彈簧雙振子模型在高考物理中的應(yīng)用

周毅慧　武維

摘? ?要：從質(zhì)心的概念出發(fā)，系統(tǒng)闡述如何在質(zhì)心參考系中運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理推導(dǎo)得出彈簧雙振子速度、加速度變化規(guī)律，并探討如何在相關(guān)高考題目中應(yīng)用有關(guān)結(jié)論解題。

關(guān)鍵詞：質(zhì)心參考系；質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；彈簧雙振子模型；高考物理；中學(xué)物理

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）5-0052-6

兩物體通過輕質(zhì)彈簧連接的運(yùn)動(dòng)模型稱為“彈簧雙振子模型”，該模型涉及到的動(dòng)力學(xué)和能量問題，是高中物理力學(xué)常見的問題，也是近幾年高考的考查熱點(diǎn)。這類問題中物體的運(yùn)動(dòng)情況復(fù)雜，涉及位移、速度、加速度等多個(gè)物理量變化，需要綜合運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律來解決。彈簧雙振子模型是一個(gè)典型的一維二體運(yùn)動(dòng)模型，如果選取系統(tǒng)的質(zhì)心作為參考系會使解題過程大大簡化。這里質(zhì)心是一個(gè)重要的力學(xué)概念，雖然高中物理教學(xué)中沒有涉及，但對學(xué)優(yōu)生而言，掌握質(zhì)心和質(zhì)心參考系，可以更清晰地分析兩物體的相互作用過程，從而快速、準(zhǔn)確地解決問題。

1? ? 彈簧雙振子模型的動(dòng)力學(xué)特征

如圖1所示，質(zhì)量分別為mA和mB的兩個(gè)物體A和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），用一根勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接起來，靜止放置在光滑水平面上。初始時(shí)刻彈簧處于原長，長度為l0?，F(xiàn)給A物體一個(gè)水平向右的初速度v0，或?qū)施加水平向右的恒力F，彈簧會被壓縮，A、B物體開始運(yùn)動(dòng)。

選取系統(tǒng)的質(zhì)心為參考系，以質(zhì)心C為原點(diǎn)，建立如圖2所示的一維坐標(biāo)系x。

當(dāng)彈簧處于原長時(shí)，設(shè)A、B物體到質(zhì)心的距離分別為lA、lB，質(zhì)心的位置應(yīng)滿足

下面在質(zhì)心參考系中給圖1（a）中A物體一個(gè)水平向右的初速度，對圖1（b）中A物體施加水平向右的恒力。兩種情況下，對彈簧雙振子運(yùn)動(dòng)模型的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行分析。

1.1? ? 慣性參考系中的彈簧雙振子

在圖1（a）所示的運(yùn)動(dòng)情形中，系統(tǒng)所受合外力為0，故質(zhì)心系為慣性參考系，質(zhì)心速度vC應(yīng)滿足mAv0=（mA+mB）vC

當(dāng)>（ｍ８／ｍＡ）>4.6時(shí)，A物體會在一段時(shí)間內(nèi)反向運(yùn)動(dòng)。令（ｍＢ／ｍＡ）=8，作出此時(shí)A、B物體的速度-時(shí)間圖像和加速度-時(shí)間圖像，如圖15、圖16所示。

本題中A、B物體質(zhì)量相等，A物體的加速度一直為正值，故A物體一直做加速運(yùn)動(dòng)，不會出現(xiàn)速度反向，所以A、B物體從靜止開始運(yùn)動(dòng)到第一次速度相等的過程中，兩物體速度相等時(shí)，A物體速度達(dá)到最大，C選項(xiàng)正確。

3? ? 總? 結(jié)

本文在質(zhì)心參考系中對“彈簧雙振子模型”的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)兩物體相對于質(zhì)心做周期相同的獨(dú)立的簡諧運(yùn)動(dòng)。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合相對運(yùn)動(dòng)知識，將物體相對地面的復(fù)雜的變加速運(yùn)動(dòng)視為隨質(zhì)心的平動(dòng)和相對質(zhì)心的簡諧運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，從而得到了彈簧雙振子加速度、速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。再將此模型的運(yùn)動(dòng)特征應(yīng)用到典型彈簧雙振子模型的時(shí)間、位移、能量問題的解決中，以說明雙振子模型運(yùn)動(dòng)特征在解決此類問題中的重要作用。

參考文獻(xiàn)：

［1］漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程 力學(xué)（第3版）［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］王建峰，魏俊梟，周明.“彈簧雙振子模型”在物理競賽中的應(yīng)用［J］.物理教學(xué)探討，2006，24（9）：47-51.

（欄目編輯? ? 陳? 潔）

收稿日期：2024-01-29

作者簡介：周毅慧（1998-），女，中學(xué)二級教師，主要從事高中物理教學(xué)工作。