高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)”教學(xué)問(wèn)題探究

文/羅婭　湯強(qiáng)

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高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)”教學(xué)問(wèn)題探究

文/羅婭湯強(qiáng)

摘要:隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的改革，導(dǎo)數(shù)作為新的知識(shí)出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中，導(dǎo)數(shù)的研究，進(jìn)一步的為解決了求函數(shù)的零點(diǎn)，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，以及不等式的證明等方面的問(wèn)題提供了簡(jiǎn)潔的方法。但在中學(xué)教學(xué)過(guò)程中卻存在三種典型的“偏見(jiàn)”，而如果教學(xué)中回避這些“偏見(jiàn)”，會(huì)導(dǎo)致我們不能正確定位高考考點(diǎn)，使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念模糊不清，教師如何高效的處理好這些“隱患”把導(dǎo)數(shù)這一教學(xué)板塊教學(xué)好，是值得的我們商確和反思的。

關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);教學(xué);問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)之一，也是歷年高考數(shù)學(xué)試題命制的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，題型變化靈活，能考察學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論的能力。除了傳統(tǒng)的求單調(diào)性、最值外，還增加開(kāi)放性、探究性問(wèn)題等;所以學(xué)習(xí)好導(dǎo)數(shù)是非常有必要的，然而教學(xué)中卻存在了一下幾點(diǎn)教學(xué)偏見(jiàn)。

1．偏見(jiàn)之一:忽略函數(shù)極限的內(nèi)容直接講導(dǎo)數(shù)定義

極限這個(gè)詞匯來(lái)源于數(shù)學(xué)微積分，極限是微積分中的基礎(chǔ)概念，它指的是變量在一定的變化過(guò)程中，從總的來(lái)說(shuō)逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢(shì)以及所趨向的值(極限值)。高中教材中所體現(xiàn)的極限思想即有數(shù)列極限和函數(shù)極限兩種，雖然說(shuō)極限這個(gè)數(shù)學(xué)概念實(shí)在大學(xué)中進(jìn)一步深入研究探討的，但是在研究導(dǎo)函數(shù)概念的由來(lái)就必須要初步的掌握極限的相關(guān)知識(shí)，例如在導(dǎo)函數(shù)公式中

就存在無(wú)限趨近的概念，變量無(wú)限趨近于0，這種數(shù)值逼近也是極限思想的一種體現(xiàn)。而在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，是將我們的平均速度近似看做瞬時(shí)速度，也是一種極限思想，因此在導(dǎo)數(shù)新課的講解中，不能忽視不講極限，跳過(guò)極限而給學(xué)生講導(dǎo)數(shù)，而是應(yīng)該讓學(xué)生了解到極限的存在，以及講解簡(jiǎn)化極限的知識(shí)內(nèi)容，讓學(xué)生自身感悟極限的思想和過(guò)程，為大學(xué)深入學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。高考中也存在極限的考法:

比如下例:

例1 (2011年四川卷理科5題)

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

分析:理論基礎(chǔ): (高等數(shù)學(xué))

函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，滿足條件:

(1)函數(shù)在此點(diǎn)有定義;

(2)函數(shù)在此點(diǎn)的左右極限相等;

(3)函數(shù)在此點(diǎn)的極限值和函數(shù)值相等。

所以說(shuō)極限存在的前提是要滿足以下三點(diǎn)，上述問(wèn)題表述的易得到答案(B)。

2．偏見(jiàn)之二:過(guò)分重視教材實(shí)例，忽視指導(dǎo)觀察函數(shù)本質(zhì)

在新課改之前的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師教導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)一般就是直接給學(xué)生陳訴概念，讓學(xué)生記憶概念內(nèi)容，并沒(méi)有闡述導(dǎo)函數(shù)概念的由來(lái)，新課改后，教學(xué)強(qiáng)調(diào)理論聯(lián)系實(shí)際，體現(xiàn)數(shù)學(xué)其實(shí)從生活中提取出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，為了更加貼切生活，教材中確實(shí)呈現(xiàn)了多種與導(dǎo)函數(shù)由來(lái)的生活實(shí)例與背景，在導(dǎo)函數(shù)開(kāi)篇，就以一道關(guān)于氣球膨脹求瞬時(shí)速率的問(wèn)題，接著所有的例子基本都是與生活掛鉤的，比如說(shuō)求濃度，溫度，變量的速率，直觀的體現(xiàn)了新課改的特點(diǎn)，可是這樣真的能讓學(xué)生很好的掌握了導(dǎo)函數(shù)的本質(zhì)么?

其實(shí)例子是可以舉，但是不能強(qiáng)把所有的只要有求變量速率的東西都往導(dǎo)函數(shù)靠攏，要抓導(dǎo)函數(shù)的本質(zhì)，其實(shí)實(shí)例中所呈現(xiàn)出來(lái)本質(zhì)上也是一種函數(shù)，可能這些函數(shù)是我們的基本初等函數(shù)，有些則是抽象函數(shù)，但解決的方法往往是抓住變量與變量之間的改變而得到的結(jié)果，譬如教師舉了太多實(shí)例的東西，如果這時(shí)候，我們舉出一道求“函數(shù)y = x2從到的平均變化率”，難道學(xué)生還要把它轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題來(lái)做這道題?解決這道題關(guān)鍵是抓住自變量的改變和自變量改變引起的函數(shù)值的改變，從而得到結(jié)果，所以教師在講解過(guò)程中，不能太重實(shí)例，要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，不管是實(shí)例還是非實(shí)例，都是要通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型，函數(shù)模型抓到了，解決起來(lái)就容易的多。

例2:一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里，它的溫度會(huì)逐漸下降，溫度T (單位:℃)與時(shí)間t (單位: min)間的關(guān)系，由函數(shù)T = f (x)表示。

(1) f’(t)的含義是什么? f’(t)的符號(hào)是什么?為什么?

(2) F’(3) =－4的實(shí)際意義是什么?如果f (3) =60 (℃)，你能畫(huà)出函數(shù)在點(diǎn)t =3時(shí)圖象的大致形狀嗎?

解析:

(1) f’(t)的含義表示“瞬時(shí)溫度”，紅茶溫度在下降，f’(t)的符號(hào)是負(fù)號(hào)，f’(t)＜0．

(2) F’(3) =－4表明在3℃附近時(shí)，紅茶的溫度約以4℃) /min的速度下降。

T = f (t)在點(diǎn)(3，60)處的切線斜率K =－4．

T = f (t)在t =3時(shí)的圖象的大致形狀如圖所示。

3．偏見(jiàn)之三:“止”于教材學(xué)導(dǎo)數(shù)

由于近幾年高考題中參照了教科書(shū)中的習(xí)題例題來(lái)出題，所以我們更要重視教材這一觀念本身沒(méi)錯(cuò)，但是“止”于教材學(xué)導(dǎo)數(shù)，就大大違背了這一觀念，這并不是要求我們只把教材上的內(nèi)容處理好就可以了，高考題考察的是導(dǎo)函數(shù)概念的本質(zhì)，如果我們把本質(zhì)東西弄懂了，那么即使不是一樣的數(shù)據(jù)的題型，我們依然會(huì)可以輕松的解決問(wèn)題。

例3．(2013年高考廣東文科卷第21題)

設(shè)f(x) = x3－kx2+ x(k∈R)

(1)當(dāng)k = 1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)當(dāng)k＜0時(shí)，求函數(shù)f(x)在［k，－k］上的最小值m和最大值M。

教材原型(人教A版高中數(shù)學(xué)教材選修2－2第26頁(yè)練習(xí)1(4) )判斷函數(shù)f(x) = x3－x2－x的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間。

演變過(guò)程高考題是上述教材原型題的改編題，將二次項(xiàng)系數(shù)－1改為參變量－k，一次項(xiàng)系數(shù)－1改為+1．高考真題2的第(Ⅰ)問(wèn)，實(shí)質(zhì)上就是教材習(xí)題中的求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第(Ⅱ)問(wèn)是在第(Ⅰ)問(wèn)的基礎(chǔ)上增加對(duì)參數(shù)的討論，

從以上的分析中我們可以看出，教材在高考復(fù)習(xí)中占據(jù)著不可替代的地位．教材的例題和習(xí)題蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法和解題技巧．我們?nèi)裟軐?duì)一些典型的例題、習(xí)題進(jìn)行認(rèn)真的深究，在高三復(fù)習(xí)中合理地再利用，挖掘其內(nèi)在的潛能，探求到更一般的結(jié)論，做到知識(shí)點(diǎn)、思想方法源于教材卻又高于教材，如此不僅能提高解決似曾相識(shí)的問(wèn)題的速度和能力，也有利于提高高考復(fù)習(xí)的質(zhì)量。

4．教學(xué)建議

針對(duì)以上出現(xiàn)的三個(gè)教材中常見(jiàn)的偏見(jiàn)，我將制定以下教學(xué)方案:

事實(shí)上，講好第2和第3課時(shí)是講好導(dǎo)函數(shù)這節(jié)內(nèi)容的觀念，要求教師重點(diǎn)把握這兩節(jié)的處理對(duì)教師本身對(duì)教材的理解有一定的難度和挑戰(zhàn)性，這對(duì)今后教學(xué)，備考的啟示與建議:

(1)在研究函數(shù)單調(diào)性的方法上，我們學(xué)過(guò)兩種解決函數(shù)單調(diào)性方法，一是定義法，另一種是求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)求解，但是運(yùn)用求導(dǎo)數(shù)法一般比用單調(diào)性定義等常規(guī)方法簡(jiǎn)單易行，我們需要在面對(duì)不一樣的題型面前選擇適合的方式進(jìn)行求解，常見(jiàn)的基本初等函數(shù)直接用定義法即可解決，針對(duì)復(fù)合函數(shù)，最好利用導(dǎo)函數(shù)解決更加簡(jiǎn)單易行，要注意的是不管用那種方法求解，都要注意函數(shù)定義域的取值范圍這個(gè)是許多學(xué)生出錯(cuò)的地方。

(2)建議新教材畢竟把平面向量提前，不等式一章也可適當(dāng)前置，為系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)理論做好必要的鋪墊。高三總復(fù)習(xí)時(shí)，可適當(dāng)調(diào)整順序，如把導(dǎo)函數(shù)歸為函數(shù)一類進(jìn)行復(fù)習(xí)。有效的掌握函數(shù)的性質(zhì)，最值單調(diào)性等

(3)對(duì)于極限這種新知識(shí)點(diǎn)，大致講講即可，切勿深入研究。

(作者單位:西華師范大學(xué))

參考文獻(xiàn):

［1］課程教材研究所．面向21世紀(jì)中小學(xué)教材建設(shè)現(xiàn)代化研究與實(shí)踐［M］．北京:人民教育出版社，2003: 7

［2］人民教育出版社課程教材研究所等編著．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(選修2－2，2－1)［M］．北京:人民教育出版社，2007．

［3］波利亞著:《怎樣解題》，科學(xué)出版社

［4］波利亞著:《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)對(duì)解題的理解，研究和講授》，科學(xué)出版社

作者簡(jiǎn)介:羅婭(1993－)，女，漢，四川成都，大學(xué)本科，在讀研究生，西華師范大學(xué)，研究方向:學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))。

中圖分類號(hào):G635

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):2095－9214 (2015) 10－0057－02