兩道物體脫離軌道試題研究

張蓓 周家本 姜付錦

摘?要：本文對《物理教師》中兩篇論文進(jìn)行深入分析與理論計(jì)算，發(fā)現(xiàn)：文獻(xiàn)［1］中滑塊不可能在脫離軌道后，在軌道最低點(diǎn)與軌道發(fā)生彈性碰撞反彈到軌道的左邊，繼續(xù)在軌道上運(yùn)動；文獻(xiàn)［2］中結(jié)果存在錯誤，通過分析與對比給出了正確的答案，完善了小球脫離橢圓面的分析結(jié)果.

關(guān)鍵詞：光滑軌道；脫離；橢圓面；卡爾丹公式

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0114-03

《物理教師》中有兩篇關(guān)于物體運(yùn)動過程中脫離軌道試題的論文，但是筆者通過嚴(yán)格的推導(dǎo)與分析，發(fā)現(xiàn)這兩篇論文結(jié)論有待商榷，以下為分析過程，請各位同仁批評指正.

1 問題一[1]

如圖1所示，裝置由一理想彈簧發(fā)射器及兩個軌道組成.其中軌道Ⅰ由光滑軌道AB與粗糙直軌道BC平滑連接，高度差分別是h1=0.2 m、h2=0.10 m，BC水平距離L=1.00 m.軌道Ⅱ由AE、螺旋圓形EFG和GB三段光滑軌道平滑連接而成，且A點(diǎn)與F點(diǎn)等高.當(dāng)彈簧壓縮量為d時，恰能使質(zhì)量m=0.05 kg的滑塊沿軌道Ⅰ上升到B點(diǎn)；當(dāng)彈簧壓縮量為2d時，恰能使滑塊沿軌道Ⅰ上升到C點(diǎn).（已知彈簧彈性勢能與壓縮量的平方成正比）

（1）當(dāng)彈簧壓縮量為d時，求彈簧的彈性勢能及滑塊離開彈簧瞬間的速度大??；

（2）求滑塊與軌道BC間的動摩擦因數(shù)；

（3）當(dāng)彈簧壓縮量為d時，若沿軌道Ⅱ運(yùn)動，滑塊能否上升到B點(diǎn)？請通過計(jì)算說明理由

參考文獻(xiàn)［1］中對第（3）問提出疑問，認(rèn)為滑塊可能與軌道最低點(diǎn)發(fā)生彈性碰撞，最后通過反彈到達(dá)軌道的左邊，繼續(xù)進(jìn)行圓周運(yùn)動，具體情況如下圖2、3、4所示：

若只從定性角度來分析，圖2中滑塊在P點(diǎn)脫離圓軌道做斜拋運(yùn)動，可能落在軌道最低點(diǎn)O，同理圖3、圖4中均有可能，但是真實(shí)情況到底是怎樣的？筆者以為只能通過定量計(jì)算來證明.

1.1 理論依據(jù)（以圖2為例）

設(shè)軌道半徑為r，脫離點(diǎn)為P，P點(diǎn)的速度為v，連接O′P與水平面的夾角為θ，由機(jī)械能守恒定律得

E彈+mgr1-sinθ=12mv①

脫離點(diǎn)恰好無彈力，由向心力公式得

mgsinθ=mvr②

從脫離時開始計(jì)時，經(jīng)過時間t，滑塊的坐標(biāo)為

x=rcosθ-vtsinθ③

y=r+rsinθ+vtcosθ-12gt④

因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過原點(diǎn)，所以有

x=y=0⑤

E彈=mgh1⑥

聯(lián)立①-⑥式整理成以下四個方程

由?式求得

sinθ=-1或sinθ=12?

若sinθ=-1，則r=-25h1，v=±g，t=0?若sinθ=12，

則r=-4h1，v=±-2g，t=±-24h1g?

由??兩式可知，這些解沒有物理意義，故滑塊不會落在圓軌道低點(diǎn).

1.2 數(shù)值模擬計(jì)算

筆者嘗試用MathCAD來分析，設(shè)sinθ=x，則解方程組如圖5所示.

gh1+gr-rsinθ=v2⑦

grsinθ=v⑧

rcosθ=vt·sinθ⑨

r+rsinθ+vtcosθ=g2t⑩

聯(lián)立⑦⑧兩式得

h1+r=32rsinθ?

聯(lián)立⑧⑨⑩三式得

r1+sinθ=gt（12-sinθ）?聯(lián)立⑧⑨兩式得

t=r（1-sinθ）gsin3θ?

聯(lián)立??兩式得

sinθ+12sinθ-12=0?

上行右邊每一行為一組解，共6組解，每一行從左向右依次為v，sinθ，r，t的解，可以發(fā)現(xiàn)沒有一組有物理意義的解，這與??兩式的解吻合，所以參考文獻(xiàn)［1］中假設(shè)2不成立，即小球不可能斜拋后落在最軌道的最低點(diǎn).

2 問題二

如下圖6所示，已知橢圓的方程為x2a2+y2b2=1，設(shè)小球在A點(diǎn)脫離光滑橢圓面，求小球脫離光滑橢圓面時位置？

2.1 參考文獻(xiàn)［2］中的分析

橢圓的參數(shù)方程為

x=acosθ，y=bsinθ?分別對x與y關(guān)于θ求一階、二階導(dǎo)數(shù)，得

x′θ=-asinθ，x″θ=-acosθ?

y′θ=bcosθ，y″θ=-bsinθ?

那么，y關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)為

圖6?小球在橢圓上運(yùn)動

y′x=y′θx′θ=-bcosθasinθ?

A點(diǎn)的曲率半徑為

ρ=［x′θ+y′θ］3/y″θx′θ-x″θy′θ

=［asinθ+bcosθ］3/ab?

又tanα=y′x=-bcosθasinθ，則?

cosα=asinθ［asinθ+bcosθ］/?

從最高點(diǎn)到A點(diǎn)機(jī)械能守恒，有

mgb-y=12mv?

在A點(diǎn)脫離的條件為

mgcosα=mvρ?

聯(lián)立B22B24B25?四式得

sinθ3+3b2a2-b2sinθ-2b2a2-b2=0?原文給出的解析解為

sinθ=3b2a2-b2［31+a2-2b2a2-b2+31-a2-2b2a2-b2］?

即初速度為零的小球不可能一直沿光滑橢圓面運(yùn)動下去，且將在以上確定位置脫離橢圓面［2］.

2.2筆者的分析

若曲面是光滑橢圓面，則參考文獻(xiàn)［1］中的一元三次方程如下：

sinθ3+3b2a2-b2sinθ-2b2a2-b2=0?

其判別式

Δ=q2+p33=b2a2-b2+b2a2-b3?所以有一個實(shí)根和兩個復(fù)根，由卡爾丹公式得此實(shí)根為

sinθ=3-q2+Δ+3-q2-Δ?

進(jìn)一步化簡后得

sinθ=3b2a2-b2［31+a2a2-b２

+31-a2a2-b2］?

參考文獻(xiàn)［1］中的分析錯在判別式應(yīng)該是Δ=q2+p33=b2a2-b2+b2a2-b3，而不是Δ=q2+p33=b2a2-b2-b2a2-b3，故參考文獻(xiàn)［1］中的解析有錯誤.

若橢圓長短軸互換，即a、b互換，式B32形式不變.?2.3 另一種分析方法

如下圖7所示，設(shè)小球從最高點(diǎn)y0=b靜止出發(fā)，求得[2]

圖7?小球在橢圓上運(yùn)動位置圖

y′=-b2xa2y，fx=b-y1+b2xa2y=ay（b-y）b4+（a2-b2）y2（40）

由于f′（x）=0，得到

ky=a2-b2y3+3b4y-2b5=0（41）

由于k0=-2b5<0，kb=a2b3>0，所以在［0，b］上y必然有實(shí)解，即存在脫離點(diǎn).

因?yàn)閗0=0，所以其可化為三次方程標(biāo)準(zhǔn)形式：

y3+3b4a2-b2y-2b5a2-b2=0（42）

其判別式

Δ=q2+p33=b5a2-b2+b4a2-b3（43）

有一個實(shí)根和兩個復(fù)根，由卡爾丹公式得此實(shí)根為：

y=3-q2+Δ+3-q2-Δ（44）

進(jìn)一步化簡后得，

y=3b5a2-b2+b5a2-b2+b4a2-b3+3b5a2-b2-b5a2-b2+b4a2-b3（45）

因?yàn)閥=bsinθ，求得

sinθ=3b2a2-b2［31++31-］（46）

與式（39）是吻合，故參考文獻(xiàn)［1］中的解析解有錯誤.

3 結(jié)束語

綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)參考文獻(xiàn)［1］中的方程組沒有實(shí)數(shù)解，所以原文中假設(shè)2不成立，滑塊不可能斜拋后落在最軌道的最低點(diǎn)O；高考題所給的解析沒有問題，若R≤0.4 m，滑塊可以通過最高點(diǎn)達(dá)到B點(diǎn)，若R>0.4 m，滑塊不能通過最高點(diǎn)達(dá)到B點(diǎn)，高考題參考答案正確！通過以上分析不難發(fā)現(xiàn)：牛頓運(yùn)動定律是一種因果律，受力是原因，運(yùn)動是結(jié)果.一個物體受什么樣的力就有什么樣的運(yùn)動，反過來物體有什么樣的運(yùn)動，就需要受什么樣的力，這二者之間緊密聯(lián)系在一起.當(dāng)我們對某個分析產(chǎn)生疑問時，可以從正反兩個方向去推理認(rèn)證，若正反兩個方面吻合，則說明分析沒有問題，否則分析就有問題；參考文獻(xiàn)［2］小球在光滑橢圓面由靜止開始下滑，當(dāng)小球運(yùn)動橢圓面上某一位置會脫離橢圓面，這個位置的解要用到一元三次方程的根——卡爾丹公式，原文中的參考答案有誤.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王金聚.對2016年浙江省小高考物理選考卷第20題的商榷[J].物理教師，2016（8）：88-89.

［2］ 陳科.小球能一直沿光滑曲面運(yùn)動下去嗎？[J].物理教師 2015（7）：62，64.

［責(zé)任編輯：李?璟］