直觀蘊涵本質(zhì) 關(guān)聯(lián)完善建構(gòu)

那文君

1 試題呈現(xiàn)

（2022年南京中考·27）在平面內(nèi)，先將一個多邊形以自身的一個頂點為位似中心放大和縮小，再將所得多邊形沿過該點的直線翻折，我們稱這種變化為自位似軸對稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對稱．例如

（1）如圖1，先將△ABC以點A為位似中心縮小，得到△ADE，再將△ADE沿過點A的直線l翻折，得到△AFG，則△ABC與△AFG成自位似軸對稱．

（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC

（3）如圖3，已知△ABC經(jīng)過自位似軸對稱變化得到△ADE，Q是DE上一點，用直尺和圓規(guī)作點P，使P和Q是該變化前后的對應(yīng)點（保留作圖痕跡，寫出必要文字說明）．

（4）如圖4，D為BC中點，∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠C，求證DE//AC．

本題是2022年南京中考壓軸題，它是一道即學(xué)型試題，涉及圖形的軸對稱、相似變換等知識，考查學(xué)生對圖形變化的感知、理解和應(yīng)用，突出對學(xué)生空間觀念、幾何直觀、推理能力、模型觀念等的考查，對初中階段的幾何教學(xué)和核心素養(yǎng)培育起到重要的引領(lǐng)作用．

2 特色解讀

2.1 立足教材，凸顯知識生長

教材作為數(shù)學(xué)知識的載體，是課標精神的體現(xiàn)．命題者基于教材中圖形變化知識點：位似和翻折，進行了整合與創(chuàng)新，尋找到知識的生長點和延伸點，形成了“即學(xué)型”題型．此題綜合考查了學(xué)生的基本知識和技能的運用能力，數(shù)學(xué)方法和思想的縱橫溝通與聯(lián)系能力，引導(dǎo)學(xué)生體會知識發(fā)生，發(fā)展和應(yīng)用的過程，感受知識的整體性，也提醒師生重視模型意識，挖掘其潛在的研究價值．

2.2 注重探究，考查幾何直觀

本試題是全卷的壓軸題，承載著區(qū)分和選拔的功能，因此，試題在綜合考查“圖形與幾何”模塊的核心基礎(chǔ)知識的同時，突出考查了學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學(xué)思維能力．如本題的第1問，雖然是基礎(chǔ)題，但也需要學(xué)生具備一定的幾何直觀和邏輯思維能力，能從新定義的概念中挖掘隱藏的性質(zhì)．從學(xué)生的答題來看，均分不高，也充分暴露了學(xué)生在這方面能力的薄弱．

2.3 回歸本源，體現(xiàn)數(shù)學(xué)能力

“解法開放”是此壓軸題最后一問的特色．即試題回歸到數(shù)學(xué)本源，注重通性通法．圓內(nèi)問題“如圖5，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，M是BC邊的中點，點N在對角線BD上，且滿足∠BAN=∠CAM．求證：MN//AC”與此壓軸題類似，但是壓軸題的圖形顯然更加簡潔大方，并且設(shè)置了思維的階梯，層層遞進，同時舍去了圓的大背景，使得學(xué)生的思考方向更加的廣泛，凸顯出本題對于圖形變化能力的考查．從學(xué)生的做法來看，可謂五彩繽紛，賞心悅目．

3 解法賞析

本題（1）（2）兩問比較基礎(chǔ)，不做探究．下面主要對于第（3）問，剖析符合學(xué)生認知規(guī)律的自然解法．

視角1 借助幾何直觀，利用中位線突破

仔細觀察題目中的已知條件“中點D”，結(jié)合圖形，是否有隱藏的信息？需要證明是過中點D的線段與另外一條線段平行，根據(jù)平時幾何學(xué)習(xí)中所積累的解題經(jīng)驗，可以自然的想到通過中位線構(gòu)造圖形并證明．

證法1 如圖6，延長BE交AC于點F，由題意易證ΔABE∽ACDΔ，所以AB/AC=BE/CD．

易證ΔABF∽ACBΔ，所以AB/BC=BF/CB，BF/CB=BE/CE，即CD/CB=BE/BF．

因為D為BC中點，所以BE/BF=1/2，即E為BF中點，所以DE為中位線，故DE//AC．

分析 證法1，2自然、簡潔，圖形的構(gòu)造相對直接，只需延長BE，就能構(gòu)造出含有中位線DE的三角形，通過圖形相似，找到邊的比例關(guān)系，最后利用BD=CD轉(zhuǎn)化比例，證出E為BF中點即可．過程中蘊含轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，可以體現(xiàn)學(xué)生的圖形變換能力．證法3是由倍長中線出發(fā)，是常用的中點構(gòu)圖方法，但是該證法對學(xué)生比例轉(zhuǎn)化的能力要求較高．很多學(xué)生倍長中線后，無法繼續(xù)關(guān)聯(lián)模型，無法構(gòu)造出含有DE的中位線，導(dǎo)致做法停滯．證法4是同一法的典型案例，難點體現(xiàn)在①：學(xué)生不敢去作AB的中點F，而是選擇延長DE交于F，后面會因為條件不夠而無法說理得證；②：作中點F后，默認DEF，，三點共線，最后導(dǎo)致說理不清．可見此方法對學(xué)生的邏輯推理能力要求較高，只有很少學(xué)生說理完整清楚，這其實也反映了教師在對于“同一法”的教學(xué)中是選擇避而不談的．

視角2 把握問題關(guān)聯(lián)，運用軸對稱突破

本題是即學(xué)型題型，一般以思維遞進形式設(shè)計，使用的模型和方法往往一脈相承．所以想一想前面的問題關(guān)聯(lián)，利用軸對稱來構(gòu)造圖形，尋找解題的突破口．

分析 本題的立意是位似和翻折整合，形成即學(xué)型題目，學(xué)生在解決最后一問的過程中需要關(guān)聯(lián)思考前兩問的意義和作用，想象圖中是否有三角形可以通過位似翻折，繼而想到證法5，通過翻折，去思考有沒有相似圖形出現(xiàn)，如果可以發(fā)現(xiàn)新三角形相似，那么推導(dǎo)證明角相等就水到渠成了．在證法5的啟發(fā)下，證法6自然生成．此方法的難點在于不易察覺到CGBG⊥，學(xué)生陷入倒角證明角相等的循環(huán)中不可自拔，最后草草收場．證法7是在自相似軸對稱的引導(dǎo)下形成A字形相似，再翻折，就會找到ABFΔ≌AGHΔ∽ΔABC，利用比例關(guān)系推導(dǎo)出E點為中點，此方法對于構(gòu)圖和識圖能力要求較高，學(xué)生容易誤認為GH過E點，從而做出錯誤解答．

視角3 借助模型意識，“一線三等角”突破

“同位角或內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，即“若∠ECB=∠C=∠ABE，則得證”，而這三個角頂點在一條線上，自然聯(lián)想到“一線三等角”模型，但是這三個角位置還需要調(diào)整，如此產(chǎn)生出以下的解題方法，甚是巧妙．

分析 證法8是比較簡潔的作法，是思維含量比較高的一種方法，“多思少算”體現(xiàn)得淋漓盡致．此方法要求學(xué)生必須對幾何證明中的“分析法”了然于心，只有通過分析法推導(dǎo)才能發(fā)現(xiàn)隱藏的模型，并且還要通過圖形的變化才能真正地形成“一線三等角”模型，突出考查了學(xué)生層層突破的能力和分析探究的素養(yǎng)以及尋找問題本源的能力．只有在平時教學(xué)過程中真正讓學(xué)生體會“要證”“即證”“得證”的思維過程，才能讓學(xué)生真正做到“對癥”施策．

4 教學(xué)啟示

4.1 深挖題目本質(zhì)，開發(fā)優(yōu)質(zhì)素材

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》（2022年版）指出：“廣大教育工作者要勤勉認真、行而不輟，不斷創(chuàng)新實踐，把育人藍圖變?yōu)楝F(xiàn)實．”對經(jīng)典題目進行創(chuàng)新研究，科學(xué)改編開發(fā)新穎題目，再作為教學(xué)素材探究學(xué)習(xí)，能夠反復(fù)地錘煉相關(guān)知識，不斷地認識問題本質(zhì)，螺旋式提升思維水平．題目原型圖形較為復(fù)雜，本題從“簡化圖形、提升思維、發(fā)展素養(yǎng)”的視角去創(chuàng)新，重視基礎(chǔ)考查，創(chuàng)設(shè)情景引入，改掉大背景，隱掉一些關(guān)鍵的線段，相信讀者會驚嘆它設(shè)計之巧妙．因此，教師在平時備課時，要深挖問題內(nèi)涵本質(zhì)，理清整體來龍去脈，不斷進行新問題、新思想和新方法的探索，試圖開發(fā)具有前瞻功能和推廣價值的優(yōu)質(zhì)教學(xué)素材，以精干的研究品質(zhì)帶動學(xué)生發(fā)揚進取精神，以創(chuàng)新的思維理念引領(lǐng)學(xué)生進行創(chuàng)新實踐．

4.2 開放課堂探究，助力圖形教學(xué)

章建躍博士說：“對于‘距離近的知識，如推論、有直接類比對象等知識的教學(xué)，教師可以不干預(yù)或少干預(yù)，讓學(xué)生獨立自學(xué)、自主探究．”探究式教學(xué)是發(fā)展學(xué)生思維的重要教學(xué)方式，教師出示問題后給足學(xué)生時間，鼓勵學(xué)生自主思考和表達，教師適時點撥而不過多干預(yù)．本題的證法1到證法9都是常見的自然解法，若在解題教學(xué)課上讓學(xué)生去逐步展示出來、讓小組去深度交流起來，學(xué)生的思維就會自然生長．過度靈巧的方法，學(xué)生思維難以觸及，教師也無需過度展示、強行灌輸．小巧一題一法，不應(yīng)提倡，大巧法無定法，確實太難，出路在于中巧，這里的中巧指的就是有章可循的通性通法．教師在日常教學(xué)中，要本著“一切為了發(fā)展學(xué)生思維”的教學(xué)理念，摒棄“滿堂灌”的陳舊模式，維持探究教學(xué)的良好常態(tài)，筑牢思維生長的根本之基，讓課堂成為學(xué)生思維成長的加油站，使課堂成為學(xué)生能力提升的助推器．

4.3 引導(dǎo)關(guān)聯(lián)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)能力

數(shù)學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》中指出：“從你獲得的那個幸運念頭開始，并補充一些可能需要的次要細節(jié)，盡可能詳細進行你想起的以前可行的所有代數(shù)或幾何運算．”對問題進行關(guān)聯(lián)思考是破解問題的必由之路，是發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要方式．在本題的解答中，學(xué)生對“中點”“相似”等條件進行正向思考，對“平行”結(jié)論進行逆向思考，想到與之關(guān)聯(lián)的中位線、軸對稱、等腰三角形等知識，然后補全其中的證明步驟，搭建起連接條件和結(jié)論的橋梁，問題就能迎刃而解，能力也就潛移默化地提升了．即學(xué)型題目，關(guān)聯(lián)性還體現(xiàn)在問與問之間，問題一般以思維遞進形式設(shè)計，使用的模型和方法往往一脈相承，想一想前面的問題間關(guān)聯(lián)，也是尋找突破口的自然思維．因此教師在平時的教學(xué)，要讓學(xué)生去深度關(guān)聯(lián)思考，然后及時進行方法總結(jié)，將碎片化的知識整合起來，形成相對完整的知識體系，植根于思維的深處，后續(xù)解決此類問題，便可快速調(diào)用知識體系中的內(nèi)容，有條有理地進行思考，科學(xué)高效地解決問題．