生活情境引入，概念自然生成

張盛冬 吳小波

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)生可以更好地了解并解決生活中的問題。本文從實(shí)際生活中的情境入手，引導(dǎo)學(xué)生理解平均變化率的概念。

近日，在一次市級(jí)教研活動(dòng)中，筆者有幸執(zhí)教選擇性必修第一冊(cè)第5章起始課“平均變化率”一課，學(xué)生參與度高，教學(xué)效果良好，得到了聽課教師的一致好評(píng)。這是“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的起始課，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的形成起著奠基的作用。下面是課堂教學(xué)實(shí)錄，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正。

一、課堂實(shí)錄

（一）生活情境引入

［情境1］

師：同學(xué)們，這是某市某種病病例從某月1日到20日的數(shù)據(jù)圖，為了便于研究，我們用平滑的曲線連接得到圖1，請(qǐng)問你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：圖象有最大值。

生：圖象有上升有下降。

師：你說得很好，請(qǐng)你具體說說哪里上升，哪里下降。

生：AB、BC上升，CD、DE下降。

師：那么剛剛說的信息，我們數(shù)學(xué)上學(xué)過嗎？對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)課本上的什么知識(shí)點(diǎn)？

生：最值、單調(diào)性。（教師邊聽邊記錄在黑板上）

師：大家還能發(fā)現(xiàn)什么？

生：AB段上升，BC段也是上升，但是變化的快慢不同。

師：很好，大家觀察到變化快慢不同，那么，上升的快慢，反映在圖象上還可以用什么語言描述？

生：平緩、陡峭。

師：這位同學(xué)說得非常好。同學(xué)們想一想，我們研究過變化的快慢問題嗎？

學(xué)生紛紛搖頭。

師：今天我們就來研究這個(gè)問題。大家想想看，視覺上的平緩、陡峭在數(shù)學(xué)上用什么刻畫呢？

生：我想用斜率，可是斜率是刻畫直線的，而這里是曲線。

師：其他同學(xué)的想法呢？

生：是的，我們能否用斜率表示呢？

師：請(qǐng)一位同學(xué)把對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)式子說一下，并說說你的理解。

生：KAB=，KBC=，比較明顯地看出錯(cuò)誤，對(duì)應(yīng)圖象AB段變化慢，BC段變化快。

師：你能用同樣的方法理解其他部分的變化情況嗎？

生：KCD＜0，說明對(duì)應(yīng)CD段是下降的。

師：特別棒，給你點(diǎn)贊！BC段更加陡峭，斜率比AB段要大。也就是說我們斜率的正負(fù)刻畫了上升或下降，用數(shù)值絕對(duì)值的大小刻畫了變化的快慢，即圖象的陡峭程度。

評(píng)析：教師從生活中的例子入手，讓學(xué)生自主觀察，并記錄觀察到的信息。學(xué)生先觀察到學(xué)習(xí)過的最值和單調(diào)性等問題，再發(fā)現(xiàn)圖象變化快慢不同，而變化快慢學(xué)生并沒有學(xué)過，教師借此激發(fā)學(xué)生的求知欲，自然地引導(dǎo)學(xué)生思考如何刻畫快慢。

［情境2］

現(xiàn)有某市3月和4月某幾天最高氣溫記載（見表1）。

師：觀察表1和圖2（以3月18日作為第一天），你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：氣溫是上升的，而且從3月18日到4月18日上升15.1℃，從4月18日到4月20日上升14.9℃。

生：4月18日到4月20日氣溫上升快。

師：哦，你是怎樣發(fā)現(xiàn)的？

生：雖然兩段上氣溫差值差不多，但是時(shí)間相差得多，第一段時(shí)間更長(zhǎng)，斜率更大，也就是比值更大。

師：很好，氣溫隨時(shí)間變化而變化，我們把氣溫差值記做Δy，時(shí)間差值記做Δx，你能具體說說嗎？

生8：AB段：=≈0.5，AB段==7.4，后一個(gè)的比值更大，說明氣溫變化更快。

師：是的，后一個(gè)變化太快，人們?cè)?月20日感嘆：“天氣熱的太快了！”

評(píng)析：增加情境2，進(jìn)一步讓學(xué)生直觀體會(huì)氣溫變化的快慢，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用代數(shù)刻畫變化的快慢，從生活情境過渡到數(shù)學(xué)情境。

（二）概念自然生成

師：為了更直觀地觀察變化情況，我們可以畫什么圖來表示？

生：函數(shù)圖象。

師：請(qǐng)大家觀察氣溫隨時(shí)間變化圖，剛才表中發(fā)現(xiàn)的氣溫變化快的，在圖中對(duì)應(yīng)的是？

生：BC段更加陡峭。

師：氣溫一直上升的，BC段比AB段變化快，氣溫“陡升”。這個(gè)比值能反映圖象上每一處的變化情況嗎？

生：不能，因?yàn)槲覀冇玫臄?shù)據(jù)是一段曲線的端點(diǎn)值。

師：可以看做函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的比值，不能反映每一處的變化情況，那么可以是？

生：平均變化情況。

師：那你能給刻畫變化快慢的比值起個(gè)名字嗎？

生：平均變化率。

學(xué)生口述，教師板書平均變化率的定義。

師：很好，我們既從圖中觀察了曲線的變化平緩與陡峭，又通過平均變化率這個(gè)比值具體地量化了變化情況，這在數(shù)學(xué)上是什么思想？

生：數(shù)形結(jié)合。

師：很棒！我們用曲線的端點(diǎn)值精準(zhǔn)刻畫了曲線在一個(gè)區(qū)間上的平均變化情況，是把曲線的一段近似看成了線段來研究，這是數(shù)學(xué)上重要的數(shù)學(xué)思想——“以直代曲”。

師：請(qǐng)大家思考平均變化率的幾何意義？

生：直線的斜率。

師：很好！平均變化率的幾何意義就是函數(shù)f（x）圖象上兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））所在直線的斜率。（邊說邊板書）

師：同學(xué)們可以舉出反映平均變化率的例子嗎？

生：成績(jī)、身高的變化等。

生：一周內(nèi)小草的生長(zhǎng)高度和一周內(nèi)大樹的生長(zhǎng)高度，它們的平均變化率不同。

師：是啊，同樣的時(shí)間小草的生長(zhǎng)高度更大，也就是說平均變化率更？

生：更大。

師：這真是一個(gè)很好的例子，小草的生命力多么頑強(qiáng)！

評(píng)析：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，從一開始嘗試使用斜率刻畫曲線變化的快慢，逐漸發(fā)現(xiàn)斜率這個(gè)比值很有代表性，正負(fù)可以表示變化的方向，數(shù)值的絕對(duì)值大小表示變化的快慢，通過情境2進(jìn)一步確定使用斜率是完全可以的。教師通過啟發(fā)性的語言，從特殊到一般，從具體到抽象，在直線的斜率等舊知識(shí)的聯(lián)系下，引導(dǎo)學(xué)生自然生成“平均變化率”的概念。平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”。

（三）例題鞏固概念

例1.某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖3所示，試計(jì)算該嬰兒從出生到第3個(gè)月、6個(gè)月到12個(gè)月體重的平均變化率（見圖3）。

例2.已知函數(shù)f（x）=3x+1，g（x）=－2x，分別計(jì)算在區(qū)間［－3，－1］、［0，5］上f（x）及g（x）的平均變化率。

評(píng)析：通過讓學(xué)生板演例1，規(guī)范平均變化率解題過程，理解平均變化率的實(shí)際意義是刻畫函數(shù)平均變化快慢的模型；通過例2，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均變化率可正、可負(fù)、可0，幾何意義就是斜率。

（四）活動(dòng)探究升華

已知函數(shù)f（x）=x2，分別計(jì)算在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）［1，3］

（2）［1，2］

（3）［1，1.1］

（4）［1，1.001］

師：我們把曲線上兩點(diǎn)連線的斜率，也稱為曲線的割線的斜率，大家以小組為單位，計(jì)算以上區(qū)間上的平均變化率，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行討論。（其間教師多走動(dòng)，多觀察）

生：我發(fā)現(xiàn)平均變化率越來越小。

生：我發(fā)現(xiàn)平均變化率越來越接近2。

生：我畫了一下函數(shù)f（x）=x2的圖象，發(fā)現(xiàn)割線的位置趨向于一個(gè)確定的位置。

師：特別棒，你是怎樣想到畫圖的？

生：我們剛才學(xué)習(xí)平均變化率時(shí)就運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想。這個(gè)題的計(jì)算結(jié)果趨向2，2應(yīng)該是函數(shù)f（x）=x2在x=1處的切線斜率。

生：我覺得區(qū)間需要雙向研究，我又計(jì)算了區(qū)間［0.9，1］，［0.99，1］，［0.999，1］上的平均變化率，也發(fā)現(xiàn)從小于2的方向趨向2，2就是切線斜率。

該生發(fā)言完畢，全場(chǎng)報(bào)以熱烈的掌聲，教師使用幾何畫板演示。

評(píng)析：該探究環(huán)節(jié)也是本節(jié)課的一個(gè)亮點(diǎn)。由于筆者執(zhí)教班級(jí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有熱情、感興趣，因此，在本節(jié)課中，教學(xué)任務(wù)一是理解平均變化率的意義，二是通過該探究為下節(jié)課做鋪墊。本環(huán)節(jié)給學(xué)生充分思考（該環(huán)節(jié)大約用了15分鐘時(shí)間），意在通過探究，初步體會(huì)區(qū)間縮小時(shí)割線斜率會(huì)無限趨向一個(gè)常數(shù)，為下節(jié)課學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念奠定基礎(chǔ)。

二、課堂總評(píng)

“平均變化率”是導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的第一節(jié)課，對(duì)平均變化率的理解是重點(diǎn)，“平均變化率”概念的生成是難點(diǎn)。在生成概念的過程中，學(xué)生不可能準(zhǔn)確地說出定義來，本課從生活實(shí)例，讓學(xué)生通過圖形感受變化，再進(jìn)一步感受變化的快慢。舊的知識(shí)不能刻畫變化快慢問題，學(xué)生自然會(huì)想到需要學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)模型，這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、從具體到抽象的思想方法。學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)，嘗試生成概念，參與度高，課堂氛圍活躍，體會(huì)通過數(shù)學(xué)模型刻畫客觀世界的過程，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)思想。

教師應(yīng)當(dāng)因材施教，由于執(zhí)教對(duì)象基礎(chǔ)相對(duì)較好，本節(jié)課不拘泥于僅僅生成概念，而多開展一些探究活動(dòng)有利于學(xué)生間的合作，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為下節(jié)課奠定了良好的基礎(chǔ)。

（作者單位：南京市第二十九中學(xué)）

編輯：陳鮮艷

作者簡(jiǎn)介：張盛冬（1983—），女，漢族，江蘇南京人，研究生，副高級(jí)職稱，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。