軸對稱在線段和差最值中的應(yīng)用

金花

摘要：最值問題在中考試題中呈現(xiàn)多樣性的特征，軸對稱在線段和差最值中的應(yīng)用十分典型，其主要特點(diǎn)是立足基礎(chǔ)、拓展思維.本文中以具體試題為例，分析并提出相應(yīng)的教學(xué)策略，滲透模型觀念，加強(qiáng)學(xué)生推理能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：最值問題；教學(xué)策略；模型觀念；推理能力

在近幾年各地中考中，幾何最值問題屢屢受到命題者的關(guān)注，此類問題不僅涉及平面幾何的基礎(chǔ)知識，還涉及幾何圖形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系、方程與不等式、函數(shù)知識等.因此，一批立意新穎、構(gòu)造精巧、考點(diǎn)突出的新題、活題脫穎而出.這類試題能較好地考查學(xué)生幾何探究和推理的能力及數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.線段和差的最值問題也是考查的熱點(diǎn)問題之一.

1 試題分析

試題（2020年無錫中考第18題）如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A，⊙B的半徑分別為2和1，P，E，F(xiàn)分別是邊CD，⊙B，⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是.

對于本題，當(dāng)年很多考生覺得這道題解決起來非常困難，究其原因：學(xué)生對于通常情況下（已知兩個(gè)定點(diǎn)）距離之和最小的問題有自己的解決設(shè)想，但是這道題有點(diǎn)超出常規(guī)，主要在于圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)無法確定.其實(shí)，學(xué)生忽略了E，F(xiàn)兩點(diǎn)所處的位置——E，F(xiàn)分別是⊙B，⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，而對于不相交的兩圓，當(dāng)兩點(diǎn)為連接兩圓圓心的線段與兩圓的交點(diǎn)時(shí)，它們之間的距離最短，故只要作出點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)B′，即可作出⊙B關(guān)于CD的對稱圖形⊙B′，連接AB′，與⊙A，⊙B′的交點(diǎn)即為點(diǎn)F和點(diǎn)E的對稱點(diǎn)E′.

本題是運(yùn)用軸對稱性質(zhì)的一個(gè)典型問題，所不同的是，將問題的背景設(shè)置到菱形和圓中，對于這一類問題，只要能抓住問題的關(guān)鍵，那么問題的解決將會變得很簡單.

簡解：作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)B′，因?yàn)榱庑蔚匿J角為60°，所以點(diǎn)B′應(yīng)在AD的延長線上，且AD=DB′，此時(shí)⊙A，⊙B′與AB′的交點(diǎn)即為點(diǎn)F和點(diǎn)E的對稱點(diǎn)E′.由對稱性，可知DB′=AD=3.又兩圓的半徑分別為2和1，所以E′F的最小值為3.即PE+PF的最小值是3.

2 教學(xué)啟示

2.1 要求學(xué)生自己作圖，培養(yǎng)用圖探“路”的意識

有經(jīng)驗(yàn)的教師在教學(xué)過程中，通常會幫助學(xué)生歸納、列舉一些常見的基本圖形，因?yàn)榛緢D形往往具有一定代表性，能化繁為簡，幫助學(xué)生在復(fù)雜的問題中抓住思考的方向，縮短思考的途徑，更快找到解決問題的突破口.其實(shí)，教師在幫助學(xué)生做歸納工作之前，不如讓學(xué)生自己去畫圖、探究.畫圖是動(dòng)手操作的過程，草圖能幫助學(xué)生挖掘出圖形背后隱藏的信息，從而尋找到解決問題的切入點(diǎn)、突破口.上述試題就是一個(gè)很好的例子，通過畫圖思考問題的方向，在做中思、做中悟、做中學(xué)，在做中自然地發(fā)現(xiàn)問題、思考問題并解決問題.

2.2 善于歸納常用解法，培養(yǎng)學(xué)生建模意識

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，但是很多問題的解決還是有章可循的.對于線段的和差取值問題，真正需要把握的是以下幾個(gè)常見的基本題型，這也是解決這一類問題的突破口.

練習(xí)1如圖2，已知直線l及直線外兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A，B在直線同側(cè)）.

（1）在直線l上求作一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小；

（2）在直線l上求作一點(diǎn)Q，使得|QA-QB|的值最大.

練習(xí)2如圖3，已知直線l及直線外兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A，B在直線兩側(cè)），在直線l上求作一點(diǎn)Q，使得直線l恰好平分∠AQB.

練習(xí)3如圖4，在∠ACB內(nèi)部有一點(diǎn)P，在∠ACB兩邊AC和BC上分別找一點(diǎn)M，N，使得△PMN的周長最短.

上述三個(gè)練習(xí)題是利用軸對稱解決問題的最基本的題型，通過歸納同一類有共性的圖形，增強(qiáng)學(xué)生對圖形的認(rèn)知，深化學(xué)生對圖形性質(zhì)的理解，從而促進(jìn)問題的解決，同時(shí)也有利于培養(yǎng)學(xué)生建模的意識.

2.3 重視知識的綜合運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生推理能力

對于不會做的題目，學(xué)生講得最多的一句話就是“這道題我看都看不懂”，其實(shí)這句話從一個(gè)角度反映了學(xué)生不會站在數(shù)學(xué)的角度思考問題.解題

過程中的思考，包括以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

（1）分析題意，從中獲取有用的信息

從已知條件中捕捉有用的信息，對于解決問題而言至關(guān)重要.在審題的過程中，要弄清楚：條件是什么，分別有哪些？結(jié)論是什么，分別有哪些？如何建立條件與結(jié)論之間的關(guān)系？

（2）相關(guān)知識點(diǎn)的運(yùn)用

對條件有了深刻的認(rèn)識后，就可以思考相關(guān)的已有知識，包括有關(guān)的定理、公式、性質(zhì)、基本圖形等，進(jìn)而尋求解題思路，所有這些都是解決問題的依據(jù).

（3）綜合運(yùn)用，解決問題

結(jié)合從題中獲取的重要信息，綜合利用所學(xué)知識、方法和技能，問題必然迎刃而解.

下面就兩條線段距離之和最短作簡單的說明：

變式1如圖5，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點(diǎn)，P是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為.

變式1雖然將問題設(shè)置在正方形中，但還是比較好把握的.只要將正方形邊框擦掉，問題即可轉(zhuǎn)化為：已知線段AC以及線段AC外兩點(diǎn)E，B，在線段AC上找一點(diǎn)P，使得PE+PB的值最小.這樣就將問題轉(zhuǎn)化為練習(xí)1中的基本題型.

教師在教學(xué)中，要能夠指導(dǎo)學(xué)生從比較復(fù)雜問題中抽象出基本圖形，這樣再復(fù)雜的圖形問題，都會比較容易解決.

變式2如圖6所示，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）.

A.1

B.3

C.2

D.3＋1

變式2不僅要考慮距離和最小，更要考慮垂線段最短的問題.

變式3如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn).

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若M是該拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值.

變式3將問題放置在拋物線背景中，在解決第（2）小題時(shí)，可從中找到基本圖形——拋物線的對稱軸以及這條直線外兩點(diǎn)O，A，在對稱軸上找到一點(diǎn)M，使得AM+OM的值最小.要解決這個(gè)問題，利用拋物線的對稱性，可知AM+OM的最小值即為線段AB的長.

變式4如圖8，A為⊙O中半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，B是弧AM的中點(diǎn)，P為直徑MN上的一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為1，求AP+BP的最小值．

類似地，變式4同樣轉(zhuǎn)化為已知直徑MN以及MN外兩點(diǎn)A，B，在MN上找到一點(diǎn)P，使得AP+BP的值最小．只要利用圓的對稱性，即可在圓上找到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A′，利用圓心角的性質(zhì)求出∠A′OB的度數(shù)為90°，就可以求出A′B即AP+BP的最小值為2．

對于幾何中一些常見問題和典型問題的教學(xué)，教師應(yīng)該做個(gè)有心人，能夠在教學(xué)過程中指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納、整理，對于同種類型的問題要學(xué)會比較，找出解決問題的關(guān)鍵所在.在教學(xué)中，要能夠突顯“要求學(xué)生自己作圖，培養(yǎng)用圖探路的意識；善于歸納常用解法，培養(yǎng)學(xué)生建模意識；重視知識的綜合運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生推理能力”三個(gè)方面的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和邏輯思維能力，深入淺出地解決問題并揭示問題的本質(zhì)，讓學(xué)生在遇到問題時(shí)，通過猜想、驗(yàn)證等培養(yǎng)演繹推理能力，在整理總結(jié)中形成歸納推理能力，從而在變式訓(xùn)練中發(fā)展推理能力.