問“題”哪得清如

２０２４年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷采用全新的試題結(jié)構(gòu)，更加重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的考查．教考銜接需要教師教學(xué)時(shí)扎根教材，用好教材的題目，領(lǐng)會(huì)思想方法，這樣學(xué)生才能厘清高考真題．

教育部教育考試院在２０２４年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷的評(píng)析指出，試卷持續(xù)深化考試內(nèi)容改革，考主干、考能力、考素養(yǎng)，重思維、重創(chuàng)新、重應(yīng)用，突出考查思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力．試卷聚焦主干知識(shí)內(nèi)容和重要原理、方法，著重考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)遵循教育規(guī)律，突出數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)，回歸課標(biāo)，重視教材，重視概念教學(xué)，夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，給學(xué)生預(yù)留思考和深度學(xué)習(xí)的空間．

自新課標(biāo)卷采用全新的試題結(jié)構(gòu)后，考題更加深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，助力“雙減”落地，考題的方向更加重視對(duì)思維的考查，助力人才選拔，考題的來源更加重視教考銜接，引導(dǎo)高中教學(xué)．這就要求教師在教學(xué)時(shí)要扎根教材這源頭“活水”，要深入研究教材，回歸教材，用好教材，講清基本概念、原理的來龍去脈，避免過度依賴教輔、深陷死記硬背和題海訓(xùn)練．考試與教學(xué)的相互銜接，其一，引導(dǎo)教學(xué)立足教材中的概念、公式、定理等重要知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系，提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的深刻理解與靈活應(yīng)用;其二，引導(dǎo)教學(xué)強(qiáng)化通性通法，淡化特殊技巧，才能使學(xué)生從繁雜的問題中洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握一般規(guī)律與方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn);其三，引導(dǎo)教學(xué)立足教材中的典型試題，深挖內(nèi)涵，注重一題多解、一題多變，注重拓展和歸納，開闊學(xué)生分析問題的思路，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，為培育學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．

本文以２０２４年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第１８題為例，淺析高考真題與教材習(xí)題的聯(lián)系，并根據(jù)高考的命題設(shè)計(jì)與方向嘗試對(duì)該題進(jìn)行拓展與歸納．

教材“源題” （新人教版選擇性必修三習(xí)題７.３第６題）有A 和B兩道謎語，張某猜對(duì)A 謎語的概率為０.８，猜對(duì)得獎(jiǎng)金１０元;猜對(duì)B謎語的概率為０.５，猜對(duì)得獎(jiǎng)金２０元．規(guī)則規(guī)定：只有在猜對(duì)第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道．如果猜謎順序由張某選擇，他應(yīng)該選擇先猜哪一道謎語？

分析 本題立足于離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征，通過構(gòu)建兩個(gè)情境方案，讓學(xué)生理解不同選擇順序?qū)Ω怕史植剂泻推谕挠绊?，深化學(xué)生對(duì)分類討論思想的理解．

解 設(shè)先猜A 再猜B、先猜B再猜A 所得獎(jiǎng)金分別為X１，X２，則X１ 的可能取值為０，１０，３０;X２ 的可能取值為０，２０，３０，故

P（X１＝０）＝０.２，

P（X１＝１０）＝０.８×（１－０.５）＝０.４，

P（X１＝３０）＝０.８×０.５＝０.４，

P（X２＝０）＝０.５，

P（X２＝２０）＝０.５×（１－０.８）＝０.１，

P（X２＝３０）＝０.５×０.８＝０.４，

則

E（X１）＝０×０.２＋１０×０.４＋３０×０.４＝１６，

E（X２）＝０×０.５＋２０×０.１＋３０×０.４＝１４，

即E（X２）＜E（X１），則先猜A 謎語再猜B謎語更好．

高考真題 （２０２４年新課標(biāo)Ⅱ卷１８）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃３次，若３次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)椋胺?若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃３次，每次投中得５分，未投中得０分，該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．

（１）若p＝０.４，q＝０.５，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于５分的概率．

（２）假設(shè)０＜p＜q．

（?。槭沟眉?、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)椋保捣值母怕首畲螅瑧?yīng)該由誰參加第一階段的比賽？

（ⅱ）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段的比賽？

分析 高考真題基于課本教材“源題”改編，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生自主探究適當(dāng)方案．真題與“源題”的情境均可劃分為兩個(gè)階段，第二階段只有在第一階段完成的基礎(chǔ)才能進(jìn)行．真題對(duì)“源題”進(jìn)行了兩點(diǎn)改編：一是增加了每一階段的參與次數(shù)，增加了計(jì)算難度;二是第（２）問將成功概率從具體數(shù)值轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笞址黾恿怂季S難度，更加重視對(duì)學(xué)生能力的考查．雖然難度有所增加，但解題的方法是類似的，都是分類討論兩種情況的對(duì)應(yīng)概率和數(shù)學(xué)期望．

解 （１）設(shè)三次投籃中甲第i 次投中為事件Ai（i＝１，２，３），乙第i 次投中為事件Bi（i＝１，２，３），甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于５分為事件C，因?yàn)楦鞔瓮吨信c否相互獨(dú)立，則

投中與否相互獨(dú)立，則P（C）＝（１－P（A１A２A３））（１－P（B１B２B３））＝[１－（１－０.４）３][１－（１－０.５）３]＝０.６８６．

（２）（?。┰O(shè)甲、乙參加第一階段比賽后所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)椋保捣址謩e為事件D１，D２．

若甲參加第一階段比賽，則

P（D１）＝[１－ （１－p）３]q３． ①

若乙參加第一階段比賽，則

P（D２）＝[１－ （１－q）３]p３． ②

由①－②得

P（D１）－P（D２）＝３pq（q－p）（q＋p－qp）．

因?yàn)椋埃紁＜q＜１，所以q－p ＞０，q＋p －qp ＝q（１－p）＋p ＞０，則P （D１ ）－P （D２ ）＞０，即P（D１）＞P（D２），故應(yīng)該由甲參加第一階段的比賽．

（ⅱ）設(shè)甲、乙參加第一階段比賽后所在隊(duì)的比賽成績(jī)的分?jǐn)?shù)分別為X１，X２，則X１，X２ 的可能取值都為０，５，１０，１５，則

P（X１＝０）＝（１－p）３＋[１－（１－p）３]（１－q）３，

P（X１＝５）＝[１－（１－p）３]C１３q（１－q）２，

P（X１＝１０）＝[１－（１－p）３]C２３（１－q）q２，

P（X１＝１５）＝[１－（１－p）３]C３３q３，

E（X１）＝１５pq（３－３p＋p２）．

同理，E （X２）＝１５pq （３－３q ＋q２）．又E （X１）－E（X２）＝１５pq（q－p）（３－p－q）＞０，即應(yīng)由甲參加第一段比賽．

基于教材“源題”的思想方法和高考真題的情境創(chuàng)設(shè)，下文將對(duì)高考真題進(jìn)行拓展延伸，改編思路有兩個(gè)：一是真題主要討論成功概率的大小關(guān)系對(duì)所求事件的影響，因此可進(jìn)一步挖掘分?jǐn)?shù)對(duì)所求事件的影響;二是真題和“源題”主要討論不同選擇方案的差異性，因此可反向變式，討論選擇不同方案對(duì)事件結(jié)果的期望有沒有影響．

變式拓展 某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃３次，若３次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)椋胺?若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃３次，每次投中得５分，未投中得０分．若３次全部投中，則額外獎(jiǎng)勵(lì)a 分，該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．假設(shè)０＜p＜q，為使甲、乙所在隊(duì)比賽成績(jī)的期望與甲、乙出場(chǎng)順序無關(guān)，額外獎(jiǎng)勵(lì)的a 分應(yīng)該怎么設(shè)計(jì)合適（a 的結(jié)果用p，q 表示）？

解 設(shè)甲、乙參加第一階段比賽后所在隊(duì)的比賽成績(jī)的分?jǐn)?shù)分別為X１，X２，則X１，X２ 的可能取值都為０，５，１０，１５＋a，則

P（X１＝０）＝（１－p）３＋[１－（１－p）３]（１－q）３，

P（X１＝５）＝[１－（１－p）３]C１３q（１－q）２，

P（X１＝１０）＝[１－（１－p）３]C２３（１－q）q２，

P（X１＝１５＋a）＝[１－（１－p）３]C３３q３，

E（X１）＝pq（３－３p＋p２）（１５＋aq２）．

同理，E （X２）＝pq （３－３q ＋q２）（１５＋ap２）．要使E（X１）＝E（X２），只需（３－３p＋p２）（１５＋aq２）＝（３－３q＋q２）（１５＋ap２），則a＝５（p＋q－３）／q＋p－pq ．

高考充分發(fā)揮教育評(píng)價(jià)的積極導(dǎo)向作用，與高中教育教學(xué)同向共行、同頻共振，逐步形成“招考教學(xué)”良性互動(dòng)、有機(jī)結(jié)合的一體化育人格局，引導(dǎo)教學(xué)回歸課程標(biāo)準(zhǔn)，回歸課堂主渠道．高中數(shù)學(xué)教材是體現(xiàn)和落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)基本理念和目標(biāo)要求的科學(xué)范本，是高考數(shù)學(xué)命題的重要參考．教學(xué)的依據(jù)是課程標(biāo)準(zhǔn)和教材．高考備考也必須回歸課程標(biāo)準(zhǔn)和教材．只有回歸教材，研讀教材，理解教材例題、練習(xí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，才能以不變應(yīng)萬變，厘清題目，舉一反三，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng)．

（完）