不同參考系下電磁場(chǎng)的分布

相對(duì)論指出，將電磁場(chǎng)分為電場(chǎng)部分和磁場(chǎng)部分只有相對(duì)的意義，電磁場(chǎng)作為一個(gè)整體，在不同慣性參考系下滿足同樣的規(guī)律，不同慣性參考系下的電磁場(chǎng)分布可用洛倫茲變換找到聯(lián)系。下面分別表達(dá)相對(duì)于地面靜止的∑系與相對(duì)于運(yùn)動(dòng)磁源靜止的∑'系，三維空間中的電場(chǎng)Ｅ和磁場(chǎng)Ｂ的分布，如圖３所示。在∑'系中

２．３ 感生電場(chǎng)力做功，洛倫茲力永不做功

由以上討論，相對(duì)磁源（∑'系），只存在B'z=

-B，帶電粒子只受到洛倫茲力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)洛倫茲力不做功；相對(duì)地面（∑系），同時(shí)存在Bz=-B和Ey=vB，帶電粒子將受到感生電場(chǎng)力，即F=qEy=qvB，大小恒定，方向向上，F(xiàn)對(duì)帶電粒子做功使其獲得速度，洛倫茲力只是改變其速度方向，并不做功，在F和f的共同作用下，帶電粒子做擺線運(yùn)動(dòng)。

由此，f表達(dá)式中的速度始終是相對(duì)于觀察者的，永不做功；在實(shí)驗(yàn)室參考系，運(yùn)動(dòng)磁源產(chǎn)生了感生電場(chǎng)，是感生電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做功使其具有動(dòng)能。中學(xué)階段受數(shù)學(xué)等因素所限，常常轉(zhuǎn)變參考系，對(duì)感生電場(chǎng)避而不談［3］。但在高考和各地模擬試題中出現(xiàn)類似試題時(shí)，其求解過程常常對(duì)學(xué)生造成誤導(dǎo)，下面各列舉一道高考題和模擬題進(jìn)行點(diǎn)評(píng)分析。

３ 相關(guān)高考和模擬試題

例２ 如圖４所示，將一質(zhì)量為ｍ、電荷量為ｑ的帶正電小球輕放在光滑絕緣地面上，使其處于“Ｕ”形磁鐵間的磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，大小為Ｂ，方向垂直紙面向外。試問為使帶電小球恰好可以離開地面，應(yīng)怎樣移動(dòng)磁鐵（ ）

點(diǎn)評(píng) 此題出自于某地的模擬卷，考查學(xué)生對(duì)左手定則的掌握以及簡單的受力分析能力，參考答案是Ｄ。根據(jù)二力平衡，qvB=mg，化簡得v=，再借助左手定則易得答案為Ｄ。解答過程對(duì)學(xué)生來說不難，但大部分學(xué)生可能會(huì)想當(dāng)然地認(rèn)為這里的qvB是洛倫茲力，表達(dá)式中的ｖ是小球相對(duì)磁場(chǎng)的速度。實(shí)際上，這種想法是不妥的。真實(shí)情況是由于磁體相對(duì)地面向右運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生了向上的感生電場(chǎng)E=vB，小球受到的力是感生電場(chǎng)力，即F=qE=qvB。因此，這里很容易誤導(dǎo)學(xué)生，使其認(rèn)為洛倫茲力qvB中的速度是相對(duì)磁場(chǎng)的。

例３ 如圖５所示，兩條相距為ｄ的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，其右端接一阻值為Ｒ的電阻。質(zhì)量為ｍ的金屬桿靜止在導(dǎo)軌上，其左側(cè)的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域ＭＮＰＱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為Ｂ，方向豎直向下，當(dāng)該磁場(chǎng)區(qū)域以速度v0勻速地向右掃過金屬桿后，金屬桿的速度變?yōu)椋?。?dǎo)軌和金屬桿的電阻不計(jì)，導(dǎo)軌光滑且足夠長，桿在運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸。求：

（１）ＭＮ剛掃到金屬桿時(shí)，桿中感應(yīng)電流的大小Ｉ；

（２）ＭＮ剛掃到金屬桿時(shí)，桿的加速度大?。?；

（３）ＰＱ剛要離開金屬桿時(shí)，感應(yīng)電流的功率Ｐ。

點(diǎn)評(píng) 此題為２０１７年江蘇省高考計(jì)算題第１題，考查學(xué)生對(duì)簡單電路計(jì)算及基本動(dòng)力學(xué)問題的分析能力。試題第（１）（２）問，學(xué)生易得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Bdv0；試題第（３）問，學(xué)生也不難得到ＰＱ剛要離開金屬桿時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=Bd（v0-v）；然后，分別結(jié)合閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律以及焦耳定律完成作答。

大多數(shù)學(xué)生在處理此題時(shí)都會(huì)將這里的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)理解為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，即由于導(dǎo)體棒切割磁感線而產(chǎn)生的，由此錯(cuò)誤地認(rèn)為課本上講的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E=Blv中的速度為導(dǎo)體棒相對(duì)磁場(chǎng)的速度。實(shí)際上，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式中的速度ｖ是相對(duì)觀察者的，因?yàn)槠浞庆o電力與洛倫茲力有關(guān)，而f=qvB中的速度ｖ是相對(duì)觀察者的。在默認(rèn)地面為參考系的情況下，本題第（１）問應(yīng)是運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)產(chǎn)生感生電場(chǎng)E=v0B，從而使金屬桿產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)E=Bdv0；而第（３）問的電動(dòng)勢(shì)，應(yīng)為運(yùn)動(dòng)磁源產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)與導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，即E=E-E=Bdv0-Bdv。雖然結(jié)果都一致，但不得不說此類試題在一定程度上潛移默化地使學(xué)生對(duì)物理概念產(chǎn)生錯(cuò)誤的理解。

４ 教學(xué)與命題建議

中學(xué)教材中磁源相對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系一般都是靜止的，這就避免了對(duì)感生電場(chǎng)的討論。相對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系，一旦磁源運(yùn)動(dòng)起來，將產(chǎn)生感生電場(chǎng)，空間同時(shí)存在著電場(chǎng)和磁場(chǎng)。分析此類問題時(shí)，以磁場(chǎng)為參考系雖然可以避免感生電場(chǎng)的討論，但常常會(huì)促使學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為洛倫茲力公式中的速度ｖ是相對(duì)于磁場(chǎng)的。在一定條件下，洛倫茲力是可以做功的，也會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生認(rèn)為電磁感應(yīng)中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式中的速度也是相對(duì)磁場(chǎng)的，不利于學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的物理觀念。因此，面對(duì)普通學(xué)生，有關(guān)場(chǎng)源運(yùn)動(dòng)類的試題應(yīng)該盡量避免出現(xiàn)。（下轉(zhuǎn)第73頁）

（上接第70頁）

需要指出的是，高等物理《電動(dòng)力學(xué)》將電磁力=q（+×）統(tǒng)稱為洛倫茲力［4］，這是洛倫茲力廣義上的定義。從這個(gè)意義上說，當(dāng)電磁力對(duì)電荷做功時(shí)，也確實(shí)可以說是洛倫茲力能做功。中學(xué)階段只將運(yùn)動(dòng)電荷在靜止磁場(chǎng)中的受力定義為洛倫茲力，這是面對(duì)初學(xué)者受制于數(shù)學(xué)等因素而采取的對(duì)洛倫茲力狹義上的定義，按照這個(gè)定義洛倫茲力永不做功。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)功底扎實(shí)的部分優(yōu)秀中學(xué)生，在競(jìng)賽和培優(yōu)等教學(xué)過程中，滲透此類問題并展開分析討論，是利于學(xué)生形成清晰準(zhǔn)確的物理觀念，可助力對(duì)拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)［2，５］。

參考文獻(xiàn)：

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［2］李勇．巧借一道“錯(cuò)題”促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)［Ｊ］．物理教學(xué)，２０２２，44（５）：５８－６０，64．

［3］阮傳志．ｑｖＢ是什么性質(zhì)的力［Ｊ］．中學(xué)物理教學(xué)參考，２０２３，５２（22）：１１－１２．

［4］羅琬華．電動(dòng)力學(xué)［Ｍ］．重慶：西南師范大學(xué)出版社，２０１０．

［５］李勇．用能量觀點(diǎn)巧解一道高中物理競(jìng)賽題［Ｊ］．物理教學(xué)探討，２０１８，３６（１１）：４３－４５．

（欄目編輯 蔣小平）