平拋運動的兩種題型

孫守媛

摘?要：平拋運動是生活中常見的拋體運動，也是考試中?？嫉目键c.處理平拋運動的方法主要是正交分解，一般都是水平和豎直方向上的分解，但如果是在斜面上的拋體，可以選擇沿斜面和垂直斜面方向上的分解.文章先研究平拋運動，并給出研究平拋運動的處理方法，最后給出其應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：平拋運動；正交分解；水平方向；豎直方向；斜面

中圖分類號：G632???文獻標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0117-03

平拋是常見的拋體運動，在不考慮阻尼的情況下，它有簡單的物理規(guī)律和結(jié)論.在有限的區(qū)域內(nèi)，重力加速度可以視為不變，不必考慮距離變化帶來的加速度變化，而且由于它是在有限區(qū)域發(fā)生的拋體運動，可將地面處理為平面.平拋運動按解題方法可分為兩種題型，一種是水平和豎直方向上的分解，另一種是沿斜面和垂直斜面方向上的分解.

1 題型一：水平和豎直方向上的分解

運動是具有相對獨立性的，即在正交坐標(biāo)系中，y方向的受力不影響x方向的運動，反之亦然.所以我們往往把平拋運動按照水平和豎直兩個方向分解.

如圖1所示，可以寫出水平和豎直方向的速度分別為vx=v0，vy=gt，則根據(jù)速度矢量三角形的特征，角度θ滿足

tanθ=vyvx=gv0t

寫出位移的兩個分量，分別為x=v0t，y=12gt2.則其特征角度滿足

tanα=yx=g2v0t圖1?水平和豎直方向上的分解

注：（1）tanθ=2tanα，說明v的反向延長線必然平分水平位移x，這在勻強電場的類平拋運動中應(yīng)用很多，這里不做展開.

（2）消去變量t，可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為y（x）=g2v20x2，我們把此方程叫作物體的軌跡方程，它是一條拋物線.

例1[1]?（2012年北約考試第11題）小球從臺階上以一定的初速度水平拋出，恰好落到第1級臺階的邊緣，反彈后再次落下，經(jīng)過t=0.3 s恰好落到第3級臺階的邊緣，已知每級臺階的寬度和高度均為L=18 cm，且小球反彈時水平速度不變，豎直速度反向，大小變?yōu)樵瓉淼?4.求：

（1）小球拋出時的高度h0和距離第1級臺階邊緣的水平距離x0；

（2）小球是否會落到第5級臺階上？ 請說明理由.

解析?（1） 如圖2所示，設(shè)小球平拋的初速度為v0，它平拋到第1級邊緣（記為A點） 的速度分量分別為vx和vy，由題意可知碰撞后的速度分量為vx和vy′=14vy.

小球從A到第3級臺階邊緣（記為B點）的過程中，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做豎直上拋運動.因此在水平方向上：2L=vxt，可得vx=2Lt=1.2 m/s；豎直方向上：-2L=vy′t-12gt2，可得vy′=0.3 m/s.

所以小球落到A點時速度分量為

vx=1.2 m/s，vy=4vy′=1.2 m/s

假設(shè)小球從起拋點到A點的過程中，所用時間為t1，則在豎直方向上：

t1=vyg=0.12 s，h0=12gt21=0.072 m.

在水平方向上：

x0=vxt1=0.144 m.

（2）如圖3所示，小球碰到B點的豎直速度vBy滿足

vBy=v′2y+2·g·2L=2.7 m/s

彈后的豎直速度為

vBy′=14vBy=2.74 m/s

假設(shè)它落到第5級臺階所在的水平面的時間為t2，由豎直方向的位移公式得：

-2L=vBy′t2-12gt22

由此解得t2=0.34 s.也就是說， 水平位移為

x2=vxt2>2L.

所以不會落在第5級臺階上.

例2?如圖4所示，兩個孩子爬上高為H的屋頂嘗試水平扔出皮球，甲扔出皮球的軌跡是a， 落點為B；乙扔出皮球的軌跡是b，皮球與地面上A點發(fā)生完全彈性碰撞后又彈起最后也落在B點.結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們剛好都經(jīng)過某個豎直擋板的頂點，試求此擋板的高度h.

解析

假設(shè)甲、乙兩次平拋的初速度分別為v1和v2，兩次從O到B用時分別為t1和t2.則t2=3t1.由于它們水平位移相同，故有v1=3v2.

假設(shè)a從拋出到到達擋板頂端用時為t1′，由幾何關(guān)系得：

v1t′1-v2·13t2=v213t2-v2t′1

聯(lián)立解得t′1=12t1.

而H=12gt21，H-h=12gt′12

聯(lián)立可得h=34H.

例3?如圖5所示，一個小球以初速度為v0=

5 m/s從高為H=5 m的墻的上端水平射出， 在距離墻壁為d處有一長為l=4 m的豎直擋板與墻面平行，擋板的下端距離地面高度為h=1 m，距離O點右端s=1 m處有一個小坑A.假定小球與墻壁和擋板的碰撞都是完全彈性的，現(xiàn)在左右移動擋板設(shè)法調(diào)整d的大小，可以使小球恰好落到坑中，試求d的大小.

解析?首先根據(jù)鏡像原理將小球在墻和板之間的軌跡拓展成如圖6所示的完整拋物線.假設(shè)小球落地之前一共發(fā)生了N次碰撞，有兩種可能：小球最后一次可能是撞墻后落到A點，也有可能是撞到擋板后落到A點.但不管如何，小球在空中運動的總時間總是t=2Hg=1 s， 它在水平方向的總路程是L=v0t=5 m.分兩種情況來分析.

（1）如果小球最后一次是與墻發(fā)生碰撞后落到A點，則N必然為偶數(shù)，則有L-Nd=s，所以d=4N.

因為擋板的下部是空的，所以

12g（N-1）dv02≤l≤12g（N+1）dv02

也就是要求4N>20N+1，因此求得的結(jié)果是

N<420-4≈8.48

故N可以取得2，4，6，8， 即d有多解，它們分別是2 m，1 m，23 m，12 m.

（2）如果小球最后一次是與擋板發(fā)生碰撞后落到A點，則N必然為奇數(shù)，則有

L-Nd=d-s

所以d=6N+1.

因為擋板的下部是空的，所以

12gNdv02≤l≤12g（N+2）dv02

也就是要求6N+1>20N，因此求得的結(jié)果是

N≤206-20≈2.92

所以N只能取得1，即d有單解，是3 m.

綜上所述，d的取值可能是3 m，2 m，1 m，23m，12m.

2 題型二：沿斜面和垂直斜面方向上的分解

如果平拋運動發(fā)生在斜面，那么沿水平、豎直方向分解，會比較麻煩，這時可以考慮沿斜面和垂直斜面方向上的分解，詳細分析過程請參考例4.

例4?如圖7所示，足夠長的斜面傾角為θ，從某處以速度v0水平拋出一個小球，它最終會落到斜面上.現(xiàn)在請計算小球與斜面相距最遠的距離H.

解析?如圖8所示，沿斜面方向和垂直斜面方向建立直角坐標(biāo)系，將v0分解為v0x=v0cosθ，v0y=v0sinθ.

將g分解為gx=gsinθ，gy=gcosθ

所以小球在x方向做勻加速直線運動，在y方向做勻減速直線運動.

t時刻，y方向的速度為

vy=v0y-gyt=v0sinθ-gcosθ·t

y方向的位移為

y=v0yt-12gyt2=v0sinθ·t-12gcosθ·t2

圖8中A點的運動學(xué)特點是vy=0，所以可求得時間為t=v0gtanθ，將其代人y方向的位移公式，可得H=v20sin2θ2gcosθ.

3 結(jié)束語

平拋運動是個重要的物理模型，作為一線教師，要重視對物理模型的分析，同時要學(xué)會利用正交分解來解決平拋運動問題.根據(jù)不同的題型選擇恰當(dāng)?shù)恼环纸夥绞绞墙鉀Q平拋運動的關(guān)鍵.

參考文獻：［1］

郭保忠，王春旺.“運動和力”自主招生典型題目剖析[J].物理教師，2013，34（12）：59-60.

［責(zé)任編輯：李?璟］