基于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)理論優(yōu)化高中概念教學(xué)

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一、教材分析

在函數(shù)性質(zhì)的單元教學(xué)中，重點(diǎn)要學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。單調(diào)性是函數(shù)基本性質(zhì)中的重要概念，它描述了函數(shù)值如何隨著自變量的變化而變化。函數(shù)的奇偶性是另一個(gè)基本的函數(shù)性質(zhì)，與單調(diào)性不同，它不涉及函數(shù)的局部變化，而是關(guān)注函數(shù)的對(duì)稱性。函數(shù)的奇偶性可以通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)和函數(shù)圖象來(lái)描述，它決定了函數(shù)圖象的對(duì)稱特征，并且在解決特定問(wèn)題時(shí)非常有用?？偟膩?lái)說(shuō)，單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)，它不僅聯(lián)系著初高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)至關(guān)重要。

二、學(xué)情分析

在中學(xué)階段，學(xué)生已通過(guò)解析式、列表和繪圖等方法研究了函數(shù)性質(zhì)，但沒(méi)有用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行規(guī)范描述。學(xué)生還需持續(xù)學(xué)習(xí)歸納函數(shù)的基本屬性，從宏觀角度對(duì)函數(shù)性質(zhì)形成全面的認(rèn)知。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)會(huì)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示函數(shù)的單調(diào)性；知道函數(shù)定義域內(nèi)的特點(diǎn)區(qū)間是函數(shù)單調(diào)性成立的必備條件；掌握推導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的具體方法，準(zhǔn)確辨別增函數(shù)與減函數(shù)之間的區(qū)別。

2.把握單調(diào)性的含義，并運(yùn)用邏輯性的符號(hào)來(lái)進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的論證；總結(jié)并熟練掌握證明函數(shù)單調(diào)性的流程。

3.采用數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生掌握用符號(hào)來(lái)定量描述函數(shù)奇偶性，并理解這是對(duì)函數(shù)定義域整體性質(zhì)的描述；綜合考查函數(shù)圖象的整體形態(tài)。

4.明確偶函數(shù)、奇函數(shù)、既奇又偶函數(shù)以及非奇非偶函數(shù)之間的區(qū)別。

5.構(gòu)建涵蓋函數(shù)奇偶性的知識(shí)體系，讓學(xué)生明確本階段教學(xué)的重要性，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)的內(nèi)生動(dòng)力。

6.創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，用引導(dǎo)教學(xué)法教學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題，以增強(qiáng)學(xué)生整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

1.函數(shù)單調(diào)性

教學(xué)重點(diǎn)：掌握函數(shù)單調(diào)性的具體內(nèi)容，能證明函數(shù)具有單調(diào)性。

教學(xué)難點(diǎn)：用符號(hào)邏輯深入解釋函數(shù)單調(diào)性的概念，并用此概念進(jìn)行邏輯推理，證明函數(shù)的單調(diào)性。

2.函數(shù)奇偶性

教學(xué)重點(diǎn)：掌握函數(shù)奇偶性的具體內(nèi)容；學(xué)會(huì)證明函數(shù)奇偶性。

教學(xué)難點(diǎn)：利用符號(hào)邏輯深入解釋函數(shù)奇偶性的概念，并用此概念進(jìn)行邏輯推理，證明函數(shù)的奇偶性。

五、教學(xué)課時(shí)

兩課時(shí)

六、教學(xué)過(guò)程

第一課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性

（一）情境導(dǎo)入

我們之前探討過(guò)函數(shù)的基本概念及其表達(dá)方式，現(xiàn)在我們將一同研究函數(shù)的特性，首先我們繪制三個(gè)函數(shù)的圖象：f（x）=x，g（x）=，h（x）=x2。

師：觀察函數(shù)圖象，你發(fā)現(xiàn)了哪些特點(diǎn)？

生1：函數(shù)f（x）是一條上升的直線，而函數(shù)g（x）是一條下降的直線，函數(shù)h（x）則先是下降后上升。

師：在初中階段，對(duì)于上升和下降的趨勢(shì)，我們?cè)撊绾伪硎瞿兀?/p>

生2：當(dāng)y隨著x的增加而增加時(shí)，我們稱之為上升；而當(dāng)y隨著x的增加而減少時(shí)，我們稱之為下降。

師：那么，如何描述函數(shù)f（x）中x的增加呢？

生3：x的數(shù)值變大就是增加，x的數(shù)值變小就是減小。

師：那么這個(gè)x數(shù)值增加到超過(guò)f（x）的定義域也可以嗎？沒(méi)有對(duì)比值也能比較出大小嗎？

生4：不行，超出定義域范圍都不行。還需要一個(gè)對(duì)比值。

師：所以誰(shuí)來(lái)總結(jié)一下？

生5：在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，對(duì)于任意的x1和x2，如果x1＜x2，那么f（x1）＜f（x2）。

師：對(duì)于函數(shù)g（x）=的圖象，y是否隨著x的增加而減小，在不同區(qū)間上的單調(diào)性呢？

生6：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=的定義域是x≠0，圖象可以分為兩部分。在（-∞，0）上，y隨著x的增加而減??；在（0，+∞）上，y同樣隨著x的增加而減小。

師：對(duì)于函數(shù)h（x），如何在區(qū)間（0，+∞）上描述y隨著x的增加而增加呢？

生7：取任意的x1和x2屬于（0，+∞），我們有h（x1）=x12和h（x2）=x22。當(dāng)x1＜x2時(shí)，我們可以看到h（x1）＜h（x2）。

（設(shè)計(jì)意圖：首先通過(guò)直觀的幾何圖象讓學(xué)生感受函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，然后用文字語(yǔ)言闡釋這些變化，最后再引入符號(hào)語(yǔ)言，讓學(xué)生在多種表達(dá)方式中深刻理解函數(shù)的本質(zhì)，深化對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的形成。最終，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。）

（二）抽象構(gòu)建

師：請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言定義單調(diào)增函數(shù)。

生8：如果函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間D為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間。

教師追問(wèn)：任何區(qū)間內(nèi)都是這樣嗎？這樣說(shuō)準(zhǔn)確嗎？

學(xué)生補(bǔ)充：如果函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，且在區(qū)間D？哿1上，對(duì)于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間D為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間。

師：請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言定義單調(diào)減函數(shù)。

生9：如果函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，且在區(qū)間D？哿1上，對(duì)于任意x1，x2∈D，且x1＞x2，都有f（x1）＞f（x2）則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上為單調(diào)減函數(shù)，區(qū)間D為函數(shù)（f）x的單調(diào)減區(qū)間。

師：函數(shù)g（x）=1的減區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞），那么g（x）=1在（-∞，0）∪（0，+∞）上是否為減函數(shù)？

生10：不正確。因?yàn)間（x）=1是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，它在任何區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)都為0，所以它既不是單調(diào)增函數(shù)，也不是單調(diào)減函數(shù)。它在整個(gè)定義域上都是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在抽象與具體的交界處，把握函數(shù)單調(diào)性的精髓。通過(guò)引導(dǎo)他們用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)這一概念，激發(fā)學(xué)生從個(gè)別到一般、從具體到抽象的思考模式。）

（三）隨堂小測(cè)

師：請(qǐng)利用定義證明函數(shù)f（x）=的單調(diào)性，并指出它的單調(diào)區(qū)間。

（設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用“定義法”清晰展示了學(xué)生的邏輯思維過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性。）

（四）總結(jié)分享

師：通過(guò)學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么收獲？在今天的學(xué)術(shù)探索中，你汲取了哪些智慧的甘露？請(qǐng)慷慨地分享你的見(jiàn)解與領(lǐng)悟。

第二課時(shí) 函數(shù)的奇偶性

（一）情境重構(gòu)

師：下列各圖形（見(jiàn)圖1）展現(xiàn)了哪些獨(dú)特的美？

生1：軸對(duì)稱的美。

師：回顧你所學(xué)的函數(shù)圖象，哪些是軸對(duì)稱的？

生2：如f（x）=x2，g（x）=x2+1，h（x）=x等的函數(shù)圖象。

（設(shè)計(jì)意圖：借助軸對(duì)稱圖形這種導(dǎo)入方式，自然地過(guò)渡到偶函數(shù)圖象的討論。這既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又能有效地激發(fā)他們對(duì)函數(shù)圖象性質(zhì)的探究興趣。）

（二）分析與構(gòu)建

師：深入觀察函數(shù)f（x）=x2和g（x）=x的圖象，它們之間有什么共性？

生3：這些圖象都展現(xiàn)出了關(guān)于y軸的對(duì)稱性。

師：比較f（1）和f（-1），以及f（2）和f（-2），還有f（3）和f（-3）的數(shù)值，它們之間有何聯(lián)系？

生4：無(wú)論自變量是正數(shù)還是其相反數(shù)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是相等的。

師：思考上述觀察是否具有普遍性，即f（-x）是否總是等于f（x）。

生5：通過(guò)分析，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于所有x值，f（-x）總是等于f（x），這表明函數(shù)f（x）是一個(gè)偶函數(shù)。

師：基于以上發(fā)現(xiàn)，我們能否推斷出一般性的結(jié)論：即對(duì)于任意函數(shù)y=f（x），如果它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么f（-x）必然等于f（x）嗎？

生6：我覺(jué)得可以。

教師小結(jié)：偶函數(shù)圖象的特性體現(xiàn)在它們關(guān)于y軸鏡像對(duì)稱。這種對(duì)稱性意味著圖象上的每個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)在y軸另一側(cè)的對(duì)稱點(diǎn)?；谶@樣的圖象特征，我們可以正式提出偶函數(shù)的概念?？紤]一個(gè)定義在集合I上的函數(shù)f（x），我們稱f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于I中任意一個(gè)元素x，其相反數(shù)-x也屬于I，并且f（-x）的值等于f（x）的值。

師：通過(guò)觀察函數(shù)f（x）=x和g（x）=的圖象，我們可以識(shí)別它們共享的顯著特征。它們分別具有哪些獨(dú)特的圖形屬性？

（明確：這兩個(gè)函數(shù)的圖象都展現(xiàn)了關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性。）

師：參照偶函數(shù)的研究方法，我們來(lái)計(jì)算f（1）和f（-1）、以及f（2）和f（-2）、還有f（3）和f（-3）的函數(shù)值，并探討它們之間的關(guān)系。

（明確：當(dāng)自變量互為相反數(shù)時(shí)，因變量的符號(hào)也會(huì)互為相反數(shù)。）

師：現(xiàn)在我們來(lái)分析這些問(wèn)題是否具有普遍性， f（-x）=-f（x）是否總是成立？

生7：通過(guò)驗(yàn)證，得出結(jié)論：f（-x）=-x確實(shí)等于

-f（x），這一等式普遍成立。

師：基于以上發(fā)現(xiàn)，我們能否推廣出一般性的結(jié)論，即對(duì)于任意函數(shù)y=f（x），如果它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么f（-x）必然等于-f（x）？

生8：是的。對(duì)于任何關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖象，都滿足f（-x）=-f（x）的性質(zhì)，這也是奇函數(shù)的一個(gè)重要特征。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)研究具體的函數(shù)和它們的圖象，識(shí)別并總結(jié)偶函數(shù)的一般特點(diǎn)。這個(gè)過(guò)程不僅鞏固了研究函數(shù)性質(zhì)的方法，而且展現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。隨后，采用類比教學(xué)加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性的理解，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力及運(yùn)用已有的知識(shí)去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的能力。）

（三）深化理解

師：深入理解偶函數(shù)和奇函數(shù)的概念，涉及函數(shù)f（x）的定義域I。在這個(gè)定義域中，對(duì)于任意的x值，都必須滿足-x也屬于I，這一條件說(shuō)明了偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義域具有什么共同特征。

師：在函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)中，我們了解到單調(diào)性關(guān)注的是函數(shù)的局部變化趨勢(shì)，那么，函數(shù)的奇偶性是否也屬于研究函數(shù)的局部性質(zhì)呢？

（設(shè)計(jì)意圖：以上兩個(gè)問(wèn)題，旨在深化學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性概念的理解。通過(guò)探討定義域的對(duì)稱性，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到函數(shù)的點(diǎn)對(duì)稱性內(nèi)涵，同時(shí)使這一概念在數(shù)學(xué)的圖象中得到直觀展現(xiàn)。這不僅塑造了定義域的結(jié)構(gòu)，還深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)特性。通過(guò)探究以上兩個(gè)問(wèn)題，架起培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的橋梁，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解。）

（作者單位：陜西省安康市漢濱區(qū)漢濱高級(jí)中學(xué)）

編輯：蔚慧敏