雙態(tài)噪聲驅(qū)動(dòng)的分?jǐn)?shù)階星型耦合網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)共振

鐘蘇川 高仕龍 史思紅 張路

摘 要： 本文研究了一類分?jǐn)?shù)階星型耦合網(wǎng)絡(luò)模型的隨機(jī)共振行為，該網(wǎng)絡(luò)由一個(gè)中心粒子和多個(gè)耦合粒子組成，其中粒子的耦合強(qiáng)度受到雙態(tài)噪聲的擾動(dòng). 本文將耦合粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的算術(shù)平均值定義為系統(tǒng)的平均場(chǎng)，然后分別討論了中心粒子和平均場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)特征和共振行為. 利用隨機(jī)平均法及變換技巧，本文首先推導(dǎo)了中心粒子和平均場(chǎng)的一階穩(wěn)態(tài)矩和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅的表達(dá)式，然后分析了中心粒子和平均場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡的一致性條件以及耦合粒子的同步條件，最后數(shù)值研究了中心粒子和平均場(chǎng)的共振行為. 仿真結(jié)果顯示，網(wǎng)絡(luò)存在豐富的共振行為：中心粒子和平均場(chǎng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)均可能出現(xiàn)“單峰共振”“單峰-單谷共振”“單谷-單峰共振”及“逆共振”等共振行為，說(shuō)明中心粒子和平均場(chǎng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對(duì)參數(shù)的依賴性很高. 此外，本文還基于中心粒子和平均場(chǎng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅給出了模型的共振區(qū). 本研究可望為分?jǐn)?shù)階星型網(wǎng)絡(luò)共振行為的控制提供理論基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞： 星型耦合網(wǎng)絡(luò)； 隨機(jī)共振； 雙態(tài)噪聲； 分?jǐn)?shù)階Langevin 系統(tǒng)

中圖分類號(hào)： O29 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A DOI： 10. 19907/j. 0490-6756. 2024. 031001

1 引言

在許多應(yīng)用系統(tǒng)（ 如物理系統(tǒng)、生化系統(tǒng)）中，隨機(jī)漲落現(xiàn)象普遍存在. 對(duì)于小尺度反應(yīng)系統(tǒng)而言，隨機(jī)漲落起著關(guān)鍵作用. 引起漲落的主要原因是系統(tǒng)本身的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)噪聲及外部環(huán)境波動(dòng)產(chǎn)生的外噪聲［1-4］. 外噪聲即通常所說(shuō)的隨機(jī)力，一般被視為消極性干擾. 然而，近年來(lái)非線性科學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的研究揭示，無(wú)規(guī)則的隨機(jī)力并不總是對(duì)宏觀秩序起消極破壞作用，在一定條件下它在產(chǎn)生相干運(yùn)動(dòng)和建立“序”上起十分積極的創(chuàng)造性作用［5］. 因此，揭示非線性條件下隨機(jī)力產(chǎn)生的各種效應(yīng)，如隨機(jī)共振（Stochastic Resonance，SR）［6-8］、相干共振（Coherent Resonance，CR）［9-11］、噪聲誘導(dǎo)相變（Noise Induced Phase Transition）［12-13］和布朗馬達(dá)（Brownian Motor）［14-16］等，成為非線性科學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理研究中的一個(gè)熱點(diǎn).

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分理論受到極大關(guān)注. 在黏彈性材料、色噪聲、混沌、反常擴(kuò)散等現(xiàn)象的研究中，分?jǐn)?shù)階微積分理論有廣泛的應(yīng)用. 分?jǐn)?shù)階微積分可以描述具有時(shí)間記憶性和長(zhǎng)程空間相關(guān)性的演化過(guò)程，比整數(shù)階微積分更適合于描述有記憶和遺傳、路徑依賴性質(zhì)的物理過(guò)程和生化反應(yīng)過(guò)程. 特別地，對(duì)隨機(jī)力作用下的分?jǐn)?shù)階朗之萬(wàn)方程或廣義朗之萬(wàn)方程的共振行為的研究已有不少. 其中，Mankin 等［17-19］對(duì)雙態(tài)和三態(tài)噪聲驅(qū)動(dòng)的分?jǐn)?shù)階線性朗之萬(wàn)方程進(jìn)行了研究，分析了乘性噪聲驅(qū)動(dòng)的線性分?jǐn)?shù)階線性朗之萬(wàn)方程的各種廣義隨機(jī)共振現(xiàn)象及機(jī)理. Zhong 等［20-22］研究了單個(gè)分?jǐn)?shù)階隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)在不同參數(shù)漲落、時(shí)延影響下的共振行為. 這些研究為分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的隨機(jī)共振成為一個(gè)新研究方向提供了可能.

然而，僅對(duì)單個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的共振行為展開(kāi)研究還不夠充分. 事實(shí)上，復(fù)雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)行為意味著我們業(yè)需要研究具有相互作用的大量個(gè)體所組成的復(fù)雜、耦合系統(tǒng). 在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，個(gè)體之間的合作行為有多種多樣的表現(xiàn)形式. 從個(gè)體耦合形式來(lái)看，耦合系統(tǒng)可以分為線性耦合和非線性耦合、最近鄰耦合、全局耦合和星型耦合網(wǎng)絡(luò)，等［23］. 此外，由于環(huán)境波動(dòng)和系統(tǒng)內(nèi)部漲落的普遍存在，隨機(jī)力廣泛存在于各網(wǎng)絡(luò)中. 因此，研究受隨機(jī)力影響的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為具有現(xiàn)實(shí)意義.

同步和共振作為典型的集群動(dòng)力學(xué)行為，是隨機(jī)動(dòng)力學(xué)和網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)新前沿和交叉點(diǎn)［24］. 在這方面，Lin 等［25， 26］研究了隨機(jī)耦合粒子在復(fù)雜環(huán)境中的集體輸運(yùn)行為，揭示了輸運(yùn)速度所具有的隨機(jī)共振和相干共振等行為對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和環(huán)境的依賴性. Gao 等［27］研究了耦合系數(shù)的冪律異質(zhì)性對(duì)一類雙穩(wěn)中心耦合系統(tǒng)集體行為的影響，觀測(cè)到共振、非共振、亞共振和超共振等現(xiàn)象. Xia 等［28］從理論和數(shù)值仿真的角度研究了具有質(zhì)量漲落的雙分?jǐn)?shù)階耦合諧振子系統(tǒng)的多種隨機(jī)共振行為及其產(chǎn)生機(jī)理. Ni 等［29］研究了隨機(jī)中心耦合布朗馬達(dá)的定向輸運(yùn)與隨機(jī)共振現(xiàn)象，分析了耦合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和噪聲對(duì)粒子輸運(yùn)及共振的影響. Lin 等［30］研究了具有截?cái)郙ittag-Leffler 噪聲的質(zhì)量漲落耦合振子的集體共振行為及其對(duì)模型參數(shù)的非單調(diào)依賴性.

就我們所知，目前對(duì)分?jǐn)?shù)階星型耦合網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)共振行為及噪聲作用機(jī)理的研究還很少見(jiàn)，本文正是這方面研究的一個(gè)嘗試. 我們的分?jǐn)?shù)階星型耦合網(wǎng)絡(luò)模型由一個(gè)中心粒子和N 個(gè)完全相同的輔助粒子構(gòu)成. 為研究方便，我們將環(huán)境的擾動(dòng)作用于耦合強(qiáng)度上的隨機(jī)力建模為雙態(tài)噪聲.通過(guò)將N 個(gè)輔助粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的算術(shù)平均定義為模型的平均場(chǎng)，我們將中心粒子和平均場(chǎng)作為主要研究對(duì)象. 我們以隨機(jī)平均和變換法求解為研究手段，推導(dǎo)獲得了中心粒子和平均場(chǎng)響應(yīng)的一階穩(wěn)態(tài)矩和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅的解析表達(dá)式，分析了中心粒子和平均場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡的一致性條件及耦合粒子的同步條件. 最后，基于網(wǎng)絡(luò)中心粒子和平均場(chǎng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅的解析表達(dá)式，我們研究了在不同參數(shù)組合情況下中心粒子和平均場(chǎng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅的共振行為. 仿真結(jié)果表明，中心粒子和平均場(chǎng)都可以產(chǎn)生“單峰共振”、“單峰-單谷共振”、“單谷-單峰共振”和“逆共振”等多種共振行為，表明網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅對(duì)參數(shù)的強(qiáng)依賴性.