充分條件與必要條件:揭示邏輯推理的思維密碼

數(shù)學是講邏輯、重推理的學科，每一個結論都需要充分的推導．本文尋找充分、必要條件的知識源頭并敘述新中國成立以來的教學要求，從高中數(shù)學的教學內容出發(fā)，對概念進行多視角闡釋，以期促進學生對概念的理解;從教育功能出發(fā)，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和構建知識體系的能力，提升課堂教學效率．

１ 研究緣起

在教研活動中，經常有教師問：“為什么高中數(shù)學中要學習充分、必要條件？”在與數(shù)學教師的交流中，部分教師也表示“這部分知識是學生學習的一個難點”“學生不理解，做題錯誤率較高”“學不學該部分知識對其他數(shù)學知識的學習沒有影響”等，導致教學的現(xiàn)狀是部分教師讓學生死記硬背，學生“知其然，而不知其所以然”，學生做題的錯誤率較高．那么，為什么無論是新教材還是老教材，都沒有刪去這部分內容？ 為什么從原來的數(shù)學教學大綱到數(shù)學課程標準都保留這部分內容？ 筆者從“充分、必要條件”的知識源頭入手，重點闡釋這一概念的教學思路與功能，以利于教師課堂教學的順利開展，提升課堂教學的效率.

２ 概念的淵源、發(fā)展與教學要求

亞里士多德是古希臘三賢之一，在數(shù)學、物理、文學、邏輯學等諸多領域都有巨大的成就，其中“三段論”一直被現(xiàn)代數(shù)學所沿用，充分、必要條件的概念便源于他所創(chuàng)造的邏輯學理論，他指出充分、必要條件是描述一定語言符號所指概念范疇所必需的集合特征，這些集合特征是對客觀世界中某一類實體的抽象概括，后來充分、必要條件在數(shù)理邏輯領域逐漸發(fā)展并廣泛應用，直到今天．

“有之則必然，無之則未必不然，是為大故，無之則必不然，有之則未必然，是為小故”出自戰(zhàn)國時期思想家墨子的著作?墨經?，這也是我國關于充分、必要條件概念最早的描述，形象地解釋了充分、必要條件的含義．新中國成立以來，教材版本不斷發(fā)生變化，但這一概念一直存在于數(shù)學教材之中．表１羅列了新中國成立以來高中數(shù)學教學大綱（以下簡稱大綱）、普通高中數(shù)學課程標準（以下簡稱課程標準）中關于充分條件與必要條件的表述．

從表１可以看出，充分、必要條件一直存在于高中數(shù)學知識體系之中，起初這些概念分散于不同的章節(jié)之中，如解析幾何、立體幾何、向量等，后來從培養(yǎng)學生邏輯思維能力的視角出發(fā)，這部分內容逐漸被整合到一個系統(tǒng)的章節(jié)中，使得學生可以更好地理解和應用這些概念，顯然，對于充分、必要條件知識的重要性的認識也是一個逐漸完善和加強的過程．

３ 充分、必要條件的概念闡釋

３.１ 依據(jù)教材，理解概念

北師大版教材給出的定義如下：一般地，當命題“若p，則q”是真命題時，稱q 是p 的必要條件，同時稱p 是q 的充分條件;如果p?q，且q?p，那么稱p是q 的充分且必要條件，簡稱p 是q 的充要條件，記作p?q．

在教學中，學生對充分條件易于理解，但對必要條件的理解較為困難，教材為了讓學生突破這一難點，先通過實例分析數(shù)學中的性質和定理，再給出定義，讓學生對必要條件語言有一個認識、歸納、理解的過程．在實際的教學中，效果依然不夠理想，需要從多個維度加以分析，引導學生抓住概念的本質．

３.２ 基于學情，深化概念

１）利用“逆否命題”的知識

在“幾何與圖形”課程內容中有“定義、命題、定理”一節(jié)，該節(jié)的教學要求：能結合具體實例，會區(qū)分命題的條件與結論，了解原命題及其逆命題的概念．會識別兩個互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立．為了增強學生的理解力，我們可以補充原命題的逆否命題的概念，利用逆否命題和原命題的等價性，充分、必要條件的定義如下．

“若p，則q”是真命題，則稱p 是q 的充分條件;即如果條件A 成立，則結論B 也成立，我們就稱條件A 是結論B 的充分條件．

“若￢q，則￢p”是真命題，則稱q 是p 的必要條件，即如果條件A 不成立，則結論B 也不成立，我們就稱條件A 是結論B 的必要條件．

這樣就進一步詮釋了必要條件的定義．例如，若兩個三角形全等，則兩個三角形的面積相等，稱兩個三角形全等是這兩個三角形的面積相等的充分條件．顯然，若兩個三角形的面積不相等，則這兩個三角形不全等，我們就稱兩個三角形的面積相等是這兩個三角形全等的必要條件．這也是對古籍?墨經?中的“無之則必不然”的具體解釋．

２）利用“集合”的知識

數(shù)學語言包括自然語言、符號語言、圖形語言，我們可以認為p?q 為符號語言，p 是q 的充分條件，q是p 的必要條件為自然語言，借用集合知識A ?B 可以表示為如圖１所示的圖形語言，如果x∈A ，那么x∈B，我們就說x∈A 是x∈B 的充分條件，由于x?B 時，x?A 成立，我們也稱x∈B 是x∈A 的必要條件．

我們知道，同一個研究對象，可以有不同的文字語言表征．同樣，闡釋同一件事物屬性的表達也可以有不同的方法，如“若p，則q”是真命題、p?q、p 是q的充分條件、q 是p 的必要條件這四種說法，表達的意思本質上是等價的，都在描述特定的一個邏輯關系．

４ 緊扣數(shù)學本質，發(fā)揮知識功能

４.１ 為知識梳理提供方法，建構學生知識體系

充分、必要條件知識貫穿整個高中乃至以后的數(shù)學學習，對建構學生的知識體系有重大意義．德國數(shù)學家開普勒說過，數(shù)學就是研究千變萬化中不變的規(guī)律．課程標準已經把“常用邏輯用語”等單獨列為一個主題，作為高中數(shù)學的預備知識，這有利于初中、高中的平穩(wěn)過渡，知道數(shù)學中的每一條性質定理都給出了相應數(shù)學結論成立的一個必要條件;每一條判定定理都給出了相應數(shù)學結論成立的一個充分條件;每一個定義都給出了結論成立的充要條件．讓學生深度理解充分條件、必要條件、充要條件、判定定理、性質定理、定義之間的關系．利用充分、必要條件知識對所學知識進行總結，有利于學生站在更高的視角理解數(shù)學，學習數(shù)學．

４.２ 為解題提供思路，提升學生思維邏輯

１）分析法與充分條件

分析法是數(shù)學證明中常用的方法，其特點是執(zhí)果索因．從充分、必要條件知識來看，這種方法的本質是從結論出發(fā)，然后一步步得到前一個結論成立所具備的充分條件或充要條件，直到歸結為命題的已知條件，或者歸結為定義、定理、公理等．

例１ 設a≥３，求證：

２）參數(shù)范圍問題與充要條件

我們在一些導數(shù)的綜合問題（如求參數(shù)的取值范圍）中，經常采取迂回的策略———必要性探路的方法，得到參數(shù)的范圍，然后再證明充分性成立．

例２ （２０２３年全國甲卷理２３）已知函數(shù)

至此，我們通過三角恒等變形以及不等式放縮，采用必要性探路的方法找到a 所滿足的必要條件a≤３，完成了必要性探路，下面再去證明充分性成立，即當a≤３時，f（x）＜sin２x 成立．

當a≤３時，有

綜上，a 的取值范圍是（－∞，３]．

必要性探路策略能明晰解題路徑，使問題化繁為簡，是對充分、必要條件知識的靈活運用，可以培養(yǎng)學生的轉化與化歸思想，提升學生的邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng)．在許多數(shù)學問題中，確定一個條件是否充分或必要是解決問題的關鍵，學習充分、必要條件知識可以幫助學生更好地理解問題，從而提高問題解決的能力．

４.３ 為大概念獲取提供路徑，促進學生深度學習

北京師范大學的郭華教授說過：“所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程．”因此，利用充分、必要條件的功能可為大概念教學提供支撐．如“垂直”是中學數(shù)學中的一個核心概念，小學階段學生已經有了兩直線垂直的意識，初中的平面幾何已給出判定兩直線垂直的方法，高中數(shù)學也有相關內容，因此教師可以布置任務：如何利用充分、必要條件再次審視“垂直”這一概念呢？學生可以多角度深入思考高中數(shù)學中出現(xiàn)的關于“垂直”的相關知識．

若從向量的角度，當a，b 分別是直線a，b 的方向向量時，直線a⊥b 的充要條件是ab＝０;若從斜率的角度，當直線a，b 的斜率分別為k１，k２ 時，k１k２＝－１是直線a⊥b 的充分條件;在立體幾何中，學生可以歸納出更多的內容，如直線b?α，a⊥b 是a⊥α 的必要條件、{b⊥α，a∥b 是a⊥α 的充分條件等．綜上所述，關于“垂直”可以從向量的角度、斜率的角度和空間的角度來描述，這些方法不僅可以判斷兩條直線是否垂直，也可以為我們更好地提取大概念“垂直”創(chuàng)造條件，從而促進學生深度學習數(shù)學知識．

４.４ 為新命題的發(fā)現(xiàn)提供視角，促進知識自然生長

瑞士心理學家皮亞杰是建構主義理論的代表人物之一，他認為學生通過對概念的理解、應用，可以探索出新的知識，即知識是可以主動構建的．當我們嘗試尋找新的數(shù)學命題或結論時，可以運用充分、必要條件的思維方法，假設我們嘗試發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的某個性質，可以找到充分條件來表達該性質，也可以用必要條件來闡明在什么情況下不滿足該性質．例如，函數(shù)y＝Asin（ωx＋θ）（A ＞０）取得最大值時x 的范圍的充分條件既可以表述為{x|ωx＋θ＝２kπ＋π／２，k∈Z}，也可以是過圖像最高點時x 的取值集合，即從數(shù)與形兩個方面闡述．再如，已知△ABC 的三邊分別是a，b，c，則△ABC 是等邊三角形的充要條件是a２ ＋b２＋c２＝ab＋ac＋bc．這類問題可以為新命題的發(fā)現(xiàn)提供廣闊的視角，幫助學生深入理解數(shù)學概念促進知識的生長，養(yǎng)成從不同的視角探索數(shù)學奧秘的習慣．

?普通高中數(shù)學課程標準（２０１７年版２０２０年修訂）?在實施建議中指出：“樹立以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向的教學意識，將數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學活動的全過程．”數(shù)學教學的核心就是培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，充分、必要條件是推理過程中的常用概念之一，它對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，提高他們的分析和解決問題的能力有著重要意義．因此，從某種程度上可以說，充分、必要條件是揭示邏輯推理的一個思維密碼．

本文系安徽省教育科學研究項目２０２３年度課題“‘教—學—評’一致性下的高中數(shù)學大單元教學的應用研究（課題編號：JK２３１５０）”的階段性成果．

（完）