借集合之石攻充分條件和必要條件之玉

充分條件和必要條件作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)推理的重要依據(jù)，所涉及題型是難點(diǎn)，也是易錯(cuò)題型．在判斷充分條件和必要條件時(shí)，包含了充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件和既不充分也不必要條件四種結(jié)果．本文基于多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)充分條件和必要條件相關(guān)題型進(jìn)行梳理，借助集合關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為取值范圍問(wèn)題，使問(wèn)題具體化，以期幫助讀者輕松快速求解此類問(wèn)題．

１ 集合中的充分條件和必要條件

對(duì)于命題p 和q，若p ?q，則p 是q 的充分條件，q 是p 的必要條件;若p?q，且q ?/p，則p 是q的充分不必要條件，q 是p 的必要不充分條件;若p?q，則p 與q 互為充要條件．

在集合中，設(shè)兩個(gè)集合A 和B，若集合A 是集合B 的真子集，即A ?B，則有x∈A ?x∈B，也就是說(shuō)“x∈A”是“x∈B”的充分條件，“x∈B”是“x∈A ”的必要條件．受此啟發(fā)，若把集合A 看作一個(gè)命題，集合B 也看作一個(gè)命題，則當(dāng)A ?B 時(shí)，A 是B 的充分不必要條件，B 是A 的必要不充分條件;當(dāng)A ＝B 時(shí)，A與B 互為充要條件;當(dāng)A 不包含于B，且B 不包含于A 時(shí)，A 與B 互為既不充分也不必要條件．

例１ （２０２０年天津卷２）設(shè)a∈R，則“a＞１”是“a２＞a”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

解析

根據(jù)上述的思想方法分析，設(shè)命題p 為a＞１，命題q 為a２＞a，而由不等式a２＞a，解得a＜０或a＞１，故命題q 可轉(zhuǎn)化為a＜０或a＞１，所以p?q，且q ?/p，則p 是q 的充分不必要條件，故選A．

點(diǎn)評(píng)

這種題型體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象，通過(guò)上面的例題，不難發(fā)現(xiàn)利用這種思想方法解決這類問(wèn)題的一般步驟：第一步，根據(jù)已知條件定好“元素”，這個(gè)“元素”是兩個(gè)命題主要圍繞的方面，前后要統(tǒng)一;第二步，設(shè)集合，兩個(gè)命題涉及的“元素”各為一個(gè)集合;第三步，對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，將兩個(gè)集合化為最簡(jiǎn)形式;第四步，根據(jù)“小推大”確定關(guān)系，要根據(jù)元素明確兩個(gè)集合之間的關(guān)系;第五步，下結(jié)論，即根據(jù)集合關(guān)系下結(jié)論．

２ 解題思想

充分條件和必要條件就是在集合的基礎(chǔ)之上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，現(xiàn)在把這個(gè)問(wèn)題放在集合問(wèn)題上來(lái)討論，相當(dāng)于是回歸基礎(chǔ)．經(jīng)過(guò)梳理發(fā)現(xiàn)，充分條件和必要條件題型均可以轉(zhuǎn)化為取值范圍的問(wèn)題處理，即“小范圍推大范圍”，故在解決充分條件和必要條件問(wèn)題時(shí)，030511e0a49b8116b7cfeb916acdfe9b只需要將問(wèn)題研究的對(duì)象轉(zhuǎn)化為一個(gè)統(tǒng)一方向的取值范圍問(wèn)題，再由“小范圍推大范圍”下定結(jié)論即可．

例２ （２０２３年全國(guó)甲卷理７）“sin２α＋sin２β＝１”是“sinα＋cosβ＝０”的（ ）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

由sin２α＋sin２β＝１，可得sin２α＝cos２β，即sinα＝±cosβ，所以α＝kπ＋π／２±β（k∈Z）．由sinα＋cosβ＝０，可得sinα＝－cosβ，即α＝２kπ＋３π／２±β（k∈Z），所以sinα＋cosβ＝０?sin２α＋sin２β＝１，但sin２α＋sin２β＝１?/cosα＋cosβ＝０，故選B．

點(diǎn)評(píng)

該題是三角函數(shù)問(wèn)題，對(duì)命題進(jìn)行化簡(jiǎn)后，不妨設(shè)

A ＝{α|α＝kπ＋π／２±β，k∈Z}，

B＝{α|α＝２kπ＋３π／２±β，k∈Z}，

很明顯有B ?A ，所以“sin２α＋sin２β＝１”是“sinα＋cosβ＝０”的必要不充分條件．將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合之后，抽象問(wèn)題具體化了，但其關(guān)鍵是要認(rèn)定統(tǒng)一研究方向，即轉(zhuǎn)化為同一類元素的集合．

３ 應(yīng)用舉例

經(jīng)分析總結(jié)，考查充分條件和必要條件的題型主要有兩類：一類是基本知識(shí)、概念、推理和定理，這類問(wèn)題只要基礎(chǔ)牢固，記住相關(guān)概念、定理和推論即可;另外一類是知識(shí)的應(yīng)用，則可以利用本文提供的思想方法求解，該方法既快速又準(zhǔn)確．下面將這一思想推廣到其他知識(shí)與充分條件及必要條件相結(jié)合的情況．

３.１ 基礎(chǔ)題型

例３ （２０２３年北京卷８）若xy≠０，則“x＋y＝０”是“y／x ＋x／y ＝－２”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

由xy≠０，以及yx ＋xy ＝－２，可得y２＋x２／xy ＝－２，即（x＋y）２ ＝０，所以“x ＋y ＝０”是“y／x ＋x／y ＝－２”的充要條件，故選C．

點(diǎn)評(píng)

該題型是對(duì)一些基礎(chǔ)知識(shí)的直接考查，求解這類問(wèn)題不需要過(guò)多解題技巧和策略，根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)可以將題設(shè)中的兩個(gè)命題進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)集合關(guān)系判定結(jié)論即可．

３.２ 對(duì)知識(shí)的融合應(yīng)用

１）與不等式相結(jié)合

例４ 對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，“a＜b＜０”是“b／a ＜１”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

設(shè)命題p 為a＜b＜０，命題q 為b／a＜１．命題q可化為當(dāng)a＜０時(shí)，a＜b，當(dāng)a＞０時(shí)，a＞b．根據(jù)“小范圍推大范圍”，p?q 且q ?/p，所以p 是q 的充分不必要條件，故選A．

２）與函數(shù)相結(jié)合

例５ “函數(shù)y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函數(shù)”是“實(shí)數(shù)a＞３”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

設(shè)命題p 為函數(shù)y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函數(shù)，命題q 為實(shí)數(shù)a＞３，因?yàn)楹瘮?shù)y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函數(shù)，則當(dāng)x ∈（０，１）時(shí)，y′≥０恒成立．因?yàn)閥＝－x３＋ax，所以y′＝－３x２＋a．設(shè)g（x）＝－３x２＋a，則函數(shù)g（x）的圖像是開(kāi)口向下且對(duì)稱軸為x＝０的拋物線，所以g（x）＝－３x２＋a 在（０，１）上單調(diào)遞減，故gmin（x）＝g（１）＝－３＋a，則－３＋a≥０，解得a≥３．此時(shí)p 為{a|a≥３}，q 為{a|a＞３}，則根據(jù)“小范圍推大范圍”，有q?p，且p?/q，所以“函數(shù)y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函數(shù)”是“實(shí)數(shù)a＞３”的必要不充分條件，故選B．

３）與數(shù)列相結(jié)合

例６ （２０２３年全國(guó)Ⅰ卷７）記Sn 為數(shù)列{an }的前n 項(xiàng)和，設(shè)甲：{an }為等差數(shù)列;乙：{Sn／n }為等差數(shù)列，則（ ）．

A．甲是乙的充分不必要條件

B．甲是乙的必要不充分條件

C．甲是乙的充要條件

D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解析

對(duì)于甲，設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a１，公差為d，則{an}的前n 項(xiàng)和Sn ＝na１＋n（n－１）d／２ ，故Sn／n ＝a１＋（n－１）d／２．對(duì)于乙，{Sn／n }為等差數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為p，公差為q，則Sn／n ＝p＋（n－１）q，即Sn ＝np＋n（n－１）q，所以甲是乙的充要條件，故選C．

４）與向量相結(jié)合

例７ （２０１７年北京卷文７）設(shè)m ，n 為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m ＝λn”是“m ·n＜０”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

“存在負(fù)數(shù)λ，使得m ＝λn”，說(shuō)明向量m 與向量n 的方向相反，即兩個(gè)向量的夾角為π．而根據(jù)向量數(shù)量積的定義，由“m ·n＜０”得到向量m與向量n 的夾角取值范圍是（π／２，π]，所以該題應(yīng)該以兩個(gè)向量m 與n 的夾角為元素．顯然，π∈（π／２，π]，所以“存在負(fù)數(shù)λ，使得m ＝λn”是“m ·n＜０”的充分不必要條件，故選A．

５）與三角函數(shù)相結(jié)合

例８ （２０２０年北京卷９）已知α，β∈R，則“存在k∈Z 使得α ＝kπ＋ （－１）kβ”是“sinα ＝sinβ”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

該題是充分條件和必要條件與三角函數(shù)相結(jié)合的題型，題目看似比較復(fù)雜，但是從兩個(gè)命題看，可以看作以角α 和β 的關(guān)系為元素的集合．設(shè)集合A 為“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－１）kβ”．

因?yàn)閗∈Z，所以當(dāng)k 為偶數(shù)時(shí)，有

α＝２nπ＋β（n∈Z），

即α 與β 是終邊相同的角．

當(dāng)k 為奇數(shù)時(shí)，有

α＋β＝（２n－１）π（n∈Z）．

設(shè)集合B 為“sinα＝sinβ”，由sinα＝sinβ，可得α＝２nπ＋β（n∈Z）或α＋β＝（２n－１）π（n∈Z），所以有A ＝B，則“存在k∈Z 使得α＝kπ＋（－１）kβ”是“sinα＝sinβ”的充要條件，故選C．

６）與立體幾何相結(jié)合

例９ （２０２０年浙江卷６）已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線m ，n，l，則“m ，n，l 在同一平面”是“m ，n，l 兩兩相交”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

根據(jù)題意，兩個(gè)命題所講的是三條直線m ，n，l 的位置關(guān)系，故可以把兩個(gè)命題看作兩個(gè)以三條直線m ，n，l 的位置關(guān)系為元素的集合．設(shè)“m ，n，l 在同一平面”為集合A ，則A 的元素包括m ，n，l 兩兩相交;m ∥n∥l，且共面;在m ，n，l 中，其中有兩條直線平行，剩下的一條直線與這兩平行直線相交．設(shè)“m ，n，l 兩兩相交”為集合B，則B ?A ，所以“m ，n，l 在同一平面”是“m ，n，l 兩兩相交”的必要不充分條件，故選B．

７）與對(duì)數(shù)、指數(shù)相結(jié)合

例１０ 設(shè)a，b 都是不等于１的正數(shù)，則“３a ＞３b＞３”是“l(fā)oga３＜logb３”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

該題型實(shí)質(zhì)和不等式一樣，由“３a ＞３b ＞３”得a＞b＞１，由“l(fā)oga３＜logb３”得０＜b＜a＜１或１＜b＜a 或０＜a＜１＜b，從取值范圍來(lái)說(shuō)，０＜b＜a＜１或１＜b＜a 或０＜a＜１＜b 的范圍比a＞b＞１大，則“３a ＞３b＞３”是“l(fā)oga３＜logb３”的充分不必要條件，故選A．

８）與復(fù)數(shù)相結(jié)合

例１１ 設(shè)z１，z２∈C，則“z１，z２ 中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“z１－z２ 是虛數(shù)”的（ ）．

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析

設(shè)“z１，z２ 中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”為集合A ，則集合A 的元素包括z１ 為實(shí)數(shù)，z２ 為虛數(shù);z１ 為虛數(shù)，z２ 為實(shí)數(shù);z１，z２ 均為虛數(shù)．設(shè)“z１－z２是虛數(shù)”為集合B，則集合B 中的元素包括z１ 為實(shí)數(shù)，z２ 為虛數(shù);z１ 為虛數(shù)，z２ 為實(shí)數(shù);z１，z２ 均為虛數(shù)，但虛部不相等．由此可知B ?A ，所以“z１，z２ 中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“z１－z２ 是虛數(shù)”的必要不充分條件，故選B．

４ 小結(jié)

以上從不同的知識(shí)方面對(duì)方法進(jìn)行推廣應(yīng)用，體現(xiàn)不同方式的轉(zhuǎn)化方法，雖然不是所有這種題均能直接或轉(zhuǎn)化為取值范圍的問(wèn)題來(lái)解決，但是梳理發(fā)現(xiàn)這種題目可以分為兩類：一類是考查不同知識(shí)的基礎(chǔ)，這類問(wèn)題按照定義和定理進(jìn)行推理就可以了，如２０１８年浙江卷第６題，考查立體幾何中的線面平行的判定定理;另外一類就是考查對(duì)各個(gè)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力問(wèn)題，這類問(wèn)題可以用本文的方法解決．總而言之，解決這類問(wèn)題的一般思想：一是題型識(shí)別，判斷題目是不是考查基本定義、定理和推論，如果是，就根據(jù)相關(guān)知識(shí)判斷即可;二如果考查的不是基本定義、定理和推論，那就按照提供的思想進(jìn)行，找好集合的元素;三就是根據(jù)已知求出兩個(gè)命題中確定的元素的取值范圍;四是根據(jù)“小范圍推大范圍”確定關(guān)系，再根據(jù)集合關(guān)系下結(jié)論．

本文雖然只列舉了部分不同知識(shí)與充分條件及必要條件相結(jié)合的題目，但是其他知識(shí)方面也是一樣的情況，將命題轉(zhuǎn)化為集合，利用集合關(guān)系判斷充分條件和必要條件．求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是要準(zhǔn)確地定好“元素”，把“元素”定好就可以將原問(wèn)題完全轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系問(wèn)題，則問(wèn)題就具體化了．但也不能隨意定“元素”，要根據(jù)題目要求和已知條件來(lái)定，兩個(gè)集合所包含的“元素”應(yīng)該是同一類．

綜上，借集合之石攻充分條件和必要條件之玉，即利用集合思想求解與充分條件和必要條件有關(guān)的題目，思路更清晰、解題速度更快、準(zhǔn)確率更高．

（完）