射頻仿真系統(tǒng)中幅度誤差對角模擬精度的影響分析

摘" 要：""""" 角模擬精度是射頻仿真系統(tǒng)的一項重要指標， 而三元組幅度控制誤差是影響角模擬精度的重要因素， 分析角模擬誤差與幅度誤差的關系具有重要意義。 首先， 在三元組最大幅度誤差限制下， 對固定角位置下的最大角模擬誤差問題進行建模， 該優(yōu)化問題是一個非凸優(yōu)化問題， 通過分析其結構特性， 獲得最優(yōu)解的六組可能取值。 其次， 對三元組內任意角位置下的最大角模擬誤差問題進行建模， 基于固定角位置的優(yōu)化結果與該問題的結構特性， 獲得三元組最大角模擬誤差的閉式表達式， 揭示最大角模擬誤差對應的視在輻射中心。 然后， 分析幅度誤差較小時， 三元組最大角模擬誤差的漸進特性， 揭示了漸進角模擬誤差隨幅度誤差變化的線性關系。 最后， 仿真驗證了角模擬精度分析結果的準確性。

關鍵詞："""" 射頻仿真系統(tǒng)； 三元組； 角模擬精度； 幅度控制誤差； 非凸優(yōu)化

中圖分類號：""""" TJ760； TN955

文獻標識碼：""" A

文章編號："""" 1673-5048（2024）03-0088-06

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2023.0240

引用格式： 蔣冬冬， 王強， 胡東， 等 . 射頻仿真系統(tǒng)中幅度誤差對角模擬精度的影響分析［ J］. 航空兵器， 2024， 31（ 3）： 88-93.

Jiang Dongdong ， Wang Qiang，" Hu Dong，" et al. Impact Analysis of Amplitude Error on Angle Simulation Precision in RFSS［ J］. Aero Weaponry， 2024， 31（ 3）： 88-93.（ in Chinese）

0" 引" 言

射頻仿真系統(tǒng)可在地面試驗中復現導彈和戰(zhàn)機的飛行情況， 生成目標回波、 雜波、 干擾等電磁信號， 逼真模擬武器載荷所面臨的復雜電磁環(huán)境。 通過射頻仿真系統(tǒng)的內場試驗， 可有效檢驗載荷的主被動指標和抗干擾性能。 相比外場試驗， 射頻仿真系統(tǒng)具有經濟、 可靠、 安全、 可重復重構使用等優(yōu)勢， 已在武器載荷指標檢驗中得到廣泛運用［1-2］。

射頻仿真系統(tǒng)一般包括陣面、 饋電鏈路、 模擬器、 轉臺、 仿真控制、 暗室等部分。 陣面天線單元在以轉臺回轉中心為球心的球面上呈等邊三角形排列， 互為相鄰的三個天線單元構成一個三元組。 饋電鏈路通過選擇三元組以及控制三元組各陣元信號的幅度和相位來模擬空間任意方向的來波信號。

由于饋電鏈路幅相控制存在誤差， 合成信號的視在輻射中心將偏離設置的來波角度， 造成三元組角模擬誤差。 三元組幅度與相位誤差對角模擬精度的影響分析是三元組幅相校準技術設計的基礎， 得到了廣泛的研究［3-6］。 基于蒙特卡洛仿真的性能分析方法時間消耗長， 不同系統(tǒng)參數需要反復仿真， 結論的普適性弱［7］； 基于微分方程的性能分析方法無法有效聯合考慮多變量同時變化情況， 所獲得的結論具有局限性［8-9］。 以往結果表明幅度誤差是影響角模擬精度的關鍵因素， 而相位誤差帶來的影響較?。?-9］。

本文利用優(yōu)化工具， 對最大幅度誤差限制下的三元組最大角模擬誤差問題進行建模， 通過求解該非凸優(yōu)化問題， 分析三元組模擬任一來波方向時的角模擬誤差分布； 推導三元組最大角模擬誤差的閉式表達式， 以及其對應的視在輻射中心位置； 揭示了最大角模擬誤差隨單元幅度誤差漸進線性增加的變化規(guī)律。 分析結論適應于不同系統(tǒng)參數， 并聯合考慮了多變量同時變化對角模擬誤差的影響。

1" 三元組仿真

1.1" 系統(tǒng)模型

在射頻仿真系統(tǒng)中， 天線單元安裝在以轉臺回轉中心為球心、 半徑為R的球面上， 并呈等邊三角形規(guī)則排列， 假設距離R滿足遠場距離條件［10-11］。 如圖1所示， 互為相鄰的三個天線單元構成一個三元組， 為模擬P點

的來波信號， 饋電鏈路中的粗位控制模塊選擇P點所在的三元組， 精位控制模塊控制三元組陣元信號幅度與相位來模擬P點的來波信號。

由于不同三元組位置的等價關系， 本文不失一般性

收稿日期： 2023-12-12

基金項目： 江蘇省雙創(chuàng)博士項目（JSSCBS20221695）

*作者簡介： 蔣冬冬（1992-）， 男， 安徽宿州人， 博士， 工程師。

地關注由A， B， C三個輻射單元組成的三元組， 分析其角模擬精度指標。 如圖2所示， 建立直角坐標系， 以轉臺回轉中心為原點O， Y軸穿過A點， X軸與三元組的AB邊共面， 以右手直角坐標系確定Z軸方向。 根據直角坐標系建立極坐標系如下： 定義空間任意點P的方位角為OP在XOY平面投影與Y軸的夾角， 俯仰角θ為OP與XOY平面的夾角。 下文以極坐標表示空間任意點的位置。 三元組天線單元角度間隔為a， 有∠AOB=∠AOC=∠BOC= a， A點坐標（1， θ1， R）=（0， 0， R）， B點坐標（2， θ2， R）=（a， 0， R）， C點坐標（3， θ3， R）=（a/2， 3a/2， R）。 由于三元組角模擬精度分析僅關注角度信息， 下文用（1， θ1）表示A點坐標， 省略距離維坐標， 空間其他點坐標類似表示。

航空兵器" 2024年第31卷第3期

蔣冬冬， 等： 射頻仿真系統(tǒng)中幅度誤差對角模擬精度的影響分析

三元組A， B， C天線單元輻射幅度分別為E1， E2， E3的相同信號， 轉臺回轉中心的合成信號等效于接收視在輻射中心P的信號。 根據幅度重心公式， P點位置（， θ）與三元組單元位置和信號幅度的關系如下［12-15］：

=E11+E22+E33E1+E2+E3（1）

θ=E1θ1+E2θ2+E3θ3E1+E2+E3（2）

由式（1）～（2）可以看出： 通過控制三元組信號幅度可模擬空間不同角度的輻射信號； 視在輻射中心P的位置是陣元A， B， C位置的加權和， 權值分別為Ei/（E1+E2+E3）， i=1， 2， 3。 由于視在輻射中心位置僅與E1， E2， E3的相對大小有關， 為便于分析， 對三元組信號幅度進行歸一化：

E1+E2+E3=1（3）

根據式（1）～（3）以及陣元A， B， C的坐標位置， 可以求解模擬P點輻射信號時三元組的歸一化信號幅度為

E1E2E3=1－a－3θ3a

a－3θ3a

23θ3a（4）

如圖3所示， 視在輻射中心位置可以看做（i， θi）和（j， t， θj， t）兩個位置的加權和， 權值分別為Ei和Ej， t， 位置（j， t， θj， t）的坐標為

j， t=Ejj+EttEj+Et（5）

θj， t=Ejθj+EtθtEj+Et（6）

式中： 權值Ej， t=Ej+Et， i， j， t=1， 2， 3， i≠j≠t。 位置（j， t， θj， t）落在由陣元位置（j， θj）和（t， θt）構成的線段上， 其位置是陣元位置（j， θj）和（t， θt）的加權和， 權值分別為Ej/（Ej+Et）和Et/（Ej+Et）。 位置（j， t， θj， t）與Ej和Et的絕對大小無關， 與其相對大小有關。

1.2" 角模擬誤差

射頻饋電鏈路的幅度控制存在誤差， 假設三元組單元幅度控制誤差最大為h（dB）， 令k10h/20， 天線單元輻射信號幅度的真實值E-i滿足： Eik≤E-i≤kEi， i=1， 2， 3。 真實視在輻射中心P-的位置為E-11+E-22+E-33E-1+E-2+E-3， E-1θ1+E-2θ2+E-3θ3E-1+E-2+E-3 。

令E（E1， E2， E3）， E（E-1， E-2， E-3）， 在模擬視在輻射中心P點來波信號時， 由三元組幅度控制誤差導致的角模擬誤差為

f（E， E-）=

∑3i=1E-ii∑3i=1E-i－∑3i=1Eii∑3i=1Ei2+∑3i=1E-iθi∑3i=1E-i－∑3i=1Eiθi∑3i=1Ei2（7）

射頻仿真系統(tǒng)對三元組角模擬誤差指標敏感， 需要三元組最大角模擬誤差小于固定指標， 以保證仿真驗證的有效性。 對于視在輻射中心P， 幅度控制誤差帶來的最大角模擬誤差為

maxE- f（E， E-）

s.t. Eik≤E-i≤kEi， "i=1， 2， 3（8）

令E-*（E-*1， E-*2， E-*3）為求解式（8）的最優(yōu)解， 這里E-*是E的函數。 式（8）的可行域由不等式限制條件確定， 是三維空間的一個長方體， 包含無窮多個可行解。

不同視在輻射中心有著不同的最大角模擬誤差， 定義三元組的最大角模擬誤差為三元組內各視在輻射中心最大角模擬誤差的最大值：

maxEmaxE- f（E， E-）

s.t. Eik≤E-i≤kEi， i=1， 2， 3

Ei≥0， i=1， 2， 3

∑3i=1Ei=1（9）

令E*（E*1， E*2， E*3）為求解式（9）的最優(yōu)解。

2" 角模擬精度分析

2.1" 單點角模擬精度分析

由于式（8）中角位置不變， 即E固定， 為表示方便， 用f（E-）代替f（E， E-）。 式（8）是一個非凸優(yōu)化問題［16-17］， 而非凸優(yōu)化問題沒有求解全局最優(yōu)解的標準優(yōu)化工具， 一般可通過一階的梯度下降、 二階的牛頓等優(yōu)化算法獲得其局部最優(yōu)解。

由于f（E-）≥0， 最大化目標函數f（E-）等價于最大化f2（E-）。 分析任一E-2和E-3取值下， 最大化f2（E-）的E-1取值。 f2（E-）可變形如下：

f2（E， E-）=（x1（1－-2， 3）+-2， 3－）2+

（x1（θ1－θ-2， 3）+θ-2， 3－θ）2（10）

式中： x1=E-1E-1+E-2+E-3； -2， 3=E-22+E-33E-2+E-3；" θ-2， 3=E-2θ2+E-3θ3E-2+E-3。

可以看出以下性質：

（1） E-1僅通過x1項影響f2（E-）；

（2） f2（E-）是x1二次函數且二階導數為正；

（3） x1是E-1的單調增函數。

由性質（1）可知， 優(yōu)化E-1等價于優(yōu)化x1； 由性質（2）可知， f2（E-）在x1取最大值或最小值時取得最優(yōu)值； 由性質（3）可知， x1取最大值時E-1也取最大值， x1取最小值時E-1也取最小值。 綜上可知： 任一E-2和E-3取值下， 最大化f2（E-）的E-1取值為E-1∈{E1/k， kE1}。 那么， 當E-2=E-*2和E-3=E-*3時， 同樣有E-*1滿足E-*1∈E1k， kE1。

采用相同的證明方法可得： 固定E-1和E-3取值， 最大化f 2（E-）的E-2取值， E-*2∈E2k， kE2 ； 固定E-1和E-2取值， 最大化f2（E-）的E-3取值， E-*3∈E3k， kE3 。

根據以上分析， E-*共有8種可行取值， 又由于f（E/k）=f（kE）=0， E-*在如下六組可行解中產生：

D

E1k， E2k， kE3 ， E1k， kE2， E3k， kE1， E2k， E3k， E1k， kE2， kE3， kE1， E2k， kE3， kE1， kE2， E3k。

E-*求解可通過比較六組可行解對應的目標函數f（E-）取值獲得， 即取得最大目標函數的可行解為最優(yōu)解。

將可行解E1k， E2k， kE3和kE1， kE2， E3k代入式（5）～（6）可知： 兩組可行解對應的視在輻射中心依然落在陣元C和位置（1， 2， θ1， 2）構成的線段上， 其中可行解E1k， E2k， kE3相比位置P更靠近（j， t， θj， t）點， 而可行解kE1， kE2， E3k相比位置P更靠近陣元C。 同理可知： 可行解E1k， kE2， E3k和kE1， E2k， kE3對應的視在輻射中心依然落在陣元B和位置（1， 3， θ1， 3）構成的線段上， 其中可行解E1k， kE2， E3k相比位置P更靠近陣元B， 而可行解kE1， E2k， kE3相比位置P更靠近（1， 3， θ1， 3）點。 可行解kE1， E2k， E3k和E1k， kE2， kE3對應的視在輻射中心依然落在陣元A和位置（2， 3， θ2， 3）構成的線段上， 其中可行解kE1， E2k， E3k相比位置P更靠近陣元A， 而可行解E1k， kE2， kE3相比位置P更靠近（2， 3， θ2， 3）點。

2.2" 三元組角模擬精度分析

相比式（8）， 式（9）是通過優(yōu)化E和E-來最大化目標函數f（E， E-）， 其求解難度更高。 式（9）是一個非凸優(yōu)化問題， 一般可通過梯度下降等優(yōu)化算法獲得其局部最優(yōu)解， 而沒有標準的優(yōu)化工具可以獲得其全局最優(yōu)解。 接下來， 基于式（8）的分析結果， 并通過分析式（9）的結構特性， 求解其全局最優(yōu)解。

根據2.1節(jié)的結論， 并調整式（9）對E和E-的優(yōu)化順序， 式（9）可轉變?yōu)?/p>

maxE-∈DmaxEf（E， E-）

s.t. Ei≥0， i=1， 2， 3

∑3i=1Ei=1（11）

該優(yōu)化問題是將E-的六個可行解代入f（E， E-）后再對E優(yōu)化， 每個可行解對應一個優(yōu)化問題， 六個優(yōu)化問題最優(yōu)值的最大值為該優(yōu)化問題的最優(yōu)值。

求解每一可行解對應優(yōu)化問題的最優(yōu)值， 將可行解kE1， E2k， E3k代入f（E， E-）有

fE， kE1， E2k， E3k=

kE1kE1+E2， 3/k－E1·

（2， 3－1）2+（θ2， 3－θ1）2（12）

式中： kE1（kE1+E2， 3/k）－1－E1項與E1和E2， 3的大小有關， 而（2， 3－1）2+（θ2， 3－θ1）2項僅與E2和E3的比值E2/E3有關， 與E2和E3的絕對大小無關。 因此， 該優(yōu)化問題可以通過分別優(yōu)化kE1（kE1+E2， 3/k）－1－E1和（2， 3－1）2+（θ2， 3－θ1）2實現。

因式項（2， 3－1）2+（θ2， 3－θ1）2表示A點與（2， 3， θ2， 3）點之間的距離， 而（2， 3， θ2， 3）落在邊BC上， 并可以通過調整E2/E3取遍BC邊上所有的點。 由此可知， 當E2=0或E3=0時， 該項取得最大值 a。

針對kE1（kE1+E2， 3/k）－1－E1的優(yōu)化， 將E2， 3=1－E1代入該式， 并對E1求導， 根據導數為0可得

kE1－E1k+1k－2－1=0 E1=1k+1（13）

由此可知， 優(yōu)化問題的最優(yōu)解為（（k+1）－1， k（k+1）－1， 0）和（（k+1）－1， 0， k（k+1）－1）， 最優(yōu)值為（k－1）（k+1）－1a。 最優(yōu)解對應的視在輻射中心坐標可通過式（4）獲得。

對于其他可行解對應的優(yōu)化問題， 可以通過相同的方法獲得其最優(yōu)值均為（k－1）（k+1）－1a。 式（9）的最優(yōu)值也是（k－1）（k+1）－1a。 式（9）的最優(yōu)解為： 1k+1， kk+1， 0 ，" kk+1， 1k+1， 0， 1k+1， 0， kk+1 ， kk+1， 0， 1k+1 ， 0， 1k+1， kk+1 ，" 0， kk+1， 1k+1。

六組最優(yōu)解對應的視在輻射中心均在三元組三條邊上， 每條邊有兩個最優(yōu)解， 并呈對稱分布。 對于任意一條邊， 將邊長按1∶k和k∶1比例分割的點就是最優(yōu)解對應的視在輻射中心。

2.3" 三元組角模擬精度漸進特性分析

本節(jié)分析在最大幅度控制誤差h→0+時， 三元組最大角模擬誤差的漸進特性。 實踐中三元組最大幅度控制誤差較小， 分析最大角模擬誤差的漸進特性具有重要的意義。 定義三元組漸進最大角模擬誤差的階數增益（order gain）， 即h→0+時， 三元組最大角模擬誤差隨h變化的指數［18］：

d=limh→0+lg f（E*， E-*）lgh（14）

定義漸進最大角模擬誤差的系數：

limh→0+f（E*， E-*）hd（15）

將k=10h/20代入（k－1）（k+1）－1a， 漸進最大角模擬誤差的階數增益為

d=limh→0+lg10h/20－110h/20+1algh=1（16）

漸進最大角模擬誤差的系數為

limh→0+10h/20－110h/20+1ah=ln1040a（17）

由以上分析可知， 當三元組幅度控制誤差h→0時， 最大角模擬誤差隨h線性變化； 幅度誤差h每增加1 dB， 三元組最大角模擬誤差增加0.057 6a。

3" 仿真結果

3.1" 單點角模擬精度仿真驗證

對于視在輻射中心（， θ）， 根據式（4）求解對應的三元組信號幅度E； 考慮最大幅度控制誤差h（dB）， 三元組每個單元的幅度控制誤差在區(qū)間［-h， h］上等間隔取N個值， 三元組幅度控制誤差共有N3種組合； 每種幅度控制誤差組合對應一個三元組信號幅度真實值 ， 進而根據式（1）～（2）獲得對應的真實視在輻射中心。 目標視在輻射中心與真實視在輻射中心之間的最大距離為該點的最大角模擬誤差。

在仿真中， 視在輻射中心（， θ）?。?0， 10）， （20， 10）， （20， 20）， （30， 10）四組值， 最大幅度控制誤差h=1 dB， 幅度控制誤差取值個數N=21。

圖4展示了目標視在輻射中心與真實視在輻射中心的位置對比。" 由圖4可以看出，" 真實視在輻射中心落在以目標視在輻射中心為中心的六邊形內，" 六邊形的頂點與2.1節(jié)分析的六組可行解對應， 仿真結果驗證了單點角模擬精度分析結果的準確性。

圖5展示了式（8）最優(yōu)解在三元組內不同視在輻射中心的取值。 式（8）共有六組可行解， 分別用六種顏色表示。 紅色、 綠色、 藍色、 黃色、 品紅色、 青色區(qū)域分別表示最優(yōu)值取E1k， E2k， kE3， E1k， kE2， E3k， kE1， E2k， E3k， E1k， kE2， kE3， kE1， E2k， kE3， kE1， kE2， E3k的視在輻射中心位置。 由圖5可以看出， 六組可行解取最優(yōu)對應的三元組區(qū)域呈不規(guī)則分布； 三元組中兩個陣元信號幅度偏離k倍， 另一個縮小k倍取得最大角模擬誤差的區(qū)域在三元組區(qū)域的邊角上。

3.2" 三元組角模擬精度仿真驗證

目標視在輻射中心的方位角取值{|=0.4n， n=0， 1， 2， …， 100}， 俯仰角取值{θ|θ=0.346n， n=0， 1， 2， …， 100}， 對于以上取值的任一目標視在輻射中心{， θ}， 采用與3.1節(jié)相同的方式計算該點對應的最大角模擬誤差。

圖6展示了三元組內各點（視在輻射中心）對應的最

大角模擬誤差， 可以看出三元組最大角模擬誤差出現在三條邊上， 其位置與2.2節(jié)獲得的最優(yōu)解對應， 三元組最大角模擬誤差在h=1 dB和h=2 dB時取值分別為2.3 mrad和4.59 mrad， 與理論值（k－1）/（k+1）-1a一致， 這驗證了三元組角模擬精度分析結果的準確性。

3.3" 三元組漸進角模擬精度仿真驗證

圖7展示了三元組最大角模擬誤差隨最大幅度控制誤差h的變化關系。 從圖7可以看出， 三元組最大角模擬誤差與h基本保持線性關系， 在h≤1時， 其斜率分別為1.15 mrad/dB和2.3 mrad/dB， 與（ln10）/40a保持一致。

4" 結" 論

本文分析了最大幅度控制誤差限制下的三元組最大角模擬誤差問題， 并獲得以下結論： （1）對于任一視在輻射中心， 最大幅度控制誤差將使真實來波角度分布在以視在輻射中心為中心的六邊形內， 取得最大角模擬誤差的三元組信號幅度共有六組可行解； （2）三元組最大角模擬誤差為（k－1）（k+1）－1a， 僅與陣元間距a和最大幅度控制誤差h有關， 其對應的視在輻射中心共有六組， 均落在三元組三條邊上， 每條邊上各兩組， 并呈對稱分布； （3）當最大幅度控制誤差較小時， 三元組最大角模擬誤差隨著最大幅度控制誤差的增加而線性增加。

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Impact Analysis of Amplitude Error on Angle Simulation

Precision in RFSS

Jiang Dongdong*， Wang Qiang， Hu Dong， Xu Lei， Guo Bo

（Nanjing Research Institute of Electronics Technology， Nanjing 210039， China）

Abstract： Amplitude error of each antenna in three-element array is an important factor affecting the angle simulation precision，" which is a key index in radio frequency simulation system （RFSS）. Analyzing the relationship between angle simulation error and amplitude error is of great significance. Firstly， under the maximum amplitude error limitation of three-element array，" the problem of maximum angle simulation error at a fixed incoming wave direction is modeled. This optimization problem is a non-convex optimization problem，" and by analyzing its structural characteristics，" six possible values for the optimal solution are obtained. Secondly，" the problem of maximum angle simulation error at any incoming wave direction within the three-element array is modeled. Based on the optimization results for the fixed incoming wave direction and structural properties of the" problem，" a closed-form expression for the maximum angle simulation error is obtained，" and the apparent radiation centers corresponding to the maximum angle simulation error are revealed. Then，" when the amplitude errors approach zero，" the asymptotic characteristics of the maximum angle simulation error of the three-element array are analyzed，" revealing that the asymptotic angle simulation error increases linearly with the amplitude error. Finally，" the accuracy of the analysis results is proved via numerical simulations.

Key words： RFSS； three-element array； angle simulation precision； amplitude error; non-convex optimization