反比例函數(shù)常見(jiàn)題型及解題策略探究

馬美珍

摘要：反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)函數(shù)模型，與之相關(guān)聯(lián)的題型較多，題目也靈活多樣.在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意反比例函數(shù)圖象的重要性質(zhì)，并基于這些性質(zhì)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的方法進(jìn)行分析，如此才可以迅速求得題目中的代數(shù)值或者比例系數(shù)等問(wèn)題，就是說(shuō)要注重對(duì)解題策略的總結(jié)和歸納，不斷夯實(shí)學(xué)生的解題基本功，提高學(xué)生的解題和思維能力，另外要注意培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想等，如此不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)；解題策略

1 有關(guān)比例系數(shù)k的問(wèn)題

反比例系數(shù)k的意義比較重要，也是解決有關(guān)問(wèn)題的基本入口.在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意利用數(shù)形結(jié)合法，利用“以形助教，以數(shù)解形”，使得問(wèn)題更加直觀，同時(shí)要靈活運(yùn)用系數(shù)k的幾何意義，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，將題目化難為簡(jiǎn)，達(dá)到事半功倍的效果.

例1如圖1，已知點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=-2x的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=kx的圖象上.

（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2，求k的值；

（2）若設(shè)正方形ABCD的面積為m，試用含m的代數(shù)式表示k值.

解析：（1）根據(jù)題意可知，因?yàn)辄c(diǎn)A在正比例函數(shù)y=-2x的圖象上，且其橫坐標(biāo)為-2，則當(dāng)x=-2時(shí)，y=4.所以A的坐標(biāo)為（-2，4）.

過(guò)點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，由四邊形ABCD是正方形，

得AD=AB=BC=DC=4.

又OB=2，所以D的坐標(biāo)為（-6，4）.

由點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，得

k-6=4，則k=-24.

（2）由正方形ABCD的面積為m，得

AD=AB=BC=DC=m，則點(diǎn)D和A的縱坐標(biāo)為m，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為-m2，m，OC=OB+BC=3m2.故D的坐標(biāo)為-3m2，m.

代入y=kx，得k=-3m2×m=-32m.

點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的核心就是要利用正方形的邊長(zhǎng)相等來(lái)表示各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖形代數(shù)化解決圖形有關(guān)問(wèn)題.

2 有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題

對(duì)于反比例函數(shù)中有關(guān)求解點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，在搞清楚題目已知條件的基礎(chǔ)上，找出條件之間存在的關(guān)系，通過(guò)建立未知量和已知量的聯(lián)系，找到問(wèn)題的突破口，從而可快速解決問(wèn)題.

例2如圖2，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，僅使用無(wú)刻度的直尺作圖（不用寫(xiě)作法，只保留作圖痕跡）.

（1）在圖2中畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′；

（2）點(diǎn)P在y軸上，在圖3中畫(huà)出點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′.

解析：（1）連接AO，并延長(zhǎng)交反比例函數(shù)y=kx的圖象于A′，如圖4所示，

則點(diǎn)A′即為所求.

（2）連接PA，并延長(zhǎng)交反比例函數(shù)y=kx的圖象于點(diǎn)B，連接AO，BO，并延長(zhǎng)交反比例函數(shù)y=kx的圖象于點(diǎn)A′，B′，連接B′A′，并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)P′，如圖5所示.

因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，所以O(shè)A=OA′，OB=OB′.

又∠AOB=∠A′OB′，所以△AOB≌△A′OB′，

則∠ABO=∠A′B′O.又∠BOP=∠B′OP′，

可知△BOP≌△B′OP′（ASA），所以O(shè)P=OP′.

故點(diǎn)P′即為所求.

點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)、無(wú)刻度的直尺作圖、全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題目給出的條件，理解反比例函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

3 與直線相交的問(wèn)題

一次函數(shù)與反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中兩類(lèi)非?；镜暮瘮?shù)，前者的圖象是一條直線，后者的圖象是雙曲線.對(duì)于這二者的相交問(wèn)題，首先就是要根據(jù)已知求得解析式，在此基礎(chǔ)上可以根據(jù)數(shù)形結(jié)合法求解范圍問(wèn)題，或者利用軸對(duì)稱(chēng)求有關(guān)線段或者周長(zhǎng)的最值問(wèn)題等.

例3如圖6，一次函數(shù)y=x+4的圖象與反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)且k≠0）的圖象交于A（-1，a），B兩點(diǎn).

（1）求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）當(dāng)反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍.

（3）在y軸上存在點(diǎn)P，使得△APB的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)并直接寫(xiě)出△APB的周長(zhǎng).

解析：（1）根據(jù)已知.因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，a）在一次函數(shù)y=x+4的圖象上，所以a=-1+4=3，故點(diǎn)A（-1，3）.因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，3）在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，所以k=-1×3=-3，故反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-3x.聯(lián)立y=-3x，y=x+4，解得x=-1，y=3，或x=-3，y=1，所以點(diǎn)B（-3，1）.

（2）觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)-1

（3）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接BA′交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，則△APB的周長(zhǎng)最小，如圖7所示.因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，3），所以點(diǎn)A′（1，3），

設(shè)直線BA′的表達(dá)式為y=mx+n（m≠0），

則m+n=3，-3m+n=1，解得m=12，n=52.

所以直線BA′的表達(dá)式為y=12x+52.

在y=12x+52中，令x=0，則y=52.

所以點(diǎn)P0，52.

由A（-1，3），B（-3，1），A′（1，3），可得

AB=（-1+3）2+（3-1）2=22，

A′B=（1+3）2+（3-1）2=25.

所以△APB的周長(zhǎng)為PA+PB+AB=A′B+AB=25+22.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題首先要求出函數(shù)解析式，在此基礎(chǔ)上利用圖象法，找出題目中給出的某些點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后找出線段或者周長(zhǎng)最值，尤其要注意利用點(diǎn)的位置求解范圍或最值問(wèn)題.

在日常的學(xué)習(xí)中，我們要熟練掌握各種題型的處理方法，積極思考解決各類(lèi)問(wèn)題的方法策略.在解決問(wèn)題中經(jīng)常進(jìn)行歸納與反思，總結(jié)各類(lèi)問(wèn)題的解決方法，培養(yǎng)學(xué)生自主思考和探究問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)高效解題，并能夠在后面的問(wèn)題處理中學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，更好地開(kāi)發(fā)學(xué)生的邏輯思維能力以及發(fā)散思維，從而不斷提高學(xué)生思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

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孫曉琴.數(shù)學(xué)課堂因數(shù)學(xué)思想而精彩——反比例函數(shù)圖

象與性質(zhì)的教學(xué)思考.數(shù)學(xué)之友，2011（5）：56-59.