加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想教學(xué)提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

徐東良

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要重視知識的傳授，又要重視挖掘數(shù)學(xué)思想方法，以此讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，形成正確的數(shù)學(xué)觀.初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想等.以下筆者以“勾股定理的應(yīng)用”為例，充分挖掘蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，以期通過數(shù)學(xué)思想方法的合理運(yùn)用來開闊學(xué)生的解題思路，優(yōu)化解題過程，提升學(xué)生分析和解決問題的能力.

1 方程思想

方程思想是指從問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，通過恰當(dāng)引入未知量，尋找未知量和已知量的數(shù)量關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組，然后通過解方程或解方程組使問題得以獲解.

例1如圖1，在矩形ABCD中，BC=3，且BC>AB，E為AB上任意一點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)）.設(shè)BE=t，將△BCE沿CE對折，得到△FCE，延長EF交CD延長線于點(diǎn)G，則tan∠CGE=（用含t的代數(shù)式表示）.

分析：根據(jù)對折的性質(zhì)易得∠EFC=∠EBC=90°，∠BEC=∠FEC.又四邊形ABCD為矩形，所以AB∥CD，則∠BEC=∠ECG，故∠ECG=∠FEC，則GE=GC.設(shè)GC=x，又BE=EF=t，則FG=x-t.由FC=BC=3，在Rt△GFC中，根據(jù)勾股定理，得（x-t）2+32=x2，這樣求得x的值后，問題即可迎刃而解.

評注：例1難度不大，但是涉及的知識點(diǎn)較多，如解題時(shí)運(yùn)用了矩形的性質(zhì)、翻折（軸對稱）變換的性質(zhì)、勾股定理、正切的定義等，解題的基本思路就是根據(jù)已知條件尋找等量關(guān)系，從而將已知與未知建立聯(lián)系，運(yùn)用方程思想方法解決問題.通過以上問題的求解充分體現(xiàn)了方程思想的簡便、快捷.

方程思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的應(yīng)用，對于一些比較復(fù)雜的問題，只要抓住相等關(guān)系，就能實(shí)現(xiàn)化繁為簡的轉(zhuǎn)化.另外，方程與函數(shù)、方程與不等式緊密聯(lián)系，在教學(xué)中合理滲透方程思想可以提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升.

2 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想又稱轉(zhuǎn)化與化歸思想，其中“轉(zhuǎn)”是轉(zhuǎn)化思想的核心.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，合理的轉(zhuǎn)化往往可以達(dá)到化繁為簡、化陌生為熟悉的效果，從而順利地解決新問題、獲得新知識.其實(shí)，很多其他的數(shù)學(xué)思想方法也是從轉(zhuǎn)化思想衍生而來的，如數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、類比思想等，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中合理地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，可以使問題變得更加簡單化、熟悉化、直觀化，有利于問題的解決，促進(jìn)知識的掌握.

例2將兩塊三角尺按照圖2所示的方式擺放，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求S四邊形DBCF.

分析：根據(jù)已知條件顯然難以直接求得四邊形BDCF的面積，因此在解題的過程中需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化.觀察圖形特點(diǎn)可知，若能夠分別求出△ABC和△ADF的面積，那么兩個(gè)面積作差即可順利解決問題.在Rt△ABC中，根據(jù)已知易得AC=BC=32，S△ABC=9.

在Rt△DEB中，根據(jù)條件，運(yùn)用方程的思想方法易得BD=23，則AD=6-23.

在Rt△ADF中，由AD=DF=6-23，可求得S△ADF=24-123.

這樣分別求得△ABC和△ADF的面積后，問題即可獲解.

評注：在求解過程中，若遇到難以直接求解的情況時(shí)往往考慮轉(zhuǎn)化.轉(zhuǎn)化策略是解決數(shù)學(xué)問題最常見的方法，也是最通用的策略.本題所求是不規(guī)則圖形的面積，解決此類問題的常用方法就是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和差問題.因此，在日常教學(xué)中，應(yīng)重視轉(zhuǎn)化思想的滲透與挖掘，提高解題效率.

3 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形建立聯(lián)系，從而通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化使問題更加直觀化、嚴(yán)謹(jǐn)化.在解題的過程中合理利用數(shù)形結(jié)合思想，有利于解題過程的優(yōu)化和解題效率的提升.

例3已知x，y是正實(shí)數(shù)，且x+y=4，求x2+1+y2+4的最小值.

分析：若從代數(shù)的角度出發(fā)，可以嘗試將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，運(yùn)用求函數(shù)最值的方法來求解，但是顯然該方法較為復(fù)雜，運(yùn)算量較大，影響解題效率.不妨轉(zhuǎn)變策略，嘗試從形的角度出發(fā).認(rèn)真分析題目不難發(fā)現(xiàn)，所求可以看成兩個(gè)直角三角形的斜邊之和，于是將問題進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：

如圖3，已知AB=4，AC=1，BD=2，P為AB上一動點(diǎn)，求PC+PD的最小值.這樣通過構(gòu)造如圖3所示的直角三角形，即可求得CD=5.設(shè)AP=x，則結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)可知

x2+1+y2+4在C，P，D三點(diǎn)共線時(shí)取最小值5.

評注：從以上解題過程可以看出，通過構(gòu)造幾何圖形使問題變得更加直觀化，其極大地減少了運(yùn)算量，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來，優(yōu)化解題過程，提高解題效率.

4 分類討論思想

分類討論思想實(shí)質(zhì)上就是先化整為零，然后積零為整.在解決問題的過程中，學(xué)生經(jīng)常會遇到一些所給的對象不能統(tǒng)一研究的問題，解決此類問題時(shí)就需要按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，以大化小，各個(gè)擊破.合理運(yùn)用分類討論思想可以幫助學(xué)生更好地理解和解決問題，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性.

例4在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.如圖4，若∠C=90°，則a2+b2=c2.如圖5、圖6，△ABC不是直角三角形，試猜想a2+b2與c2具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出你的猜想并加以證明.

分析：若△ABC不是直角三角形，則它可能是銳角三角形或鈍角三角形.

觀察圖5可知，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，a2+b2>c2；

觀察圖6可知，當(dāng)△ABC是鈍角三角形，且∠C為鈍角時(shí)，a2+b2

形成猜想后，學(xué)生運(yùn)用方程思想，通過恰當(dāng)?shù)匾胛粗靠梢詫⑷切蔚娜龡l邊建立聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題.

評注：在解題的過程中經(jīng)常會遇到需要分類討論的問題，只有將問題合理分類才能保證結(jié)果的完整、準(zhǔn)確.值得注意的是，同一問題按照不同的標(biāo)準(zhǔn)分類則有不同的劃分形式，因此在分類時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏.

5 整體代換思想

在解決問題的過程中，大家往往習(xí)慣從問題的局部出發(fā)，運(yùn)用分而治之的策略解決問題，然有些問題只有從整體視角出發(fā)，才會獲得柳暗花明的效果.整體思想是解題中最常用、最基本的思想，有些問題若運(yùn)用整體思想去探究可以消除某些障礙，實(shí)現(xiàn)化繁為簡的轉(zhuǎn)化.

例5在Rt△ABC中，∠BAC=90°，M，N為BC的三等分點(diǎn)，已知AM=4，AN=3，則BC=.

分析：要求斜邊BC的長，最先考慮的就是分別求出AC，AB這兩條直角邊的長度，顯然根據(jù)已知條件難以直接求出它們的長，為此解題時(shí)需另辟蹊徑.根據(jù)已知M，N為BC的三等分點(diǎn)，

不妨過這兩點(diǎn)分別向AB，BC作垂線（如圖7），以此構(gòu)造多個(gè)直角三角形，從中尋找解題的突破口.

設(shè)BD=a，CG=b.由三角形的中位線定理可知，DE=EA=BD=a，AF=FG=GC=b.又四邊形DAFM和四邊形EAGN是矩形，所以MD=AF=b，GN=EA=a.于是在Rt△DAM中，由勾股定理，得DA2+DM2=AM2，即（2a）2+b2=42=16.

同理，在Rt△ANG中，易得（2b）2+a2=32=9.

兩式相加得，a2+b2=5.在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=9（a2+b2）=45，所以BC=35.

評注：對于例5，根據(jù)已知條件很難分別求出AC和AB的具體值的，因此在解題時(shí)將AB2+AC2看成一個(gè)整體，運(yùn)用整體思想方法順利地解決了問題.這樣在解題時(shí)從整體視角出發(fā)，使復(fù)雜的問題變得簡單化，大大地減少了運(yùn)算量，降低了思維難度，充分體現(xiàn)了整體思想的優(yōu)勢.

總之，數(shù)學(xué)思想方法是在日常學(xué)習(xí)和運(yùn)用中逐漸形成的，它是一個(gè)長期積累與完善的過程.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生挖掘蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，以此幫助學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，逐步提高學(xué)生解題能力.