聚焦核心素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

一、內(nèi)容解析

“球的表面積和體積”屬于“簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積”的內(nèi)容?！昂?jiǎn)單幾何體的表面積與體積”這部分內(nèi)容涉及圓柱、圓錐、圓臺(tái)，還有直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)以及球的表面積和體積，需要學(xué)生從度量的角度認(rèn)識(shí)常見的空間幾何體。“球的表面積和體積”是這部分的難點(diǎn)，也是核心內(nèi)容，球的表面積與體積計(jì)算與圓柱部分一脈相承，但是計(jì)算方法更加靈活，這部分知識(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、模型認(rèn)知、空間觀念都有非常高的要求。學(xué)生在了解了柱體、錐體、臺(tái)體的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系后，要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)球的表面積和體積，還需要深入感受極限思維，培養(yǎng)邏輯關(guān)聯(lián)意識(shí)。

二、問題診斷

“球的表面積和體積”涉及的參數(shù)并不多，學(xué)生對(duì)公式記憶的難度也不高，其難點(diǎn)在于球的表面積與體積公式推導(dǎo)過程，即需要學(xué)生在知其然的同時(shí)，知其所以然。只有學(xué)生真正理解了參數(shù)的含義，才能對(duì)內(nèi)切球、棱切球、外切球有效區(qū)分，所以學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，就是對(duì)球體公式的推導(dǎo)，其中蘊(yùn)含了極限的思想，在分割、近似替代、求和、取極限方面學(xué)生理解起來比較困難。所以，在本次課程教學(xué)中，重點(diǎn)是讓學(xué)生在理解棱柱、棱錐知識(shí)的基礎(chǔ)上，掌握球的表面積與體積公式求解推導(dǎo)方法，并指導(dǎo)學(xué)生解決一些實(shí)際問題，助力學(xué)生突破核心知識(shí)點(diǎn)。

三、目標(biāo)分析

“球的表面積和體積”教學(xué)目標(biāo)可簡(jiǎn)要概括為讓學(xué)生了解球的表面積和體積公式，運(yùn)用球的表面積公式及體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題；讓學(xué)生準(zhǔn)確理解公式中的各參數(shù)及其含義，對(duì)球的表面積與體積公式進(jìn)行結(jié)構(gòu)化理解，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力和空間想象能力，使其理解公式中蘊(yùn)含的極限思維，學(xué)會(huì)一般性問題的解答方法；在這部分知識(shí)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要結(jié)合小實(shí)驗(yàn)掌握球體的表面積和體積公式，體會(huì)數(shù)學(xué)的美，結(jié)合對(duì)球的表面積和體積公式的推導(dǎo)發(fā)展理性思維。這是思維層面的綜合延伸，是核心素養(yǎng)育人的重要體現(xiàn)。

四、教法研究

本單元授課采用線上線下相結(jié)合的方式，對(duì)于一些回顧性內(nèi)容，如圓柱的側(cè)面積計(jì)算、圓臺(tái)的側(cè)面積計(jì)算，主要通過線上教學(xué)，讓學(xué)生在課前學(xué)習(xí)鞏固，為新課學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。線下課堂以小組合作、實(shí)踐探究為主，需要學(xué)生進(jìn)行公式的推導(dǎo)，理解參數(shù)的具體含義。同時(shí)，教師配合希沃白板及課件呈現(xiàn)內(nèi)容，讓學(xué)生理解球的表面積與體積公式推導(dǎo)。課程教學(xué)的重點(diǎn)是借助直觀教具以及信息技術(shù)交互運(yùn)用，在學(xué)生主體探究、展示研究成果的前提下，教師進(jìn)行針對(duì)性指引，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)極限思維，發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)。在這部分知識(shí)學(xué)習(xí)過程中，對(duì)學(xué)生實(shí)踐探究有非常高的要求，需要學(xué)生動(dòng)手制作球的模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照視頻進(jìn)行創(chuàng)新探究，在課堂上小組之間、師生之間積極展開討論，以突破核心知識(shí)點(diǎn)。

五、教學(xué)過程

（一）情境預(yù)設(shè)，主題導(dǎo)入

師：這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)——球體。在正式學(xué)習(xí)之前，我們先來聽一位數(shù)學(xué)家的演講片段，這位數(shù)學(xué)家名叫丘成桐，他是央視公開課《開講啦》的特邀嘉賓，同時(shí)還是清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心主任，清華大學(xué)求真書院院長(zhǎng)，北京雁棲湖應(yīng)用數(shù)學(xué)研究院院長(zhǎng)。聽一聽丘成桐先生和他的數(shù)學(xué)故事，能夠讓我們知道數(shù)學(xué)的應(yīng)用無處不在，而數(shù)學(xué)之美更吸引著人們不斷去探索。

接著播放丘成桐先生的演講《因?yàn)閿?shù)學(xué)》片段。其中涉及很多非常重要的科學(xué)家，還講到了數(shù)學(xué)與科學(xué)界的一些重要發(fā)展。譬如高斯和黎曼對(duì)電磁學(xué)深入研究發(fā)展了數(shù)學(xué)理論，并重點(diǎn)提到了黎曼球面，還有“莫比烏斯變換”這一概念。丘成桐先生的演講，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到人類對(duì)科學(xué)技術(shù)探索的每一次突破，也伴隨著數(shù)學(xué)發(fā)展的一次大跳躍。同時(shí)，一般球面在現(xiàn)代工業(yè)以及腫瘤學(xué)研究領(lǐng)域都發(fā)揮了十分重要的作用。

（設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合數(shù)學(xué)家精彩的演講引出課程主題，可以有效吸引學(xué)生的目光，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。）

師：今天我們就研究簡(jiǎn)單的球面知識(shí)，下面我們來看兩個(gè)問題。

問題1：用相同厚度，相同顏色的顏料，分別給乒乓球、籃球涂色，哪種球需要用到的顏料更多？請(qǐng)說一說為什么。

生：籃球需要用到的顏料更多，因?yàn)榛@球表面積遠(yuǎn)比乒乓球大，所以需要用到的顏料較多。

問題2：如果要給足球和一個(gè)小皮球打氣，假設(shè)球內(nèi)氣壓相同，忽略內(nèi)部材料的厚度，那么哪個(gè)球需要充入的氣體較多？

學(xué)生結(jié)合自身的生活經(jīng)驗(yàn)，很容易想到足球需要充入的氣體更多。

教師繼續(xù)引導(dǎo)：球體沒有底面，也無法伸展成像棱柱、棱錐一樣的平面圖形，那么兩個(gè)不同的球體表面積究竟相差多少呢？大小又是何種關(guān)系，應(yīng)該如何來表述呢？這節(jié)課我們將圍繞這一問題展開探究。

（設(shè)計(jì)意圖：從直觀上學(xué)生能發(fā)現(xiàn)不同的球體，其表面積和體積都會(huì)有差別，而從直觀印象向具體數(shù)據(jù)比對(duì)有效分析，就要讓學(xué)生掌握球體表面積和體積計(jì)算的公式。）

（二）理實(shí)結(jié)合，實(shí)踐探究

教師讓學(xué)生拿出在課前制作的球體道具，想一想如何用最簡(jiǎn)單的方式測(cè)出球的體積。很快，學(xué)生想到了物理課堂上所學(xué)的方法，利用排開水的體積來測(cè)量球體的體積。學(xué)生以小組為單位進(jìn)行探究，看看兩個(gè)不同的球體排開水的體積有何差別，它們之間的差別主要由哪個(gè)因素來決定。

結(jié)合平面圖形部分所學(xué)圓的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生很容易就能聯(lián)想到球體的體積差異決定球體的半徑。那么，球體的半徑和球體體積之間究竟有什么樣的函數(shù)關(guān)系，需要學(xué)生進(jìn)一步來探究。這時(shí)候教師拿出提前為學(xué)生準(zhǔn)備的細(xì)沙，讓學(xué)生以小組為單位，針對(duì)一組底面半徑和高均為R的圓柱、圓錐、半球進(jìn)行體積變化規(guī)律的探索。各個(gè)小組反復(fù)嘗試，最終得到：圓錐容納的沙量+半球容納的沙量=圓柱容納的沙量。套入學(xué)生前期所學(xué)的圓柱、圓錐體積推導(dǎo)公式，讓學(xué)生試著算一下，半球的體積應(yīng)該如何表示，得到結(jié)果如下：

V半球=V柱-V圓錐=πR2·R-πR2·R=πR2·R

V球=πR3

（設(shè)計(jì)意圖：將空間關(guān)系向數(shù)據(jù)運(yùn)算有效轉(zhuǎn)變，可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，并為下一步理論證明奠定良好基礎(chǔ)。）

理論證明部分，需要借助學(xué)生前期所學(xué)的平面幾何的相關(guān)知識(shí)，在球體證明中有效運(yùn)用。將半球面用相互平行的線段平分成n份，讓學(xué)生求解每一份的體積，最終累加得到球體體積公式。在這部分計(jì)算過程中，涉及球面分割，還有近似替代求和與取極限的重要數(shù)學(xué)思想。整個(gè)推導(dǎo)過程難度不大，重在讓學(xué)生理解極限思想，并應(yīng)用到球體體積公式推導(dǎo)中。

突破了球的體積這一難點(diǎn)知識(shí)后，教師可進(jìn)一步追問球的表面積和球的體積之間有什么樣的關(guān)系。

這時(shí)候，教師引導(dǎo)學(xué)生借助前面錐體的面積求解公式，將球體想象為無數(shù)個(gè)錐體緊密排布在一起，所形成無數(shù)個(gè)半徑為R的錐體緊密排布在一起，組成一個(gè)組合球體，這些錐體所有底面積相加即得到球的表面積。再次應(yīng)用極限思維，即得到球的表面積：

S球=4πR2

這兩個(gè)公式，既類似又相互關(guān)聯(lián)，可以反復(fù)推導(dǎo)。教師可讓學(xué)生在小組內(nèi)部想一想，如果將半徑為R的球面橫向切為n份，每份等高，并將每份看作一個(gè)圓臺(tái)，讓學(xué)生想一想，從上到下這些圓臺(tái)的側(cè)面積之和為多少？同樣應(yīng)用極限思維可以得到球的表面積，而最終這個(gè)值所得結(jié)果乘以2就是整個(gè)球體的表面積，進(jìn)一步驗(yàn)證前期表面積公式推導(dǎo)的方法。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用兩種方法來推導(dǎo)，進(jìn)一步驗(yàn)證所得結(jié)論，也能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)極限思想的理解。）

（三）當(dāng)堂學(xué)習(xí)，加深理解

在掌握了球體表面積和體積公式后，教師可直接給出題目，讓學(xué)生求解。

（1）已知球體半徑R=5厘米，求它的體積和表面積。

（2）已知球的表面積為64π，求它的體積。

（3）已知球的體積為π，求它的表面積。

（4）已知一種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和圓柱黏合而成（見圖1），已知半球的直徑為0.3米，圓柱的高為0.6米?，F(xiàn)需在該浮標(biāo)外層涂防水材料，如果每平方米需0.5千克涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要用多少千克涂料？

在學(xué)生完成上述幾道題目后，教師進(jìn)一步引出問題，讓學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)理解實(shí)現(xiàn)螺旋上升。

教師在大屏幕上出示三個(gè)球（見圖2），第一個(gè)正切于正方體的各個(gè)面，第二個(gè)正切于正方體的各側(cè)棱，第三個(gè)過正方體的各頂點(diǎn)，請(qǐng)學(xué)生對(duì)比這三個(gè)球，分別確定球體的半徑、體積和表面積是多少。

（設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)三個(gè)球的特點(diǎn)進(jìn)行分析，求解三個(gè)球的表面積和體積之比，可以讓學(xué)生理解幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并進(jìn)一步理清其內(nèi)切球、棱切球、外切球與半徑之間的關(guān)系。）

類題訓(xùn)練還可以讓學(xué)生計(jì)算下面的問題：圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑（見圖3），求解球與圓柱的體積之比。

這樣就將這部分所學(xué)內(nèi)容前后串聯(lián)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟練公式，并對(duì)簡(jiǎn)單幾何體和球的半徑關(guān)系、體積關(guān)系有效捋清。

總之，鑒于這節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、直棱柱、正棱錐基礎(chǔ)上進(jìn)行的綜合性教學(xué)，所以這部分需結(jié)合實(shí)踐操作，讓學(xué)生學(xué)會(huì)推算球的體積，再用極限思想來證明體積計(jì)算的方式，進(jìn)一步與平面幾何部分相關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生理解球的表面積計(jì)算。這部分反復(fù)用到極限思想，還涉及了數(shù)與形的綜合轉(zhuǎn)化，最后再結(jié)合例題進(jìn)行拓展延伸，讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維實(shí)現(xiàn)螺旋上升，并對(duì)一般性規(guī)律進(jìn)行總結(jié)。對(duì)正四面體內(nèi)切球與棱切球、外切球分析，其難點(diǎn)在于確定球的半徑，可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。在這類問題解決過程中，要求學(xué)生仔細(xì)審題，對(duì)其中的一些隱含條件、等量關(guān)系有效挖掘。所以在這部分學(xué)習(xí)中，對(duì)學(xué)生直觀感知、實(shí)踐操作、識(shí)辨理解、度量計(jì)算都有非常高的要求。教師要引導(dǎo)學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合意識(shí)，學(xué)會(huì)用代數(shù)的方法解決幾何問題，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

（作者單位：山東省濱州市陽信縣第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

編輯：曾彥慧

作者簡(jiǎn)介：楊龍飛（1971—），男，漢族，山東濱州人，碩士，現(xiàn)職稱：中小學(xué)一級(jí)，研究方向：高中數(shù)學(xué)。