APOS理論在初中數學概念教學中的實踐研究

［摘? 要］ APOS理論是從“操作、過程、對象、圖式”四個階段討論數學學習的心理結構與心理機制. 研究者從APOS理論的本質與功能定位、概念教學中的優(yōu)勢、實施原則出發(fā)，以“變量與函數”的概念教學為例展開實踐與思考.

［關鍵詞］ APOS理論；概念；函數

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（簡稱新課標）強調數學教學要重視數學概念的心理建構，關注學生在學習過程中的思維活動情況，這對培養(yǎng)與發(fā)展數學核心素養(yǎng)具有重要意義. APOS理論是由美國學者杜賓斯基等人提出的與概念學習相關的一種理論，該理論著重強調概念教學過程中對學生的心理建構，這與新課標提出的理念有著驚人的相似之處.

APOS理論的本質與功能定位

APOS理論從本質上來說就是從“操作、過程、對象、圖式”四個方面討論數學學習的心理結構與心理機制. 而在實際應用時，仍有不少教師對“心理結構”與“心理機制”的區(qū)分不夠明確. 具體來說，心理結構屬于一種靜態(tài)的狀態(tài)，而心理機制則屬于動態(tài)的過程，心理機制可以讓一個人從這種心理結構轉換成另一種心理結構.

與之相應，“心理結構”與“心理機制”促使我們從兩個方面對APOS理論進行定位. 第一點，該理論具備診斷功能，它可對個體對數學概念的理解程度與思維發(fā)展情況進行調查. 在此過程中，APOS理論為診斷學習是否構成心理結構服務，其診斷結論為教學評價與反思的依據；第二點，該理論具有解釋功能，它能從心理機制的角度解釋學習者對知識的建構情況，在此過程中，APOS理論對教學具有指導意義，是進一步研究的依據.

APOS理論于概念教學的優(yōu)勢

概念是數學的基礎，隨著新課改的推進，對概念教學的要求越來越高，與概念教學相關的理論也應運而生. APOS由操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）四階段的英文首字母組成，該理論認為個體在數學學習過程中經過思維操作、過程與對象等階段之后，學習者可在建構與反思的基礎上將所學內容組成圖式，因而厘清問題的本質并解決問題.

在建構主義理論的基礎上，引導學生自主感知概念與背景之間的聯(lián)系更利于概念的抽象，這對提升學生對概念的記憶、理解與應用具有重要價值與意義. 因此，APOS理論對提升初中數學概念教學的成效具有顯著優(yōu)勢.

APOS理論在概念教學中的實施原則

1. 靈活性原則

APOS理論所具備的操作、過程、對象與圖式四個階段并非為單一的線性關系，它與教學內容特點、學生的認知水平、智力發(fā)展情況、學習經驗與能力等有著重要關聯(lián). 靈活調控各個環(huán)節(jié)，不僅能有效提高教學效率，對發(fā)展學力也有重要意義. 如將某個環(huán)節(jié)實施兩次或刪減均可取，也可以根據教學實際情況從對象階段返回到活動階段. 鑒于初中階段學生存在較大的差異性，教師在教學時，需酌情分析，靈活擇取恰當的階段提高教學成效.

2. 主體性原則

不論是APOS理論還是新課標的要求，都強調學生在課堂中的主體地位. APOS理論強調學生是知識的建構者，所有的外界活動都是促使學生思維結構發(fā)展的基礎. 鑒于此，在教學時，教師應關注教學環(huán)節(jié)的設計，想方設法引導學生主動參與活動過程，并通過自主探索獲得相應的感悟，以從真正意義上體現學生為課堂的主人.

3. 探究性原則

APOS理論本身就具有探究性特征，其探究主要包含新知的探索與教學過程的探究. 教師可在教學伊始結合學生的實際認知水平與學習經驗創(chuàng)設具有探究性的情境，以激發(fā)學生的探索欲，促使學生親歷概念抽象過程，獲得良好的學習體驗，以促進知識的融會貫通.

APOS理論在概念教學中的應用

以“變量與函數”的概念教學為例，教學前，筆者結合學情與教情初步設計了如圖1所示的教學流程.

1. 活動階段——情境激趣

情境1“孫權勸學”的故事大家都很熟悉，武夫呂蒙經過孫權勸學成了一位儒將，引發(fā)了魯肅的感慨. 由此可見，世間萬物在不斷發(fā)生變化，如我們身邊的環(huán)境也隨著時間的推移而發(fā)生了改變，請大家說說從幼兒園到小學再到初中，你們身邊有哪些地方發(fā)生了變化.

情境2如圖2，此為某地一天的氣溫變化圖，觀察此圖后思考如下幾個問題. ①這一天的4，12，14，20時的氣溫分別是多少？②上一個問題中存在幾個變量？③某個確定時刻的氣溫確定嗎？④對應每一個時刻的氣溫存在幾個值？

情境3一輛汽車緊急剎車后在平整的路面上將繼續(xù)向前滑行S m，可用公式S=表示，其中V（單位：km/h）表示在剎車之前汽車行駛的速度.

問題：①V值分別為50，60，100時，S值分別是多少？此問中含有幾個變量？

②若V是確定的，那么S值確定嗎？

③對應每一個速度V，滑行距離S有幾個值？

情境4已知某電影的票價為40元/張，某影院首映當天的第一場售出150張票，第二場售出205張票. 要求學生討論如下幾個問題：①這兩場票房收入是多少？計算時存在幾個變量？②售票數量是確定的情況下，票房收入確定嗎？③對于給定的每個售票量，與票房收入相對應的有幾個值？

設計意圖情境1主要引導學生感知生活中存在變量，后面幾個情境意在引導學生從明確的生活事例中觀察、思考，為自主抽象函數的概念奠定基礎，讓學生在思考與分析問題的過程中建構模型，發(fā)展數學抽象素養(yǎng)以及數學思維能力.

2. 過程階段——探究概念

探究1要求學生以小組為單位分析如下幾個問題，并將結論記錄在導學案上，各組派一名代表進行展示.

問題：①情境2、情境3、情境4存在什么共同點？②每兩個變量能否確定為函數關系？③有哪幾種表示函數的方法？④每個情境的自變量取值范圍是多少？⑤分析函數與函數值之間的關系.

各組派一名代表依次回答以上五個問題：

生1：情境2、情境3、情境4均存在兩個變量，它們的共同點在于確定一個變量后，另一個變量隨之固定.

生2：鑒于這些情境中的變量具有“一一對應”的關系，所以均為函數關系.

生3：表達方法有關系式法與圖象法.

生4：情境2中的自變量的取值范圍為0到24，后面兩個情境中的自變量的取值范圍均為0到正無窮.

生5：函數屬于一個量隨另一個量變化而發(fā)生改變的變量關系式，函數值屬于函數的一個部分，它是一個確定的數值.

師：很好！有沒有補充的？

生6：函數的表達方法還有表格法.

師：不錯，考慮得比較周全. 根據以上分析，請大家自主總結函數的概念、表達方法、自變量的取值范圍，以及函數與函數值的概念.

設計意圖過程階段的五個問題是基于情境提出的，學生在問題的啟發(fā)下初步建立函數相關概念，并通過不同情境間的聯(lián)系感知函數“唯一對應”的本質，學生在合作交流中通過觀察、思考與分析，不僅自主抽象出了相應的概念，還進一步發(fā)展了數學抽象能力.

3. 對象階段——辨析概念

例1判斷下列各式中的變量y是否為x的函數：①y=3x；②y=x2；③y=x.

例2判斷圖2中各圖象中的變量y是否為x的函數.

探究2以同桌為單位，由一名學生列舉變量為函數關系的例子，同桌判斷例子的準確性，并明確指出例子中的自變量與函數，若確定不是函數關系，則需說明理由. 兩人交換舉例分析. （隨機抽取幾組同桌展示過程）

設計意圖此為對象階段，教師將課堂的主動權交給學生，鼓勵學生結合自身的生活經驗與認知水平舉例，讓學生通過互助的方式深化對函數概念的理解，從而更深層次掌握函數的內涵與外延，增強應用意識，提高思辨能力.

4. 圖式階段——應用總結

例3小明從家出發(fā)，走了20分鐘到達了離家800米的公園，在公園散步10分鐘之后用了30分鐘原路返回家，小明與家的距離S與離開家的時間t之間的函數關系圖象大致為（? ? ?）

變式1小麗家、小剛家、學校位于同一條直路上，小麗從自己家出發(fā)到小剛家結伴一起去學校，而后再一起返回小麗家的過程見圖3，也就是小麗與自己家的距離y和所耗費的時間x之間的關系. 結合圖象，判斷下列說法正確的是（? ?）

A. 小麗花費了25分鐘等小剛

B. 兩人結伴去學?；?0分鐘

C. 小剛家與學校的距離為0.8千米

D. 小麗從學?；丶业乃俣葹?.8千米/分

變式2龜兔賽跑時，兔子開始跑得快，但在中途睡了一覺，被烏龜反超，最后烏龜獲得了勝利. 下列圖象哪個能體現出“龜兔賽跑”的過程？（? ?）

變式3下列曲線（? ?）代表了y為x的函數.

當學生順利解決完以上問題與變式后，師生開始了交流：

師：通過本節(jié)課的學習，請大家說說你們的收獲.

生7：本節(jié)課的學習讓我明確了一個量是否為變量，并結合情境與實例理解了函數的概念以及兩個變量間“一一對應”的關系.

師：非常好！現在請大家結合導學案與本節(jié)課所探索的內容，以小組為單位畫出知識結構圖.

（學生自主畫圖，教師擇取學生的作品并投影展示，如圖4）

設計意圖圖式階段的主要作用在于整合所學知識，完善知識結構. 因此，基于例題與變式探索，引導學生自主總結歸納，通過對知識結構圖的繪制進一步梳理本節(jié)課所學內容，這種教學方式可進一步發(fā)展學生的整合能力與創(chuàng)新意識.

教學思考

1. 活動階段應注重情境創(chuàng)設

踐行APOS理論的初始環(huán)節(jié)，關鍵在于吸引學生的注意力，激活學生的探索欲. 對于活動情境的創(chuàng)設，可從學生的生活背景與認知經驗出發(fā)，通過恰當的情境引起學生的探索欲. 同時要關注情境與教學內容的關聯(lián)度，避免為了完成任務而創(chuàng)設情境. 本節(jié)課的四個情境是在充分了解學情的基礎上創(chuàng)設的，有效點燃了課堂氣氛，激活了學生的探索欲，為教學奠定了基礎.

2. 過程階段可適當加深難度

過程階段是教學的核心，以促使學生自主抽象概念為目標. 因此，教師的關鍵任務在于深化活動內容，幫助學生抽象并理解概念，讓不同層次認知水平的學生都能通過恰當的活動體驗概念的形成過程. 同時，適當增加問題的深度還能更好地激發(fā)學生的潛能，提升學生的抽象素養(yǎng).

3. 對象階段需對應概念內涵

此階段關鍵在于提升學生對概念內涵與外延的理解，需引導學生從全方位細化對概念的認識. 為了有效提升學生在此過程中的思維能力，教師可在該環(huán)節(jié)選擇恰當的方法幫助學生鞏固對概念的認識，這對提升學生的數學推理能力具有無可替代的作用.

4. 圖式階段需注重完善結構

踐行APOS理論的最后一個階段，關鍵在于提升學生的應用與整合能力. 因此，教師可鼓勵學生以分組合作的方式對一節(jié)課的教學內容、研究方法、數學思想等進行總結歸納. 當然，對不同認知水平的學生可允許用不同的方式進行總結，這也是提升學生創(chuàng)新能力的基礎.

總之，APOS理論應用在概念教學中可從真正意義上優(yōu)化教學操作策略，但在踐行該理念時需結合具體情況進行，而非固定不變的模式. 從該理論的四個階段來看，這是一種不斷完善學生認知結構的理念，對發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)具有重要意義.

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃重點課題“新課標背景下APOS理論在初中數學概念教學中的實踐研究”（B/2022/03/252）. 作者簡介：劉勤鳳（1984—），碩士研究生，中小學高級教師，從事初中數學教育教學工作.