數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的運用

劉鵬飛

數(shù)學(xué)思想是基于數(shù)學(xué)知識的深度認(rèn)知，是對數(shù)學(xué)知識的高度概括。教師注重數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的融入，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)知識的精髓，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的靈活運用。本文以“等差數(shù)列”一課的教學(xué)為例，展示數(shù)形結(jié)合思想、歸納推理思想、分類討論思想、函數(shù)思想等數(shù)學(xué)思想的具體運用過程，以供參考。

一、等差數(shù)列的概念及通項公式推導(dǎo)

（一）等差數(shù)列的概念

等差數(shù)列概念的認(rèn)識與理解是本節(jié)課授課的重點，關(guān)系著后續(xù)教學(xué)活動的推進。教師可以從生活實際出發(fā)創(chuàng)設(shè)不同的情境，一來幫助學(xué)生認(rèn)識等差數(shù)列與人們生產(chǎn)生活的密切關(guān)系，二來營造一種親切的授課氛圍，促進學(xué)生自動自發(fā)地進行學(xué)習(xí)。尤其創(chuàng)設(shè)圖形情境，指引學(xué)生挖掘圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系，給學(xué)生帶來直觀認(rèn)識，使其理解等差數(shù)列各項間的數(shù)量關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合與歸納推理思想。

情境一：展示成年女鞋的各種尺碼（單位：cm）數(shù)據(jù)。

25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21

情境二：某小區(qū)2013—2017年的綠化覆蓋率情況（見表1）。

表1

情境三：某裝飾圖案按照如圖1所示的規(guī)律排列，各圖中白色正六邊形的個數(shù)分別為6，10，14，….

圖1

課堂上，教師拋出問題：觀察三個情境中涉及的數(shù)據(jù)從第二項開始，其與前一項有什么關(guān)系，三組數(shù)據(jù)有哪些共同點？以此引入等差數(shù)列的概念。學(xué)生經(jīng)過觀察、思考發(fā)現(xiàn)：三組數(shù)據(jù)從第二項開始，每一項與其前面項之差均是定值。滿足這一特征的數(shù)列為等差數(shù)列，其中的公差常用d表示。

如此創(chuàng)設(shè)不同情境，由學(xué)生自主分析、探尋數(shù)列特征，得出等差數(shù)列的概念，增添課堂樂趣，加深學(xué)生印象的同時，使學(xué)生更好地體會到數(shù)形結(jié)合思想、歸納推理思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。

（二）等差數(shù)列的通項公式推導(dǎo)

等差數(shù)列的通項公式是本節(jié)課教學(xué)的重點。在進行該部分教學(xué)中，教師可以通過歸納推理思想指引學(xué)生自主完成等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)，理解等差數(shù)列通項公式中各字母代表的含義以及推導(dǎo)過程，避免死記硬背，促進活學(xué)活用。

課堂上，教師可以要求學(xué)生運用a1，a2，a3，…，an-1，an表示具有n項的等差數(shù)列，通過歸納推理探尋項數(shù)與具體項之間的關(guān)系（也即是等差數(shù)列的通項公式）。具體推導(dǎo)過程如下：

a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d（n≥2）

將上述各式左右兩邊分別相加得到：

a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1=

an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d

這里需要注意，推導(dǎo)過程是在n≥2的條件下進行的，需要檢驗n=1時是否成立。顯然當(dāng)n=1時，a1=a1，即得到n∈N*等差數(shù)列的通項公式為an=a1+（n-1）d。分析等差數(shù)列通項公式，可以看出其描述的是項數(shù)、公差和首項之間的關(guān)系，只要給出數(shù)列的首項和公差，就能得到數(shù)列中的每一項。

教學(xué)中，教師通過指引學(xué)生進行等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)，使學(xué)生明晰等差數(shù)列通項公式的由來，通過累加的方法推理出等差數(shù)列的通項公式，有效地鍛煉了學(xué)生的歸納推理能力。

二、等差數(shù)列與一次函數(shù)

從函數(shù)視角來看，數(shù)列是特殊的函數(shù)。那么等差數(shù)列是怎樣的一個函數(shù)呢？為了探尋等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)視角對等差數(shù)列的通項公式加以審視與探尋，借助函數(shù)思想加深學(xué)生對等差數(shù)列通項公式的認(rèn)識。

教師在課堂上展示兩個等差數(shù)列的通項公式：①an=3n-2；②an=-2n+9，要求學(xué)生聯(lián)系所學(xué)的一次函數(shù)知識，畫出其圖象。學(xué)生分析可知：①對應(yīng)的一次函數(shù)為：y=3x-2，②對應(yīng)的一次函數(shù)為y=-2x+9，只不過n表示順序取值為正整數(shù)，而x的取值為R。①②對應(yīng)的圖象如圖2所示：

① ?????????②

圖2

對于等差數(shù)列的通項公式：an=a1+（n-1）d可以寫成an=dn+（a1-d），將n看成x，an看成y，對照一次函數(shù)性質(zhì)可以得出：公差d的符號決定等差數(shù)列的增減，a1和d的大小關(guān)系決定了對應(yīng)函數(shù)圖象和y軸的交點是在x軸上方還是下方。其中在討論等差數(shù)列通項公式性質(zhì)時，需要對d進行分類討論，具體如表2所示。

表2

教師在教學(xué)中要求學(xué)生聯(lián)系所學(xué)，從函數(shù)視角 分析等差數(shù)列的通項公式，使其認(rèn)識到等差數(shù)列是特殊的一次函數(shù)，只不過對應(yīng)一次函數(shù)n的取值為正整數(shù)。如此教學(xué)，能幫助學(xué)生建立新舊知識的聯(lián)系，使其對等差數(shù)列的認(rèn)識提升到函數(shù)的高度，為以后解決等差數(shù)列問題提供思考的方向。

三、等差數(shù)列的前n項和及其與二次函數(shù)的關(guān)系

（一）等差數(shù)列的前n項和

在實際生產(chǎn)生活中，人們往往需要計算等差數(shù)列前n項和是多少。教師在教學(xué)中可以提出“等差數(shù)列的前n項和是否有固定的計算方式”這一問題，指引學(xué)生先通過數(shù)形結(jié)合建立對等差數(shù)列前n項和的初步印象，而后借助歸納推理進行探究，使其感受到數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)中的妙用。

1.數(shù)形結(jié)合思想

人們接觸事物往往先進行感性認(rèn)識。在等差數(shù)列的前n項和教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合角度進行判斷，更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。以等差數(shù)列1，2，3，4，…，n為例，要求該數(shù)列的前n項和，可以向?qū)W生展示圖3，給予學(xué)生思路上的引導(dǎo)。

圖3

學(xué)生可以將等差數(shù)列的每一項看作圓柱體的個數(shù)，共有n層圓柱體按照圖中方式堆放在一起。想求Sn=a1+a2+…+an的值，學(xué)生可以將圖形倒置后和原圖形放在一起，就可以直觀地看到每一層圓柱體的數(shù)量相等，共有n層，由此猜想等差數(shù)列的前n項和為Sn=。

教師運用數(shù)形結(jié)合思想給學(xué)生帶來對等差數(shù)列前n項和的初步、直觀認(rèn)識，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)自信。

2.歸納推理思想

為更好地證明上述猜想，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生通過歸納推理，推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項和公式。推理過程如下：

Sn=a1+a2+…+an-1+an①，Sn=an+an-1+…+a2+a1②

①+②得到：

2Sn=，于是問題就落腳在了如何證明a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…上。分開來看，由等差數(shù)列通項公式可得：

a2+an-1=（a1+d）+（an-d）=a1+an；

a3+an-2=（a1+2d）+（an-2d）=a1+an；

a4+an-3=（a1+3d）+（an-3d）=a1+an；

...

由此得到：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1）=n（a1+an）

則Sn=，其中將an=a1+（n-1）d代入可得到另一種形式為：Sn=na1+d。

如此通過歸納推理，推導(dǎo)出了等差數(shù)列前n項和的計算公式。教學(xué)中，學(xué)生參與整個推導(dǎo)過程，從結(jié)合圖形的感性認(rèn)識到歸納推理的理性認(rèn)識，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠加深學(xué)生對等差數(shù)列前n項和的認(rèn)識與理解。

（二）等差數(shù)列前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生時常會遇到求等差數(shù)列前幾項和的最大值和最小值問題。部分學(xué)生因未能很好地建立等差數(shù)列前n項和與函數(shù)之間的關(guān)系，而容易出錯。為幫助學(xué)生更好地破解相關(guān)問題，教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運用函數(shù)思想探索等差數(shù)列前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系。

教學(xué)中，要求學(xué)生將n看作自變量，對Sn=na1+d進行整理，化成二次函數(shù)形式，得到Sn=na1+d=n2+（a1-）n。其中當(dāng)d＜0時，對應(yīng)的二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線n′=-+。在討論其在何處取得最大值時，需要結(jié)合對稱軸的具體位置加以分析。當(dāng)d＞0時，對應(yīng)的二次函數(shù)圖象開口向上，Sn存在最小值，對稱軸為直線n′=-+。當(dāng)d=0，等差數(shù)列為常數(shù)列，則Sn=na1。

為了使學(xué)生對上述內(nèi)容有更清晰的認(rèn)識，并能靈活運用，教師應(yīng)在課堂上做好相關(guān)例題的剖析。

例.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a4=1，S5=10，求Sn取得最大值時對應(yīng)的n值。

該題是課本上的一道練習(xí)題，學(xué)生運用函數(shù)思想能夠很快得出結(jié)果。課堂上，教師可以讓學(xué)生思考“看到求Sn的最大值能夠想到哪些知識”。事實上，n的取值是正整數(shù)，意味著Sn表達式對應(yīng)的二次函數(shù)圖象是開口向下的，即d＜0。由a4=1，S5=10容易求得a1=4，d=-1，則-+=4，表示Sn取得最大值時對應(yīng)的n值是4或5。再如以下習(xí)題：

例.等差數(shù)列{an}中，a1=20，公差d=-，令bn=|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。

該題與上一道習(xí)題的不同之處是，數(shù)列{an}中存在為負(fù)數(shù)的項，要求Sn，需要先確定該數(shù)列在第幾項出現(xiàn)負(fù)數(shù)。由等差數(shù)列的通項公式可得an=a1+（n-1）d=20+（n-1）×（-）=-n+，令an＞0，容易解得n＜9，數(shù)列的第8項為正數(shù)，第9項為0，第10項為負(fù)數(shù)。學(xué)生根據(jù)n的不同進行分類討論，即，當(dāng)n≤9時，Sn=n2+（a1-）n=-n2+n；當(dāng)n＞9時，Sn=S9-（a10+a11+…+an）=90-=n2-n+180。

教師通過該習(xí)題的講解使學(xué)生認(rèn)識到，運用等差數(shù)列前n項和公式進行解題時需要具體問題具體分析，尤其需要根據(jù)實際情況進行分類討論，在分類討論思想的指引下能更為全面地思考問題。

四、總結(jié)

等差數(shù)列是高中數(shù)學(xué)非常重要的數(shù)列類型，相關(guān)知識較為抽象。教學(xué)中，教師應(yīng)通過滲透數(shù)學(xué)思想，指引學(xué)生參與相關(guān)結(jié)論的推導(dǎo)過程，如此學(xué)生既能加深對所學(xué)知識的印象，又能掌握學(xué)習(xí)的技能，在遇到等差數(shù)列相關(guān)習(xí)題時能迅速地找到突破口，真正地做到“授之以魚”，更要“授之以漁”。

（作者單位：甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣文萃中學(xué)）

編輯：陳鮮艷