橢圓的共軛半徑、共軛三角形和共軛圓及其性質(zhì)

唐宜鐘

摘?要：文章定義了橢圓的共軛半徑、共軛三角形和共軛圓，并利用橢圓的性質(zhì)、向量、基本不等式、函數(shù)等方法，對相關(guān)坐標、面積、弦長平方和圓的半徑等定值，相關(guān)曲線的軌跡及弦長、夾角的范圍（最值）問題進行了證明.

關(guān)鍵詞：橢圓；共軛半徑；共軛三角形；共軛圓

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0052-05

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》中提到對圓錐曲線“重點提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”.其中，橢圓中的弦作為圓錐曲線的重要載體，可以從坐標、夾角、斜率、弦長、面積、最值等多個角度對學(xué)生知識進行考查，能進一步加深學(xué)生對圓錐曲線定義的理解，訓(xùn)練學(xué)生解析幾何的解答流程和思維習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力.在此，我們經(jīng)常遇到一類兩條弦斜率積為-b2a2的有關(guān)問題，現(xiàn)就相關(guān)線段、三角形和圓及其性質(zhì)進行探討.

1 相關(guān)定義

定義1?橢圓上任意一點與橢圓中心的連線叫作橢圓的半徑.

定義2?①若橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）兩條半徑的斜率之積為-b2a2，則稱它們?yōu)闄E圓的一對共軛半徑；②當(dāng)一條半徑斜率為0，另一條半徑斜率不存在時，也稱它們?yōu)橐唤M共軛半徑.即橢圓的半長軸和半短軸也是橢圓的一對共軛半徑.

定義3?已知O為原點，OA，OB為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩條共軛半徑，則稱ΔOAB為橢圓的共軛三角形.

2 相關(guān)性質(zhì)

如圖1，在橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，OA，OB為一對共軛半徑.當(dāng)OA，OB不在坐標軸上時，設(shè)kOA=k，A（x1，y1），B（x2，y2）.由橢圓的對稱性，為敘述方便，不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限，或A是上頂點，B是右頂點.

性質(zhì)1?（1）x2=aby1，y2=-bax1或x2=-aby1，y1=bax1；

（2）x21+x22=a2，y21+y22=b2；

（3）x1y1+x2y2=0；

（4）|x1y2-x2y1|=ab；

（5）x1x2a2+y1y2b2=0.

證明?顯然lOA：y=kx.聯(lián)立x2a2+y2b2=1，y=kx，得

（b2+a2k2）x2=a2b2.

故xA=aba2k2+b2.

故A（aba2k2+b2，abka2k2+b2）.

由kOA·kOB=-b2a2，得kOB=-ba2k.

用-ba2k代替k，得

B（a2ka2k2+b2，-b2a2k2+b2），

顯然（1）成立.

x21+x22=a2b2a2k2+b2+a4k2a2k2+b2=a2（a2k2+b2）a2k2+b2=a2，

同理y21+y22=b2，故（2）成立.

x1y1+x2y2=aba2k2+b2·abka2k2+b2+a2ka2k2+b2·-b2a2k2+b2=0，故（3）成立.

|x1y2-x2y1|=|aba2k2+b2·-b2a2k2+b2-a2ka2k2+b2·abka2k2+b2|=ab（a2k2+b2）a2k2+b2=ab，故（4）成立.

x1x2a2+y1y2b2=1a2·aba2k2+b2·a2ka2k2+b2+1b2·abka2k2+b2·-b2a2k2+b2=0，故（5）成立.

性質(zhì)2?（1）cos∠AOB∈［0，a2-b2a2+b2］；

（2）AB∈［2b，a2+b2］；

（3）SΔAOB=12ab.

證明?（1）OA·OB=aba2k2+b2·a2ka2k2+b2+abka2k2+b2·-b2a2k2+b2=abk（a2-b2）a2k2+b2，|OA|=

（aba2k2+b2）2+（abka2k2+b2）2=a2b2（1+k2）a2k2+b2，

同理|OB|=a4k2+b4a2k2+b2.

故cos∠AOB=OA·OB|OA||OB|

=abk（a2-b2）/（a2k2+b2）ab1+k2·a4k2+b4/（a2k2+b2）

=k（a2-b2）1+k2·a4k2+b4.

令f（k）=k2（a2-b2）2（1+k2）（a4k2+b4），則

f（k）=（a2-b2）2k2a4k4+（a4+b4）k2+b4

=（a2-b2）2a4k2+（a4+b4）+b4/k2.

又a4k2+（a4+b4）+b4k2≥2a4k2·b4k2+a4+b4=（a2+b2）2，當(dāng)且僅當(dāng)a4k2=b4k2，即k=ba時取等.

結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，f（k）∈（0，（a2-b2）2（a2+b2）2］.

又當(dāng)OA，OB為橢圓的半短軸和半長軸時，cos∠AOB=0，故cos∠AOB∈［0，a2-b2a2+b2］.即當(dāng)OA，OB關(guān)于x軸對稱時，∠AOB最小.

當(dāng)OA，OB為橢圓的半短軸和半長軸時，∠AOB最大，為π2.

（2）先證明OA2+OB2=a2+b2，由2（1）知

OA2+OB2=a2b2（1+k2）a2k2+b2+a4k2+b4a2k2+b2

=（a2+b2）（a2k2+b2）a2k2+b2

=a2+b2.

（3）又AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=x21+x22+y21+y22-2（x1x2+y1y2）.

而x1x2+y1y2=abk（a2-b2）a2k2+b2，

令g（k）=abk（a2-b2）a2k2+b2，則

g（k）=ab（a2-b2）a2k+b2/k.

由a2k+b2k≥2a2k·b2k=2ab，當(dāng)且僅當(dāng)k=ba時取等號.結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可知g（k）∈（0，a2-b22］.

故AB2∈［a2+b2-（a2-b2），a2+b2）.

又OA，OB為橢圓的半短軸和半長軸時，AB2=a2+b2.故AB∈［2b，a2+b2］.

當(dāng)OA，OB關(guān)于x軸對稱時，AB最小，為2b.

當(dāng)OA，OB為橢圓的半短軸和半長軸時，AB最大，為a2+b2.

（3）SΔAOB=12|OA||OB|sin∠AOB

=12|OA||OB|1-cos2∠AOB

=12x21+y21·x22+y22·1-（x1x2+y1y2）2（x21+y21）（x22+y22）

=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12（x1y2-x2y1）2=12|x1y2-x2y1|=12ab.

性質(zhì)3?（1）OA2+OB2=a2+b2；

（2）如圖2，OA，OB為橢圓Γ的一對共軛半徑，P為OA上一點，過點P作平行于AB的直線交橢圓Γ于C，D兩點.當(dāng)OA，OB確定時，PC2+PD2為定值.

（3）OA，OB為橢圓Γ的一對共軛半徑，P為OB上一點，過點P作平行于AB的直線交橢圓Γ于C，D兩點，當(dāng)OA，OB確定時，PC2+PD2為定值[1].

證明?（2）當(dāng)OA，AB斜率存在時，設(shè)P（x0，y0），則kAB=abk+b2ab-a2k=b（ak+b）a（b-ak）.

故lCD：y-kx0=b（b+ak）a（b-ak）（x-x0）.

整理，得y=b（b+ak）a（b-ak）x-a2k2+b2a（b-ak）x0.

令b+ak=s，b-ak=t，a2k2+b2=q，

則y=bsatx-qx0at.

代入橢圓方程并整理，得

b2（s2+t2）x2-2bsqx0x+q2x20-a2b2t2=0.

設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），于是

x3+x4=2sqx0b2（s2+t2），

x3x4=q2x20-a2b2t2b2（s2+t2）.

由s2+t2=（b+ak）2+（b-ak）2=2（a2k2+b2）=2q，化簡，得

x3+x4=b+akbx0，

x3x4=a2k2+b22b2x20-a2（b-ak）22（a2k2+b2）.

故PC2+PD2=（x1-x0）2+（y1-y0）2+（x2-x0）2+（y2-y0）2=［1+b2（b+ak）2a2（b-ak）2］·［（x1-x0）2+（x2-x0）2］=［1+b2（b+ak）2a2（b-ak）2］·［（x1+x2）2-2x1x2-2x0（x1+x2）+2x20］=［1+b2（b+ak）2a2（b-ak）2］·a2（b-ak）2a2k2+b2=a2+b2-2abk（a2-b2）a2k2+b2.

當(dāng)AB斜率不存在時，有k=ba，計算可得PC2+PD2=2b2，也符合上式.

當(dāng)OA，OB為橢圓的半短軸和半長軸時，計算可得PC2+PD2=a2+b2.

綜上，PC2+PD2為定值.

（3）當(dāng)OB斜率存在時，在3（2）中，用-b2a2k代替k得：PC2+PD2=a2+b2+2abk（a2-b2）a2k2+b2.

當(dāng)OA，OB為橢圓的半短軸和半長軸時，計算可得PC2+PD2=a2+b2.

性質(zhì)4?（1）以O(shè)A，OB為鄰邊作AOBT，則點T在橢圓x2a2+y2b2=2上；

（2）ΔABT的重心為O，則點T在橢圓x2a2+y2b2=2上；

（3）OT=λOA+μOB，則點T在橢圓Γ上的充要條件是λ2+μ2=1；

（4）OT=λOA+μOB，則點T在橢圓x2a2+y2b2=λ2+μ2上.

證明?（1）設(shè)T（x，y），由平行四邊形性質(zhì)知

OT=OA+OB.

故x=x1+x2，y=y1+y2.

故x2a2+y2b2=x21+x22a2+y21+y22b2+2（x1x2a2+y1y2b2）=2.

（2）由重心性質(zhì)知，OT=-（OA+OB），結(jié)合（1）得證.

（3）僅證必要性.設(shè)T（x0，y0），故

x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2.

點T在橢圓Γ上，則x20a2+y20b2=1.

又x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，則

λ2x21+μ2x22a2+λ2y21+μ2y22b2+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=λ2（x21a2+y21b2）+μ2（x22a2+y22b2）=λ2+μ2.

故λ2+μ2=1.

（4）設(shè)T（x，y），故x=λx1+μx2，y=λy1+μy2.所以x2a2+y2b2=λ2x21+μ2x22a2+λ2y21+μ2y22b2+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=λ2（x21a2+y21b2）+μ2（x22a2+y22b2）=λ2+μ2.

性質(zhì)5?（1）如圖3，T（x0，y0）為橢圓Γ上任意一點，以T為圓心的圓與兩條共軛半徑都相切的充要條件是圓T的半徑為定值a2b2a2+b2[2].我們稱以橢圓上任意一點為圓心，a2b2a2+b2為半徑的圓為橢圓共軛圓.

（2）ΔAOB對應(yīng)共軛圓的圓心為∠AOB的角平分線與橢圓的交點.

（3）共軛圓的半徑等于橢圓“基圓”的半徑.

證明?（1）僅證必要性.當(dāng)OA，OB為橢圓的半短軸和半長軸時，記圓T的半徑為r，則x20=y20=r2.

又點T在橢圓上，故r2a2+r2b2=1，1r2=1a2+1b2.

故r=a2b2a2+b2.

當(dāng)OA，OB斜率存在時，記kOA=k1，kOB=k2，

由圓T與OA相切，得|k1x0-y0|k21+1=r.

即（x20-r2）k21-2x0y0k1+（y20-r2）=0.

同理，（x20-r2）k22-2x0y0k2+（y20-r2）=0.

故k1，k2是方程（x20-r2）k2-2x0y0k+（y20-r2）=0的兩個根.

由韋達定理，得k1k2=y20-r2x20-r2.

則y20-r2x20-r2=-b2a2.

即（a2+b2）r2=b2x20+a2y20=a2b2.

故r2=a2b2a2+b2.

即r=a2b2a2+b2.

（2）由角平分線的性質(zhì)即證.

（3）橢圓的“基圓”為x2+y2=a2b2a2+b2[3]，故橢圓的共軛圓與橢圓“基圓”等半徑，且它們有著類似的性質(zhì)：從橢圓Γ上任意一點T（x0，y0）引基圓x2+y2=a2b2a2+b2的兩條斜率存在的直線l1，l2，其斜率為k1，k2，則k1k2=-b2a2.其證明類似于5（1）的證明，此處略.

3 結(jié)束語

橢圓的共軛半徑、共軛三角形等是常見的圓錐曲線構(gòu)型.在平時學(xué)習(xí)中，要合理利用這些常見構(gòu)型訓(xùn)練基本功.基本功不僅包括解析幾何中基本量的計算和基本公式的運用，也包括與其相關(guān)的向量、函數(shù)、最值的計算，還包括整體代換、同構(gòu)等計算技巧的使用.如在性質(zhì)1中計算直線與橢圓的交點坐標，在性質(zhì)3中計算弦長，都是圓錐曲線的基本計算.在性質(zhì)2中利用向量計算夾角的余弦值，利用基本不等式和函數(shù)計算最值，則屬于與解析幾何相關(guān)的其他計算.在性質(zhì)4中特殊定值的取得，性質(zhì)5中利用同構(gòu)法證明結(jié)論，則屬于計算技巧的使用.

在熟練掌握這些基本運算的前提下，我們可以嘗試用相同的方法將相關(guān)性質(zhì)推廣至其他圓錐曲線.在論證過程中，看看哪些計算技巧仍可使用，哪些計算技巧需要改造使用，哪些過程需要另辟蹊徑.在結(jié)論上，看看哪些性質(zhì)依舊成立，哪些性質(zhì)有著“形似”或“神似”的改變，哪些性質(zhì)不成立.再探究計算技巧及性質(zhì)能夠成立或者不成立的原因，嘗試從其他角度去證明或者理解問題.

熟練掌握了相關(guān)構(gòu)型，在處理相關(guān)題目時，能夠從正反兩方面快速識別模型，尋找解題路徑，預(yù)知問題結(jié)果.

總之，橢圓的共軛半徑、共軛三角形、共軛圓等構(gòu)型，能夠訓(xùn)練我們的基本功，使我們能夠快速識別并解決相關(guān)問題，逐步加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

參考文獻：

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李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022.

［2］ 張乃貴.橢圓共軛半徑的三個新命題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2015（21）：39-40.

［3］ 陳偉.橢圓的基圓及其性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通報，2016，55（12）：46.

［責(zé)任編輯：李?璟］