高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)與應(yīng)用

賀煒

數(shù)形結(jié)合就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中將圖形與數(shù)據(jù)相結(jié)合，找出圖形與數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)，從而解決數(shù)學(xué)中的相應(yīng)問題。在教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合不僅為學(xué)生提供了解題思路，還能使學(xué)生掌握抽象的理論知識(shí)，并運(yùn)用到實(shí)際生活之中?？偠灾瑪?shù)形結(jié)合的核心內(nèi)容就是鍛煉學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化能力，在當(dāng)前教育形勢(shì)下提高學(xué)生的綜合能力，這對(duì)學(xué)生的知識(shí)構(gòu)架有著正向的引導(dǎo)意義。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)會(huì)利用圖形“圓”完成三角函數(shù)基本公式的推導(dǎo)。

2.利用數(shù)形結(jié)合思想，考量圖形圓與多個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，明確公式由來的具體過程。

3.參與誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和記憶，在自主探索中培養(yǎng)創(chuàng)新思維，提升解決問題的能力。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解和掌握三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的具體內(nèi)容。

教學(xué)難點(diǎn)：使用數(shù)形結(jié)合思想推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，并能夠運(yùn)用公式進(jìn)行有效的求值和計(jì)算。

三、教學(xué)過程

◆環(huán)節(jié)一：溫故知新，激趣導(dǎo)入

教師在屏幕上投射問題：

1.三角函數(shù)的符號(hào)分別是哪些？

2.sin30°=，那么sin210°，sin330°，sin150°的值是多少呢？

教師設(shè)問1：我們?cè)诔踔械臅r(shí)候已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，即那些涉及0°至90°之間角的函數(shù)。但是我們面對(duì)大于90°的角時(shí)，之前學(xué)習(xí)的正弦函數(shù)概念似乎不再適用。當(dāng)遇到一個(gè)大于90°的角時(shí)，該如何處理呢？這就是這節(jié)課我們要思考和解決的問題。

（設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)先前的知識(shí)點(diǎn)，引出新的探討話題：銳角三角函數(shù)之外的知識(shí)點(diǎn)。這樣的問題能夠激發(fā)學(xué)生的思考，讓他們自然而然地思考這些角位于哪個(gè)象限，為后續(xù)利用數(shù)形結(jié)合理論推導(dǎo)公式奠定思維基礎(chǔ)。）

◆環(huán)節(jié)二：思維延伸，學(xué)習(xí)新知

教師設(shè)問2：如何應(yīng)對(duì)上述挑戰(zhàn)呢？我們能否制定出一些策略來逐一克服這些問題？

首先，我們審視第一個(gè)問題：如何確定特定角度的正弦值？

明確：在sin210°中提取角度值，將其分成180°和30°。180°即為π，如果能明確任意角α與（π+α）之間的三角函數(shù)聯(lián)系，那么這個(gè)問題就能得到解決。

探究1：任意角α與（π+α）之間的三角函數(shù)聯(lián)系。

教師在屏幕上出示圖片（如圖1）。

圖1 角α與（π+α）的位置

教師設(shè)問3：請(qǐng)同學(xué)們觀察圖片回答下列問題。

1.角α和角（π+α）的終邊有何聯(lián)系？

2.如圖1所示，角α和角（π+α）的終邊各自與單位圓相交于點(diǎn)P1和P2，該怎么描述這兩點(diǎn)之間的位置關(guān)系呢？

3.假設(shè)點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（x，y），那么如何表示點(diǎn)P2的坐標(biāo)？

4.研究三角函數(shù)之間的關(guān)系：tanα和tan（π+α），cosα和cos（π+α），sinα和sin（π+α），這些函數(shù)在α和π+α?xí)r的值有何聯(lián)系？

明確：α與（π+α）在圖形中呈原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)系。同樣，點(diǎn)P1和點(diǎn)P2的位置也呈原點(diǎn)對(duì)稱。如果點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（x，y），那么點(diǎn)P2的坐標(biāo)將是（-x，-y）?；谶@一點(diǎn)，總結(jié)出以下規(guī)律：sin（π+α）=sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）=tanα。接下來就可以解決課堂伊始的問題了。

sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-。

（設(shè)計(jì)意圖：本練習(xí)旨在深入探究角與角之間的正弦和余弦關(guān)系。鑒于此問題出現(xiàn)于課堂開始，因此學(xué)生需要教師的持續(xù)指導(dǎo)，逐步揭示這些角度之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系。因此，在教學(xué)過程中，教師和學(xué)生應(yīng)共同協(xié)作，教師扮演啟發(fā)者和引導(dǎo)者的角色，指導(dǎo)學(xué)生通過分析圖形來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)從直觀圖形到抽象數(shù)值的過渡。）

◆環(huán)節(jié)三：思維拓展，深化理論

教師設(shè)問4：剛才我們已經(jīng)解決了sin210°的問題，接下來看第二個(gè)問題，sin330°。誰(shuí)來告訴老師如何解決這個(gè)問題？

明確：330°=360°+（-30°），即角α與-α的關(guān)系。

探究2：任意角α與-α之間的三角函數(shù)聯(lián)系。

教師設(shè)問5：接下來我們帶著分解式觀看大屏幕（如圖2所示），小組討論回答下列問題。

圖2

1.角α及其補(bǔ)角-α在單位圓上的終邊有什么關(guān)系？

2.如何描述點(diǎn)P1和點(diǎn)P2在坐標(biāo)系中的相對(duì)位置？

3.請(qǐng)確定點(diǎn)P2在坐標(biāo)系中的具體坐標(biāo)點(diǎn)。

4.探討sinα與sin（-α），cosα與cos（-α），tanα與tan（-α）的值之間的關(guān)系。

明確：角α及其對(duì)應(yīng)角（π+α）在坐標(biāo)平面上關(guān)于x軸呈現(xiàn)鏡像對(duì)稱。點(diǎn)P1和點(diǎn)P2在x軸上呈現(xiàn)對(duì)稱分布。若點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（x，y），那么點(diǎn)P2的坐標(biāo)將是（x，-y）。通過分析和推導(dǎo)，可以總結(jié)出一系列數(shù)學(xué)公式。

sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=tanα。

解決課堂問題：sin330°=sin（360°-30°）=-sin30°=-。

（設(shè)計(jì)意圖：在經(jīng)歷了首個(gè)問題的啟發(fā)性指導(dǎo)后，學(xué)生可以進(jìn)一步開展小組討論與合作，在課堂上營(yíng)造積極向上的氛圍。這種互動(dòng)不僅增強(qiáng)了師生的參與度，還激發(fā)了他們?cè)跀?shù)學(xué)和幾何領(lǐng)域的探索熱情。通過在數(shù)與形的互動(dòng)中深入研究，學(xué)生能夠更好地理解概念，并提升解決問題的技能。）

探究3：角α與（π-α）的三角函數(shù)值的關(guān)系。

教師設(shè)問6：接下來我們解決最后一個(gè)問題：sin150°，已知sin150°=sin（180°-30°），那么我們就需要知道角α與（π-α）的三角函數(shù)值的關(guān)系，接下來請(qǐng)同學(xué)們看黑板（如圖3）繼續(xù)小組討論，回答下列問題。

圖3 α與（π-α）的位置

1.角α和角（π-α）在單位圓上的終邊有什么關(guān)系？

2.如何描述點(diǎn)P1和點(diǎn)P2在坐標(biāo)系中的相對(duì)位置？

3.請(qǐng)確定點(diǎn)P2在坐標(biāo)系中的具體坐標(biāo)點(diǎn)。

4.探討sinα與sin（π-α），cosα與cos（π-α），tanα與tan（π-α）的值之間的關(guān)系。

明確：角α及其對(duì)應(yīng)角（π-α）在坐標(biāo)平面上關(guān)于y軸呈現(xiàn)鏡像對(duì)稱。點(diǎn)P1和點(diǎn)P2在y軸上呈現(xiàn)出對(duì)稱分布。若點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（x，y），那么點(diǎn)P2的坐標(biāo)將是（-x，y）。通過分析和推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出一系列數(shù)學(xué)公式。

sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα，tan（π-α）=-tanα

也就是說，sin150°=sin（180°-30°）=sin30°=。

（設(shè)計(jì)意圖：在鼓勵(lì)學(xué)生自主探索和嘗試推導(dǎo)公式的過程中，教師可觀察學(xué)生的進(jìn)展，并提供及時(shí)的反饋和指導(dǎo)。通過這種方式，學(xué)生可以從圖象中發(fā)掘公式的奧秘，同時(shí)體驗(yàn)到學(xué)習(xí)帶來的樂趣。這種教學(xué)方法旨在培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力和解決問題的技能，也加強(qiáng)了師生之間的互動(dòng)和溝通。）

◆環(huán)節(jié)四：總結(jié)概括，加速記憶

教師布置任務(wù)，讓學(xué)生背誦上述推導(dǎo)公式，同時(shí)板書寫下公式。

教師設(shè)問7：這些口訣十分容易混淆，我們能不能總結(jié)一些規(guī)律來加速記憶呢？

明確：在分析三角函數(shù)的符號(hào)特點(diǎn)時(shí)，我們注意到，對(duì)于函數(shù)sin（α），其值前面所加的正負(fù)號(hào)取決于角α所處的象限。具體來說，當(dāng)α被視為銳角時(shí)，符號(hào)的確定遵循一個(gè)簡(jiǎn)單的規(guī)則：函數(shù)名保持不變，而符號(hào)的選取則依據(jù)角度所在的象限。綜上所述，我們可以概括這些三角函數(shù)公式的特點(diǎn)為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。這一原則有助于我們快速判斷函數(shù)值的正負(fù)，簡(jiǎn)化解題的過程。

（設(shè)計(jì)意圖：采用“十字口訣”法，根據(jù)角所處的象限來判定函數(shù)符號(hào)的變化，從而深入理解公式的含義。通過這種逐步解析的方式，學(xué)生能夠更好地把握三角函數(shù)在不同象限的符號(hào)規(guī)律，進(jìn)而在實(shí)際問題中靈活運(yùn)用這些公式。）

◆環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，實(shí)際應(yīng)用

教師出示習(xí)題一

利用誘導(dǎo)公式計(jì)算：

1.cos225° 2.sin

3.sin（-） 4.cos（-2024°）

教師引導(dǎo)：在審視這些數(shù)學(xué)題目時(shí)，同學(xué)們可能會(huì)發(fā)現(xiàn)給定的角度值超出了0到2π的標(biāo)準(zhǔn)范圍。因此，我建議大家在計(jì)算過程中，將這些角度值轉(zhuǎn)換至0到2π區(qū)間內(nèi)。如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換呢？這就需要我們運(yùn)用今天所學(xué)的誘導(dǎo)公式來完成。

教師出示習(xí)題二

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生應(yīng)將誘導(dǎo)公式概念應(yīng)用于實(shí)際問題中。在解決這些題目時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生建立單位圓協(xié)助運(yùn)算，幫助其將每個(gè)角轉(zhuǎn)換為熟悉的銳角，從而利用數(shù)形結(jié)合的方法來體會(huì)題目背后的邏輯。這樣的思考方式有助于構(gòu)建解題思路，使問題變得更容易理解。）

◆環(huán)節(jié)六：課堂小結(jié)，鞏固提升

在這節(jié)課中，你有什么收獲呢？

（學(xué)生回答，教師總結(jié)）

明確：經(jīng)過這節(jié)課的深入學(xué)習(xí)，我們掌握了以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

誘導(dǎo)公式的應(yīng)用：學(xué)會(huì)如何使用誘導(dǎo)公式來轉(zhuǎn)換角度。

數(shù)形結(jié)合的策略：在解決三角函數(shù)問題時(shí)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的策略可以更直觀地理解問題，構(gòu)建解題思路。

問題解決的步驟：通過實(shí)例學(xué)習(xí)，逐步理解在面對(duì)復(fù)雜的三角函數(shù)問題時(shí)，如何通過將問題分解成更小的、可管理的部分來解決。

實(shí)踐與理論相結(jié)合：認(rèn)識(shí)到理論知識(shí)與實(shí)際問題解決之間的聯(lián)系，通過練習(xí)將所學(xué)的誘導(dǎo)公式應(yīng)用于具體題目，加深了對(duì)概念的理解。

總之，這節(jié)課學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，還學(xué)會(huì)了如何將這些抽象的概念應(yīng)用于實(shí)際問題中，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。

（作者單位：陜西省安康市漢濱區(qū)江北高級(jí)中學(xué)）

編輯：趙文靜