基于Matlab 軟件的傅里葉級數(shù)及其應(yīng)用的教學(xué)實踐探索

孫金秋

摘要：學(xué)生學(xué)習(xí)傅里葉級數(shù)及其應(yīng)用時感覺晦澀難懂，計算煩瑣，對該知識點掌握效果不佳。文章從傅里葉級數(shù)在高等數(shù)學(xué)課程中的學(xué)習(xí)，以及傅里葉級數(shù)在后繼課程電路、信號與系統(tǒng)、電力電子技術(shù)中應(yīng)用的學(xué)習(xí)均借助了Matlab軟件。利用該軟件直觀地觀察傅里葉級數(shù)，使學(xué)生更好地理解傅里葉級數(shù)的核心思想。并借助該軟件完成傅里葉級數(shù)的數(shù)學(xué)計算，減輕學(xué)生計算負擔(dān)，從而將更多的精力用于采用傅里葉級數(shù)解決實際工程問題。實踐證明，該教學(xué)模式提高了學(xué)生對傅里葉級數(shù)及其應(yīng)用的掌握。

關(guān)鍵詞：傅里葉級數(shù)；Matlab軟件；教學(xué)；工程問題；應(yīng)用

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2024）13-0177-04 開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID） ：

0 引言

傅里葉級數(shù)理論的出現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了巨大的影響，隨后被廣泛地應(yīng)用于電力、電子、計算機、通信和控制等多個領(lǐng)域解決實際問題[1]。

傅里葉級數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)該內(nèi)容時感覺晦澀難懂。即使聽懂的同學(xué)也只會用部分積分法求傅里葉級數(shù)的系數(shù)，然后把函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。而對于為什么要學(xué)傅里葉級數(shù)？傅里葉級數(shù)應(yīng)用于哪些場合？學(xué)生并不知道。很多高校在高等數(shù)學(xué)的授課中只簡單介紹該部分內(nèi)容，并不作為考試內(nèi)容；甚至有的高校將其作為自學(xué)內(nèi)容。導(dǎo)致學(xué)生該部分內(nèi)容的基礎(chǔ)非常薄弱，嚴重影響后繼課程中采用傅里葉級數(shù)解決實際工程問題的學(xué)習(xí)效果。

Matlab是大型的數(shù)學(xué)計算軟件，具有強大的數(shù)據(jù)計算能力，并可以將復(fù)雜和抽象的事物采用圖像化顯示。對于理科和工科學(xué)生，將來大部分工作中的運算都可以借助Matlab完成[2]。因此本文將Matlab軟件引入傅里葉級數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程中，利用該軟件讓學(xué)生深刻理解傅里葉級數(shù)，并能夠熟練利用軟件計算傅里葉級數(shù)，從而能夠采用傅里葉級數(shù)高效率解決實際工程問題。

1 基于Matlab 軟件的傅里葉級數(shù)教學(xué)探索

1.1 傅里葉級數(shù)

傅里葉級數(shù)由法國數(shù)學(xué)家傅里葉提出，即滿足條件（狄利克雷條件）的任何周期函數(shù)可以由一系列不同頻率的正弦（余弦）函數(shù)疊加而成。這種相加形式又稱為級數(shù)，所以也稱為傅里葉級數(shù)[3]。

A0 稱為周期函數(shù) f（t）的直流分量或恒定分量；A1m cos（Ωt + ?1 ）稱為周期函數(shù)f（t）的基波分量簡稱基波，周期為T；其他各項稱為周期函數(shù) f（t）的高次諧波。

1.2 傅里葉級數(shù)的教學(xué)探索

目前高等數(shù)學(xué)的常規(guī)教學(xué)中，首先講述上述計算步驟，再討論一下當(dāng)函數(shù)具有對稱性時，怎樣簡化某些系數(shù)的計算。這種方式只強調(diào)了傅里葉級數(shù)的數(shù)學(xué)理論性和計算技巧，學(xué)生感覺學(xué)習(xí)難度大，缺乏興趣。導(dǎo)致在后繼課程用到傅里葉級數(shù)解決專業(yè)問題時，大多數(shù)同學(xué)力所不及。因此本文探索將Matlab軟件引入傅里葉級數(shù)的教學(xué)中。

授課時介紹完傅里葉級數(shù)的理論計算后，接著講述怎樣用Matlab軟件獲得周期信號的傅里葉級數(shù)。在Matlab軟件的m文件中首先生成周期信號，然后分別計算常數(shù)項和各系數(shù)。例如求方波信號的傅里葉級數(shù)的m文件如圖1所示。運行該m文件后，既可以在命令窗口中直接獲得方波信號傅里葉級數(shù)展開后的常數(shù)項和各項系數(shù)，也可以采用圖形化的形式獲得各項系數(shù)，如圖2所示?？梢宰寣W(xué)生自己改變方波的某些參數(shù)，觀察各項系數(shù)的變化，也可以指導(dǎo)學(xué)生編寫其他周期信號的傅里葉級數(shù)展開。借助Matlab軟件完成周期信號的傅里葉級數(shù)，既可以減少學(xué)生對復(fù)雜數(shù)學(xué)計算的抵觸，又可以讓他們盡早學(xué)會用計算機輔助學(xué)習(xí)和工作，適應(yīng)時代的發(fā)展。

除了引導(dǎo)學(xué)生用Matlab軟件計算周期信號的傅里葉級數(shù)外，還可以將傅里葉級數(shù)與專業(yè)課提前銜接融合。將后繼專業(yè)課程中關(guān)于傅里葉級數(shù)的應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)授課中舉例，使得學(xué)生盡早了解自己專業(yè)，并通過實際應(yīng)用提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。譬如對于自動化專業(yè)，傅里葉級數(shù)會用于信號與線性系統(tǒng)課程中的頻域分析，電路課程中的非正弦周期電路的分析，電力電子技術(shù)課程中諧波分析等。

2 基于Matlab 軟件的傅里葉級數(shù)應(yīng)用教學(xué)探索

2.1 傅里葉級數(shù)在信號與系統(tǒng)課程中應(yīng)用教學(xué)探索

傅里葉級數(shù)及傅里葉變換是信號與系統(tǒng)課程中的重點內(nèi)容。通過傅里葉級數(shù)或傅里葉變換可以進行系統(tǒng)的頻域分析。周期信號傅里葉級數(shù)展開后可以得到其幅度頻譜和相位頻譜。非周期信號通過傅里葉變換可以得到其頻譜函數(shù)。從時域轉(zhuǎn)換到頻域，對學(xué)生而言非常抽象，普遍認為該內(nèi)容是這門課程最難的部分。因此本文探索借助Matlab形象化地展示時域與頻域的聯(lián)系。

本文在Matlab中設(shè)計了典型周期信號傅里葉級數(shù)展開的可視化GUI程序用于課堂演示，如圖3所示。在該程序中可以選擇不同占空比的方波或三角波，以及選擇傅里葉級數(shù)展開的項數(shù)。選擇后，便可以采用3D界面顯示該信號的傅里葉級數(shù)展開情況。以方波為例，在時域中可以直觀看到方波分解為直流項、基波和各次諧波。同時可以根據(jù)分解的結(jié)果，獲得頻域中直流項、基波和各次諧波的幅值，畫出該信號的幅頻特性。通過該3D界面直觀顯示，學(xué)生更容易將時域和頻域聯(lián)系起來，從時域過渡到頻域。

周期信號傅里葉級數(shù)展開后，理論上項數(shù)趨于無窮大。展開的項數(shù)越多，其與原信號越接近。但項數(shù)越多，后期處理時計算量就會越大。所以傅里葉級數(shù)展開的項數(shù)需折中考慮。因此本文除了采用圖3的GUI程序直觀地顯示信號的傅里葉級數(shù)展開后其頻率特性外，還借助該軟件獲得周期信號傅里葉級數(shù)展開后不同項數(shù)的擬合效果。圖4和圖5是方波信號展開項數(shù)分別是5和50的擬合效果圖。

通過Matlab 軟件的直觀顯示，學(xué)生更加深入地理解傅里葉級數(shù)。從而能夠更好地利用傅里葉級數(shù)解決專業(yè)課中的工程問題。

2.2 傅里葉級數(shù)在電路課程中應(yīng)用教學(xué)探索

周期信號的傅里葉級數(shù)展開在電路課程中的典型應(yīng)用為非正弦周期電路的分析。該課程中首先介紹直流穩(wěn)態(tài)電路的分析，然后介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析。如果電路中的激勵為非正弦周期信號，譬如方波、三角波等，那該怎樣分析呢？

例如：RL串聯(lián)電路如圖6所示，當(dāng)激勵為圖7所示的方波時，求電感兩端的電壓。

這時便可引入傅里葉級數(shù)展開解決該實際問題。首先將方波信號傅里葉級數(shù)展開，然后分別計算前面3-5項為激勵時電路對應(yīng)的響應(yīng)，最后根據(jù)疊加定理將各個激勵下的響應(yīng)相加便可，即諧波分析法。學(xué)生熟練掌握Matlab軟件后，可以直接采用本文2.2小節(jié)中的方法求出周期信號傅里葉級數(shù)的前面各項，然后進行電路的后繼計算。這樣避開傅里葉級數(shù)的手算，從而減輕學(xué)生的計算量，讓學(xué)生有更多的精力用于采用傅里葉級數(shù)解決實際問題。

本文為了讓學(xué)生更好地理解諧波分析法，還在Matlab 軟件中，采用Simulink 編寫了電路的仿真程序，分別直接采用圖7種方波作為激勵對圖6的電路作用和采用方波傅里葉級數(shù)展開的前三項和作為激勵對圖6的電路作用，然后比較兩種情況下電感兩端的電壓。驗證諧波分析法的可行性。仿真程序如圖8 所示。

2.3 傅里葉級數(shù)在電力電子技術(shù)課程中應(yīng)用教學(xué)探索

電力電子技術(shù)課程講述電能形式的變換，主要包括AC/DC、AC/AC、DC/AC、DC/DC四種。因電力電子電路屬于開關(guān)、非線性電路，該課程的學(xué)習(xí)對學(xué)生而言難度非常大。除了常規(guī)的分段線性化和波形分析法，本文將Matlab軟件中的Simulink用于該課程的仿真教學(xué)。除此之外，還在該課程中用傅里葉級數(shù)分析諧波問題。

整流電路將輸入的交流電變換成直流電。理想的直流電為平滑的直線，但實際獲得的直流電有脈動。也就是獲得的直流電除了直流項還包括了各種頻率的諧波。譬如單相橋式整流電路輸出的直流電如圖9所示，三相橋式整流電路輸出的直流電如圖10 所示。怎樣定量地評價單相橋式整流電路和三相橋式整流電路輸出的直流電哪個更優(yōu)？這時必須借助于傅里葉級數(shù)。將兩種不同整流電路的輸出電壓進行傅里葉級數(shù)展開后，第一項是理想輸出的直流電，后面項數(shù)便是基波和各次諧波，基波和諧波占有的比重越小，則其輸出的直流電就更優(yōu)。

單相電壓型逆變電路常見的控制方式有固定脈沖控制和PWM控制兩類。其獲得的交流輸出電壓的波形如圖11和圖12所示。怎樣定量的評價固定脈沖控制和PWM控制哪種效果更好呢？這時也必須借助于傅里葉級數(shù)。將輸出電壓傅里葉級數(shù)展開后，第一項常數(shù)項通常為零，第二項的基波項是理想的正弦交流電，后面的各項便是各次諧波。顯而易見，各次諧波含有量越低越好。

由此可見，電力電子技術(shù)定量計算分析中，很多場合都需要借助傅里葉級數(shù)展開。如果手動計算，計算量非常大，而且容易算錯。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過前期課程的學(xué)習(xí)對傅里葉級數(shù)深度掌握后，便可以熟練地利用Matlab軟件對各種周期信號傅里葉級數(shù)展開，然后進一步分析。

3 教學(xué)效果

本文從傅里葉級數(shù)在高等數(shù)學(xué)課程中的學(xué)習(xí)，以及傅里葉級數(shù)在后繼課程電路、信號與系統(tǒng)、電力電子技術(shù)中應(yīng)用的學(xué)習(xí)均借助了Matlab軟件。一方面可以采用該軟件直觀地觀察傅里葉級數(shù)，使得學(xué)生更好地理解傅里葉級數(shù)的核心思想。另外一方面可以借助該軟件完成常規(guī)的數(shù)學(xué)計算，減輕學(xué)生的計算負擔(dān)，可以將更多的精力用于采用傅里葉級數(shù)解決實際問題。經(jīng)過基礎(chǔ)課、專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課不斷地強化學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠熟練掌握傅里葉級數(shù)，以及能夠用傅里葉級數(shù)解決實際問題。

參考文獻：

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【通聯(lián)編輯：王力】

基金項目：北方國際大學(xué)聯(lián)盟教育教學(xué)研究課題：“面向智能制造，強化工程設(shè)計”的獨立學(xué)院新工科專業(yè)改造升級的探索與實踐，課題編號：20210615001