數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略

［摘要］ 數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)之美等皆屬于數(shù)學(xué)文化。新課標(biāo)明確了數(shù)學(xué)文化的價值，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化為創(chuàng)新教學(xué)方式提供了新思路。本文論述了在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的必要性，并結(jié)合湘教版高中數(shù)學(xué)必修一第1章“集合”的教學(xué)實踐，探索數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透路徑，讓學(xué)生從另一種角度認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)文化；高中數(shù)學(xué)；滲透策略

數(shù)學(xué)文化中既有數(shù)學(xué)家的奇聞逸事，也有數(shù)學(xué)史的發(fā)展進(jìn)程，還有豐富的數(shù)學(xué)思想和成果?！绑w現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）的基本理念之一，新課標(biāo)提出了在教學(xué)內(nèi)容中融入數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要求。數(shù)學(xué)文化的價值體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的工具性特征中，如解決問題時所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想；也表現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的文化引領(lǐng)作用上，如幾何知識的美學(xué)特征。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有效滲透數(shù)學(xué)文化，突破“知識本位”，將教學(xué)上升至一個新的高度，能夠起到拓寬學(xué)生知識面、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用。本文選擇湘教版高中數(shù)學(xué)必修一第1章“集合”作為滲透數(shù)學(xué)文化的載體，引導(dǎo)學(xué)生探索集合論的起源，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家康托爾從實際問題中抽象出“集合”這一概念的歷程，全面認(rèn)識“集合”這一數(shù)學(xué)分支的發(fā)展過程。

一、在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的必要性

數(shù)學(xué)是一門精確的科學(xué)，蘊(yùn)含著豐富的文化內(nèi)涵。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，既是向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)知識和技能的需要，也是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展和精神追求的需要。數(shù)學(xué)文化帶有科普意味，既有嚴(yán)謹(jǐn)性，也有趣味性，像故事一樣吸引學(xué)生讀下去。湘教版高中數(shù)學(xué)必修一第1章“集合”就有“數(shù)學(xué)文化”板塊，向?qū)W生介紹了與“邏輯與集合”相關(guān)的數(shù)學(xué)文化知識，包括數(shù)學(xué)中的邏輯起源、集合論的誕生與發(fā)展等。通過滲透數(shù)學(xué)文化，幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象的內(nèi)涵和應(yīng)用，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，符合新課標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求。

教材中，除了專門設(shè)置“數(shù)學(xué)文化”板塊外，還將一些例題和習(xí)題放在了數(shù)學(xué)文化的背景下，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題，感受數(shù)學(xué)的魅力。因此，教師在教學(xué)過b3d9c9ea34f283d5a25c12df377c01a5a3bbf7f7cfb680032e9976168e5871a8程中要充分利用數(shù)學(xué)文化資源，向?qū)W生講述數(shù)學(xué)家的故事，講解數(shù)學(xué)史話，使數(shù)學(xué)文化成為教學(xué)知識點(diǎn)的有效補(bǔ)充和延伸，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程和數(shù)學(xué)家的探索精神，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和人文精神。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的有效路徑

“集合”是很多版本高中數(shù)學(xué)教材的第一章內(nèi)容，集合的思想與方法開啟了學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)?；跀?shù)字文化視角開展教學(xué)，教師通過巧妙導(dǎo)入，喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知，帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識“集合論之父”康托爾，了解集合符號，探尋圖形語言，感悟集合論形成的精神，在“集合”的學(xué)習(xí)中真正注入數(shù)學(xué)文化元素。

1.巧妙導(dǎo)入喚醒認(rèn)知，聯(lián)結(jié)新舊知識

高中數(shù)學(xué)相較初中數(shù)學(xué)而言，知識難度普遍加大了，教學(xué)內(nèi)容范圍也更寬了，但高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都以初中數(shù)學(xué)知識為支撐，初、高中數(shù)學(xué)之間存在緊密的聯(lián)系。對于實際的教學(xué)，教師直接開講雖然能節(jié)省時間，較快地完成教學(xué)任務(wù)，但是學(xué)生不易理解知識，常常處于被動接受的狀態(tài)。為此，教師要分析學(xué)情，充分考慮學(xué)生的具體情況，在新知導(dǎo)入環(huán)節(jié)聯(lián)結(jié)初中數(shù)學(xué)的舊知識點(diǎn)，以此調(diào)動學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在新舊知識聯(lián)結(jié)中讓學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容。

結(jié)合以往教學(xué)經(jīng)驗，許多學(xué)生認(rèn)為集合的概念高度抽象，難以理解。其實，在初中階段的部分內(nèi)容就已經(jīng)或多或少地涉及“集合”，教師在新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)可帶領(lǐng)學(xué)生回顧初中相關(guān)知識點(diǎn)。初中時學(xué)生已經(jīng)學(xué)了“解的集合”，教師在課堂教學(xué)之初可以先列出若干一元一次方程習(xí)題，要求學(xué)生按照正確步驟，求解未知數(shù)，得到解的集合。教師將解集的概念和性質(zhì)與本課所學(xué)集合的概念、集合元素的特征進(jìn)行對比，借助對應(yīng)、類比的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生聯(lián)結(jié)舊知、消化新知，實現(xiàn)初中數(shù)學(xué)向高中數(shù)學(xué)的“無痕”過渡。

集合論的創(chuàng)立對于數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展意義重大，“集合”這一章內(nèi)容之所以被放在各版本高中數(shù)學(xué)教材的第一章，是因為集合既能承接初中階段所學(xué)的方程、不等式等知識內(nèi)容，也是接下來學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)函數(shù)、解析幾何、概率統(tǒng)計等知識的基礎(chǔ)。可以說，集合是教學(xué)重點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容。教師通過聯(lián)結(jié)新舊知識，引導(dǎo)學(xué)生巧妙運(yùn)用集合的知識與思想方法，讓學(xué)生打牢高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

2.認(rèn)識“集合論之父”，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

集合論對現(xiàn)代數(shù)學(xué)有奠基作用，作為高中數(shù)學(xué)的最開始的學(xué)習(xí)內(nèi)容，“集合”這一章有著抽象的概念和獨(dú)特的算法。學(xué)生要想學(xué)好高中數(shù)學(xué)，首先就要跨過“集合”這一關(guān)。提起“集合”就不得不提一個名字，他就是集合論的創(chuàng)立者——康托爾。為了避免學(xué)生一上來就被集合抽象的概念和多樣的表示方法“嚇到”，教師可以從康托爾的生平事跡入手，以講故事的形式吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生對集合的學(xué)習(xí)興趣。

通過播放微視頻資料，學(xué)生直觀地了解康托爾的生平事跡，特別是與集合論創(chuàng)立的相關(guān)內(nèi)容?？低袪枏男【捅憩F(xiàn)出對數(shù)學(xué)的興趣，獲得家人支持后，輾轉(zhuǎn)多地求學(xué)，義無反顧地投入數(shù)學(xué)研究工作，此后畢生都致力于集合論和超窮數(shù)理論的研究。學(xué)生通過了解康托爾的生平事跡，對集合論的誕生有了初步的了解。在此過程中，有的學(xué)生可能發(fā)現(xiàn)集合論一開始并沒有得到認(rèn)可，這種反對聲音與康托爾提出的一些假設(shè)存在矛盾。此時，教師可以抓住這個寶貴的教學(xué)時機(jī)，融入“羅素悖論”，即“理發(fā)師悖論”，讓學(xué)生看到集合論艱難的發(fā)展進(jìn)程。“羅素悖論”指出，如果所有的理發(fā)師都給自己理發(fā)，就會出現(xiàn)一個理發(fā)師既給自己理發(fā)又不給自己理發(fā)的情況，這顯然是自相矛盾的。而且，這個悖論對康托爾集合論產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，引發(fā)了數(shù)學(xué)界長達(dá)數(shù)十年的爭議和探討。這樣的教學(xué)不僅能讓學(xué)生了解集合論的誕生背景，而且能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)理論發(fā)展的曲折歷程。有了數(shù)學(xué)文化的滲透，學(xué)生認(rèn)識到，今天在課堂上學(xué)習(xí)的都是前人奮斗一生凝練的思想和方法，自己是站在數(shù)學(xué)巨人的肩膀上學(xué)習(xí)新知，這樣的教學(xué)有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

3.感受集合符號之美，譜寫數(shù)學(xué)樂章

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)文化的重要體現(xiàn)，小小的數(shù)學(xué)符號既是藝術(shù)的創(chuàng)造，又是智慧的結(jié)晶。有的數(shù)學(xué)符號是偶然得之，但更多的數(shù)學(xué)符號發(fā)明的背后都有一段有趣的歷史。從最初簡單的數(shù)學(xué)符號到越來越復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號，代表著數(shù)學(xué)的發(fā)展史，也是人類思維不斷躍遷的印證?！凹稀边@一章的教學(xué)涉及非常多的數(shù)學(xué)符號，許多數(shù)學(xué)符號對于學(xué)生來說是陌生的，而部分教師在教學(xué)中往往對數(shù)學(xué)符號的作用“視而不見”，這無疑是對數(shù)學(xué)文化資源的浪費(fèi)，也錯失了良好的育人機(jī)會。

集合間的關(guān)系與運(yùn)算是“集合”這一章的教學(xué)重點(diǎn)，學(xué)生要學(xué)到子集關(guān)系、相等關(guān)系、真子集關(guān)系、交集運(yùn)算、并集運(yùn)算等知識點(diǎn)，集合間的關(guān)系與運(yùn)算都能用相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號進(jìn)行表示，集合符號之多也成為一部分學(xué)生認(rèn)為集合難學(xué)的因素之一。因此，對于集合符號，教師不能一句帶過，有必要帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識集合符號的來歷，讓學(xué)生真正認(rèn)識集合符號，在集合符號中看到人類的創(chuàng)造力和數(shù)學(xué)之美。比如，在學(xué)習(xí)并集符號“∪”、交集符號“∩”時，教師除了向?qū)W生解釋符號表示的意義外，還可以從“∪”和“∩”作為“廢物”被再次利用這一趣聞軼事談起，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號的前世今生。

在記憶集合符號時，教師可以從“∪”對應(yīng)的英文單詞“Universe”有“全”的意思來幫助學(xué)生聯(lián)系“并”集。學(xué)生記住了并集，也就不會將其與交集混淆了。除了常規(guī)方法外，教師還可以讓學(xué)生“大開腦洞”，用形象的方法來記憶集合符號（如圖1）。在記憶集合名和符號的時候，也不能死記硬背，教師指導(dǎo)學(xué)生用表格來整理不同的集合名和表示符號（如表1），讓集合符號“集合”起來，促進(jìn)學(xué)生的理解和記憶。

4.探尋集合圖像之源，形成應(yīng)用意識

集合有多種表示方法（如表2），不同的表示方法有不同的應(yīng)用特點(diǎn)和優(yōu)勢。其中韋恩圖法是利用封閉曲線來表示集合的一種方法，能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法。教材中對于韋恩圖的體現(xiàn)并不多，為了使學(xué)生更好地掌握用圖形表示集合的方法，教師在集合教學(xué)時可以與學(xué)生溯源圖形語言，從最初的歐拉圖雛形，到后來邏輯學(xué)家韋恩的改進(jìn)，再到麥克沙恩明確其定義，探尋韋恩圖的起源和發(fā)展，使數(shù)學(xué)課堂更具探索意味。

為了便于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法的掌握，可以從滲透數(shù)學(xué)文化入手，通過應(yīng)用練習(xí)拓展，深化學(xué)生對韋恩圖法的掌握。比如，教師引導(dǎo)學(xué)生對教材第12頁第13題“關(guān)于訂閱不同報紙相關(guān)問題”進(jìn)行變式練習(xí)，以提高學(xué)生的實際應(yīng)用能力。

5.認(rèn)識集合發(fā)展之路，培養(yǎng)探究精神

康托爾說過：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由?！钡?，這位數(shù)學(xué)家卻沒有數(shù)學(xué)的本質(zhì)那般自由，他的一生是偉大的，也是令人唏噓的。說康托爾的一生是偉大的，是因為他的集合論被認(rèn)為是人類純粹智力活動的最高成就之一。說康托爾的一生是令人唏噓的，是因為他的研究在很長時間遭人質(zhì)疑，他也一直生活在巨大的精神壓力之下，并飽受精神分裂和抑郁癥的困擾。

1897年，第一屆國際數(shù)學(xué)家大會上康托爾創(chuàng)立的集合論才得到公開承認(rèn)，這時距離1874年康托爾發(fā)表的《關(guān)于一切代數(shù)實數(shù)的一個性質(zhì)的論文》已過去

13年。教材中“數(shù)學(xué)文化”板塊中提到“著名數(shù)學(xué)家龐加萊和康托爾的老師克羅內(nèi)克都對康托爾進(jìn)行非難和指責(zé)，雙方的爭辯持續(xù)了十年之久”?？梢韵胂罂低袪栐诋?dāng)時面對的是何種困境，但是他勇于探究以往數(shù)學(xué)家不敢闖入的未知領(lǐng)域，這正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中彌足珍貴的探究精神。教師以康托爾的探索精神作為課堂教學(xué)末段的升華，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并發(fā)揚(yáng)這種偉大的探索精神，在高中數(shù)學(xué)的“海洋”中努力收獲屬于自己的成果。

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)被各種定理、公式和習(xí)題填滿，還應(yīng)通過滲透數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要有意識地滲透數(shù)學(xué)文化，找準(zhǔn)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)的契合點(diǎn)，在理性與人文的有機(jī)結(jié)合中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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