經(jīng)歷概念形成，促進(jìn)概念理解

【摘要】數(shù)學(xué)概念是整個數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，有了概念才可能進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷及論證.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，怎樣讓學(xué)生獲得概念、明了概念的內(nèi)涵與外延是教師概念教學(xué)的關(guān)鍵.本文以初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的概念教學(xué)為例，對二次函數(shù)概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的運(yùn)用的教學(xué)理念和教學(xué)策略進(jìn)行闡述.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；概念教學(xué)；初中數(shù)學(xué)

1 概念的形成——合作探究，形成概念

二次函數(shù)是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后，要學(xué)習(xí)的最后一類重要的代數(shù)函數(shù)，它也是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型.在二次函數(shù)的概念教學(xué)中，本文在結(jié)合學(xué)生已學(xué)函數(shù)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，采取漸進(jìn)式的方式，讓學(xué)生從實(shí)際問題中通過類比并抽象出二次函數(shù)模型，進(jìn)而自然而然地形成二次函數(shù)的概念.

例1 （1）已知一個正方形的邊長為a，它的面積為S，則S與a之間的關(guān)系為________.

（2）若福建與深圳鐵路總長大約1400km，若一趟列車從深圳開往福建，每小時運(yùn)行速度為vkm，運(yùn)行了t小時，則v與t之間的關(guān)系為________.

（3）現(xiàn)有一個矩形的鄰邊之和為10，若其中一邊為x，矩形面積為y，則x與y之間的關(guān)系為________.

（4）如圖1，現(xiàn)有一個正方形的邊長為a ，若在正方形的四個角都減去邊長為1的小正方形，若剩下的面積為S，則S與a之間的關(guān)系為________.

（5）李明去購買一批單價為50元的服裝，當(dāng)他購買x件時，他應(yīng)付商店的費(fèi)用為y元，則y與x之間的關(guān)系為________.

師 上面的問題中哪些是變量？它們構(gòu)成函數(shù)嗎？它們中有我們已學(xué)的函數(shù)嗎？是否有新的函數(shù)存在？

生1 有變量，如a，x，y，S等.

生2 存在函數(shù)，如y隨x的變化而變化，S隨a的變化而變化等.

生3 有我們所學(xué)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù).

生4 有新的函數(shù)，既不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)和反比例函數(shù).

師 請你觀察新的函數(shù)，概括新的函數(shù)特征，并用一般形式和條件來表示它.

生 y=ax2+bx+c（a≠0，其中a，b，c為常數(shù)）.

2 概念的理解

概念的理解是一個辨別和運(yùn)用的過程，必須揭示其本質(zhì)特征，進(jìn)行逐層剖析.其次，通過對概念的理解，可以加深、鞏固學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握，并且在概念運(yùn)用過程中也有利于培養(yǎng)學(xué)生思維能力.對概念的深化理解需要注意以下兩點(diǎn).

2.1 概念的辨別——概念辨析，加強(qiáng)理解

有的概念敘述簡練，寓意深刻，對于這類概念，必須深刻揭示概念中關(guān)鍵詞、句的真實(shí)含義.對二次函數(shù)概念的理解要注重以下幾點(diǎn)：（1）它與正比例函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)都是初中所學(xué)的基本初等函數(shù)；（2）形式上區(qū)別于其他，函數(shù)必須滿足y=ax2+bx+c；（3）注重一般式中常數(shù)a，b，c的條件.

例2 下面各函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？如果是，請寫出它的a，b，c，若不是，請說明理由.

（1）s=－12+3t2；

（2）y=－2x；

（3）y=22+x；

（4）y=－12x2；

（5）y=x－12－x2.

學(xué)生完成后，教師投影學(xué)生的做題情況并確定答案，并進(jìn)行以下教學(xué)活動.

師 談?wù)劊?）和（4）中的函數(shù)為什么是二次函數(shù)？說說你的理由.

生1 問題（1）可以寫成一般形式“s=3t2－12”再來判斷，滿足自變量x的最高次數(shù)為2，其中a=3，b=0，c=12

生2 問題（4）符合y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)），其中a=-12，b=0，c=0.

師 談?wù)剢栴}（2）（3）（5）中的函數(shù)為什么不是二次函數(shù)？

生1 問題（2）中的函數(shù)是反比例函數(shù).

生2 問題（3）中的函數(shù)自變量最高次數(shù)不為2.

生3 問題（5）中的函數(shù)化簡后不滿足自變量最高次數(shù)為2的條件.

師 通過以上問題，說說你的收獲.

生 判斷的依據(jù)是在建立在二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0，其中a，b，c為常數(shù)）的前提下，注重它的形式和條件必須同時滿足，同時要區(qū)分初中已學(xué)的其他函數(shù).

2.2 概念的理解——小組合作，概念深化

概念的教學(xué)在整個數(shù)學(xué)教學(xué)中是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，概念教學(xué)的過程中不能僅僅停留在知識的講解層面，需幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)，通過基本概念的正用、反用、變用等，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解.

例3 已知如圖2，在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒2cm的速度向C運(yùn)動，與此同時，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒1cm的速度向A運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動時間為x秒時（當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到時另一點(diǎn)立即停止運(yùn)動），△PCQ的面積為ycm2.

（1）請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范值；

（2）請?zhí)顚懕?.

教師安排學(xué)生們完成第（1）問，并請學(xué)生F在黑板上寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式并講解.

師 這是什么函數(shù)？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？自變量的取值范圍又是怎樣的？

生1 是二次函數(shù).

生2 可以通過化為函數(shù)一般式來判斷.

生3 可以通過函數(shù)關(guān)系式發(fā)現(xiàn)，由兩個一次自變量x相乘取得.

生4 依題意可得自變量的取值范圍0<x≤4.

師 填寫完表1，談?wù)勲S著x的變化，y是如何變化的？通過變化規(guī)律，你能發(fā)現(xiàn)什么？

小組代表 我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）y隨x的變化先變大后變?。唬?）y有最大值；（3）它的圖象不是直線.

讓學(xué)生充分體驗(yàn)二次函數(shù)模型思想，也讓學(xué)生進(jìn)一步加深對二次函數(shù)概念的理解，即由兩個一次自變量相乘取得，讓學(xué)生有所獲，更有所悟.另外，通過x和y的值變化情況了解自變量和因變量之間的變化規(guī)律，為后續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，同時通過讓學(xué)生歸納總結(jié)初步感知二次函數(shù)的用途，明確學(xué)習(xí)目的（解決生活中的最值問題）.

3 結(jié)語

通過上述這種開放性問題的設(shè)計能很大程度上促進(jìn)孩子對概念的理解，以及提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時讓學(xué)生把二次函數(shù)和一元二次方程自然地聯(lián)系起來，起到了承上啟下的作用.

參考文獻(xiàn)：

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