一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題型解法初探

孟凡波

近年來，把一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合起來考查的綜合題型越來越多地出現(xiàn)在各地的中考試卷中，已成為中考的必考內(nèi)容與熱點(diǎn)題型，值得我們高度重視.現(xiàn)以黑龍江省2022年部分地市的中考真題為例，對(duì)常見的一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合類題型的解法作初步探討，供大家參考.

1 與函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的低檔題型

這種題型側(cè)重于考查對(duì)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)、解析式等基礎(chǔ)知識(shí)的理解與運(yùn)用，多為選擇題、填空題，分值在3～5分之間，難度較小.

例1（2022年大慶市中考試題）寫出一個(gè)過點(diǎn)D（0，1）且y隨x增大而減小的一次函數(shù)關(guān)系式.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)值y隨自變量x的增大而減小，所以可設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x+b.

把點(diǎn)（0，1）代入關(guān)系式得，b=1.

所以，一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+1.

故答案為：y=-x+1（答案不唯一）.

思路與方法：本題主要考查考生對(duì)一次函數(shù)性質(zhì)的理解與運(yùn)用能力.理解了一次函數(shù)的性質(zhì)（對(duì)于直線y=kx+b，當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減?。?，只需把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式即可求出b的值，進(jìn)而寫出函數(shù)關(guān)系式.

思路與方法：本題側(cè)重考查考生對(duì)反比例函數(shù)性質(zhì)的理解與靈活運(yùn)用能力.解法1利用了反比例函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用這種方法時(shí)要注意給出的圖象上的點(diǎn)是否在雙曲線的同一分支上，還要考慮到k值的符號(hào)、雙曲線的位置、函數(shù)值的增減性三者之間的相互依存關(guān)系.解法2采用了特殊值法，相比較而言，顯得非常簡(jiǎn)捷.

2 與函數(shù)解析式有關(guān)的中檔題型

這種題型常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，分值雖然在5～10分之間，但難度明顯增加，屬于中檔題型.

例3（2022年齊齊哈爾市中考試題）如圖1，A是反比例函數(shù)y=kx（x<0）圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB垂直y軸于點(diǎn)D，且D為線段AB的中點(diǎn).若C為x軸上任意一點(diǎn)，且△ABC的面積為4，則k=.

解析：設(shè)點(diǎn)Aa，ka，

a＜0，因?yàn)镈為線段AB的中點(diǎn)，AB垂直于y軸，

所以AB=2AD=-2a.

又因?yàn)镾△ABC=12×（-2a）×ka=4，所以k=-4.

故答案為：-4.

思路與方法：本題主要考查利用面積求反比例函數(shù)中k的值，解題的關(guān)鍵是能否靈活運(yùn)用S△ABC=12×（-2a）×ka=4這個(gè)關(guān)系式.

例4（2022年哈爾濱市中考試題）已知反比例函數(shù)y=-6x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，a），則a的值為.

解析：把點(diǎn)（4，a）代入y=-6x，得a=-64=-32.

故答案為：-32.

思路與方法：本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，明確函數(shù)圖象若經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就符合函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.只要把點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出a的值.

3 一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合類高檔題型

這種綜合類題型，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，常以壓軸題的形式出現(xiàn)，分值在10～15分之間，側(cè)重于考查考生的思維方式、創(chuàng)新能力和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大，屬于高檔題型.

例5（2022年綏化市中考試題）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y1=k1x+b與坐標(biāo)軸分別交于A（5，0），B0，52兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y2=k2x的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接OP，△OAP的面積為54.

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)y2>y1時(shí)，求x的取值范圍；

（3）若C為線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+KC最小時(shí)，求△PKC的面積.

解析：（1）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y1=k1x+b與坐標(biāo)軸分別交于A（5，0），B0，52兩點(diǎn)，所以把A（5，0），B0，52兩點(diǎn)分別代入y1=k1x+b，可得5k1+b=0，b=52，解得k1=-12，b=52.所以一次函數(shù)的解析式為y1=-12x+52.

如圖3，過點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，因?yàn)锳（5，0），

所以O(shè)A=5.又因?yàn)镾△PAO=54，所以12×5×PH=54，解得PH=12.由-12x+52=12，可得x=4，

所以P4，12.

因?yàn)辄c(diǎn)P4，12在雙曲線上，所以k2=4×12=2.

故反比例函數(shù)的解析式為y2=2x.

（2）根據(jù)題意，聯(lián)立方程組得y=-12x+52，y=2x.

解得x1=1，y1=2，x2=4，y2=12.所以點(diǎn)K的坐標(biāo)為（1，2）.

根據(jù)函數(shù)圖象可知，反比例函數(shù)圖象在直線上方時(shí)，有04，所以當(dāng)y2>y1時(shí)，x的取值范圍為04.

（3）如圖3，作出點(diǎn)K關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K′，連接KK′交x軸于點(diǎn)M，則K′（1，-2），OM=1，再

連接PK′交x軸于點(diǎn)C，連接KC，則PC+KC的值最小.

設(shè)直線PK′的解析式為y=mx+n，

把P4，12，K′（1，-2）代入，得m+n=-2，4m+n=12，

解得m=56，n=-176.

所以直線PK′的解析式為y=56x-176.

當(dāng)y=0時(shí)，x=175，

所以C175，0，則OC=175.

所以MC=OC-OM=175-1=125，

AC=OA-OC=5-175=85，

AM=OA-OM=5-1=4.

因此S△PKC=S△AKM-SKMC-S△PAC=12×4×2-12×125×2-12×85×12=4-125-25=65.

思路與方法：本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

第（1）小題先運(yùn)用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)△OAP的面積為54和直線AB的解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出反比例函數(shù)解析式.

第（2）小題根據(jù)已知條件列出方程組并求解即可得到點(diǎn)K的坐標(biāo)，然后再結(jié)合函數(shù)的圖象便可得出x的取值范圍.

第（3）小題先作出點(diǎn)K關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K′，然后連接KK′，使PK′交x軸于點(diǎn)C，再連接KC，則PC+KC的值最小，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后根據(jù)S△PKC=S△AKM-SKMC-S△PAC的關(guān)系即可求出△PKC的面積.

例6（2022年大慶市中考試題）已知反比例函數(shù)y=kx和一次函數(shù)y=x-1，其中一次函數(shù)圖象過（3a，b），（3a+1，b+k3）兩點(diǎn).

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）如圖4，函數(shù)y=13x，y=3x的圖象分別與函數(shù)y=kx（x>0）圖象交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP周長(zhǎng)最小？若存在，求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：（1）把點(diǎn)（3a，b），3a+1，b+k3代入y=x-1，得b=3a-1，b+k3=3a+1-1，解得k=3.所以反比例函數(shù)解析式是y=3x.

（2）存在點(diǎn)P使△ABP周長(zhǎng)最小.理由如下：

解y=13x，y=3x和y=3x，y=3x，得

x=3，y=1和x=1，y=3.所以A（3，1），B（1，3）.

如圖5，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交y軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)A，P，B′在一條直線上時(shí)，線段AB′的長(zhǎng)度最短，所以存在點(diǎn)P使△ABP周長(zhǎng)最小，此時(shí)△ABP的周長(zhǎng)為AB+BP+AP=AB+PB′+AP=AB+B′A=（3-1）2+（1-3）2+（3+1）2+（1-3）2=25+22.

思路與方法：本題主要考查函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用軸對(duì)稱求出點(diǎn)P的位置是解題關(guān)鍵.第（1）小題較簡(jiǎn)單，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；第（2）小題是具有探索性的問題，只要能夠作出點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交y軸于點(diǎn)P，即可解決三角形周長(zhǎng)最小的問題.

綜上所述，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合類題型考查的知識(shí)點(diǎn)多，范圍廣，涵蓋了各種題型，因其難易程度不同，分值也不相同，解題的思路與方法也不盡相同.但是不管哪種題型，解題的關(guān)鍵都是要在數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)下，在理解函數(shù)的性質(zhì)、看懂函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，敏銳地從中捕捉到所需要的信息，利用好交點(diǎn)的坐標(biāo)等已知條件，準(zhǔn)確地把握和運(yùn)用其中的數(shù)量關(guān)系，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等相關(guān)知識(shí)和方法加以解答.