以一次函數(shù)為例，類比學習反比例函數(shù)

第十一章 反比例函數(shù)

領" 銜" 人：黃秀旺（正高級教師、江蘇省特級教師）

組稿團隊：江蘇省南京市初中數(shù)學黃秀旺名師工作室

我們在八年級上學期學習了“一次函數(shù)”，了解到研究函數(shù)的一般思路以及基本方法。本學期我們學習了反比例函數(shù)，以后還會學習二次函數(shù)，如果我們能把握函數(shù)視角的“前后聯(lián)系”，體會學習函數(shù)的共性，并以“一以貫之”的方式去探索和研究函數(shù)，將會事半功倍。

一、“反比例函數(shù)”的學習內(nèi)容

回顧一次函數(shù)的學習內(nèi)容，我們歸納出學習新函數(shù)大致包括以下內(nèi)容：（1）函數(shù)的概念；（2）函數(shù)的圖像與性質(zhì)；（3）函數(shù)與方程、不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系；（4）用函數(shù)解決實際問題?！胺幢壤瘮?shù)”的學習也是從以上幾個方面展開的。了解了反比例函數(shù)的學習內(nèi)容就相當于我們知道了“要到哪里去”，并且會對函數(shù)有一個整體性的認識。

二、“反比例函數(shù)”的學習路徑與方法

我們除了知道了“要到哪里去”，還需要知道“怎么去”。所以，在這方面我們依然要聯(lián)系一次函數(shù)。一次函數(shù)的概念是通過具體的實例經(jīng)歷歸納、抽象、概括等過程得到的，同樣，反比例函數(shù)的概念也是經(jīng)歷以上過程得到的。

對于一次函數(shù)，我們先通過“點燃一支香，感受它的長度隨著燃燒時間的變化而變化”的情境，直觀感受一次函數(shù)的圖像是一條直線，然后通過“列表、描點、連線”得到一次函數(shù)的圖像（是一條直線）；同樣，對于反比例函數(shù)，我們也是先通過反比例函數(shù)的表達式去描述函數(shù)的一些性質(zhì)，然后通過“列表、描點、連線”得到反比例函數(shù)的圖像，最后畫出更多不同反比例函數(shù)的圖像來歸納出它們的共性。

接下來，類似于一次函數(shù)，我們可以利用反比例函數(shù)的相關知識分析和解決一些簡單的實際問題，體會到反比例函數(shù)也是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一種模型。

在學習一次函數(shù)時，我們體會到一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系，比如，教材中的一個問題：試根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像說出2x+4=0、2x+4＞0、2x+4＜0的解。我們就可以利用一次函數(shù)y=2x+4的圖像，得到一元一次方程2x+4=0的解是x=-2，不等式2x+4＞0的解是x＞-2，不等式2x+4＜0的解是x＜-2。

那么，對于反比例函數(shù)，我們又該如何理解呢？我們以y=[6x]為例，如圖1，點（3，2）在圖像上，也就是說當x=3時，y=2，那么也可以理解為方程[6x]=2的解是x=3。同樣，不等式[6x]＞2表示的是圖像中點（3，2）的上方，對應的x的取值范圍為x＜3，考慮反比例函數(shù)圖像的特點，剛剛所提到的“點（3，2）的上方”，實際上是一條分支的上方，因此不等式[6x]＞2的解是0＜x＜3。顯然，不等式[6x]＜2的解是x＞3或x＜0。因此，我們也可以類比一次函數(shù)與一次方程、一次不等式之間的聯(lián)系，來體會反比例函數(shù)與相應的方程、不等式之間的聯(lián)系，正所謂“一以貫之”。

總之，我們應善于運用類比的思想，展開對新知的學習與研究。以一次函數(shù)為例，類比學習反比例函數(shù)，形成對反比例函數(shù)的整體性認識，這樣我們不僅能習得反比例函數(shù)的知識與探究方法，更能提高探究函數(shù)的能力，為后續(xù)研究其他未知的函數(shù)奠定基礎。