從前后一致角度看“韋達(dá)定理”的教學(xué)引入

蔡維

摘要：“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”（又稱“韋達(dá)定理”）在新一版課標(biāo)中補(bǔ)修改為“必學(xué)”內(nèi)容.圍繞“韋達(dá)定理”新授課教學(xué)研究也逐漸多起來(lái).那么如何在“韋達(dá)定理”引入時(shí)體現(xiàn)代數(shù)教學(xué)的前后一致？比如遵循從特殊到一般的研究思路，又如基于正、反兩個(gè)角度的研究方法，再如引導(dǎo)學(xué)生用不同方法驗(yàn)證根與系數(shù)的關(guān)系.

關(guān)鍵詞：前后一致；韋達(dá)定理；特殊到一般

重視數(shù)學(xué)概念教學(xué)是很多教師都認(rèn)同的一種教學(xué)理念.然而，由于種種原因，如何提升概念教學(xué)的品質(zhì)或深度，仍然是一個(gè)值得深入鉆研的課題.最近，筆者有機(jī)會(huì)觀摩學(xué)習(xí)了某區(qū)的優(yōu)秀課評(píng)課活動(dòng)，課題為“一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系”（后文簡(jiǎn)稱“韋達(dá)定理”），近十位數(shù)學(xué)教師同課異構(gòu)，各具特色.各地選送的參賽教師在教學(xué)基本功、課堂組織上都不相上下，但是從他們對(duì)“韋達(dá)定理”引入的教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)看，教師對(duì)教材內(nèi)容、教學(xué)方法的理解還是有差別的.本文中梳理參賽教師對(duì)“韋達(dá)定理”引入的三種典型教學(xué)設(shè)計(jì)，并給出簡(jiǎn)評(píng)，提供案例研討.

1 “韋達(dá)定理”引入的三種教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)1通過(guò)列表計(jì)算方程的兩根之和與積引出韋達(dá)定理

活動(dòng)：解方程并填寫下表1.

教學(xué)組織：給學(xué)生印發(fā)了導(dǎo)學(xué)案，導(dǎo)學(xué)案上將表格制好，學(xué)生只需計(jì)算填空即可.不到2分鐘，很多學(xué)生都填好了，然后教師組織學(xué)生匯報(bào)解答，進(jìn)一步概括出“韋達(dá)定理”的內(nèi)容.再安排學(xué)生利用一元二次方程的求根公式進(jìn)行證明.

簡(jiǎn)評(píng)：這種引入方式簡(jiǎn)單直接、開(kāi)門見(jiàn)山，學(xué)生接受新知也很順暢，課堂進(jìn)展速度快，為后續(xù)進(jìn)行大量練習(xí)贏得了時(shí)間.然而，這種設(shè)計(jì)不能向?qū)W生傳遞如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的研究思路，屬于“去頭、掐尾、燒中段”的陳舊教學(xué)方式.在上述課堂中，學(xué)生對(duì)“為什么要學(xué)習(xí)韋達(dá)定理？”“怎樣想到分析兩根之和、兩根之積？”這些本原問(wèn)題缺少思考，都是教師用“填表”強(qiáng)加給學(xué)生，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中只是像一個(gè)計(jì)算器一樣完成了計(jì)算，所謂的發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)思維能力的培養(yǎng)是較低層次的.

教學(xué)設(shè)計(jì)2直接從一元二次方程的求根公式推導(dǎo)“韋達(dá)定理”

教師：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，且a不為0），當(dāng)Δ＝b2-4ac≥0時(shí)，兩根為x1＝-b+b2-4ac2a，x2＝-b-b2-4ac2a.

從求根公式可以看出，一元二次方程的根可以用“系數(shù)”來(lái)表示，反映了根與系數(shù)之間的關(guān)系.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)研究根與系數(shù)的更多關(guān)系.你們想從哪些方向進(jìn)行研究呢？

生：我們還想研究?jī)筛汀筛e、兩根之差、兩根之商.

教師：很好，請(qǐng)同學(xué)們分組研究，然后全班交流展示研究成果.

（學(xué)生分組研究了5分鐘左右.）

生：我們小組發(fā)現(xiàn)x1＋x2＝-ba，x1·x2＝ca，x1-x2＝

b2-4aca，x1x2＝b-b2-4acb+b2-4ac.（投影展示了他們小組是如何根據(jù)方程兩根運(yùn)算得出的.）

教師：很好！我們發(fā)現(xiàn)，兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關(guān)系比較簡(jiǎn)潔，教材上將它們作為一元二次方程的根與系數(shù)的重要性質(zhì)，以后可以直接運(yùn)用.

簡(jiǎn)評(píng)：這種教學(xué)設(shè)計(jì)從一元二次方程的求根公式出發(fā)，直接安排學(xué)生繼續(xù)研究根與系數(shù)的其他聯(lián)系，學(xué)生能說(shuō)出想研究“兩根之和、兩根之積、兩根之差、兩根之商”，雖然推進(jìn)了本課學(xué)程，但筆者對(duì)學(xué)生為什么想到要研究“兩根之和、積、差、商”還是感覺(jué)“不夠自然”（有可能教師在課前對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行了研究方向的提示）.另外，教師認(rèn)為學(xué)生研究出兩根之差、兩根之商的形式不夠簡(jiǎn)潔，就不將其歸納為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，這樣的解釋也比較勉強(qiáng)、說(shuō)服力不強(qiáng).此外，從代數(shù)教學(xué)的前后一致來(lái)看，最好能按照從特殊到一般來(lái)設(shè)計(jì).即先研究二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，再過(guò)渡到二次項(xiàng)系數(shù)不一定為1的“更一般情形”.

教學(xué)設(shè)計(jì)3研究一元二次方程根與系數(shù)之間聯(lián)系的其他表現(xiàn)形式

師：前面我們已學(xué)習(xí)了一元二次方程的求根公式，說(shuō)明方程的系數(shù)a，b，c決定了方程根的值，反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系.那么，根與系數(shù)之間的聯(lián)系還有其他的表現(xiàn)形式嗎？這節(jié)課我們一起來(lái)研究.

問(wèn)題1你能看出方程（x-2）（x-3）＝0的兩根嗎？將該方程化為形如x2＋px＋q＝0的一般形式，你能看出兩根與p，q之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生很快看出：p＝-5，q＝6.

問(wèn)題2你能看出方程（x-x1）（x-x2）＝0（x1，x2為已知常數(shù)）的兩根嗎？將該方程化為形如x2＋px＋q＝0的一般形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：x1＋x2＝-p，x1·x2＝q.

教師結(jié)合PPT給出一段數(shù)學(xué)史話，據(jù)說(shuō)是數(shù)學(xué)家韋達(dá)的一種證明方法：

設(shè)關(guān)于x的方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，則

x21＋px1＋q＝0，①

x22＋px2＋q＝0.②

由①-②，得，x21-x22＋px1-px2＝0.

整理，得（x1-x2）（x1＋x2＋p）＝0.因?yàn)閤1≠x2，所以x1＋x2＋p=0，即x1＋x2＝-p.再將其代入①中，可得x1·x2＝q.

問(wèn)題3對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，其中a不一定為1，那么它的兩根之和、兩根之積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系？（提示：可根據(jù)求根公式探究.）

學(xué)生根據(jù)求根公式進(jìn)行加、乘運(yùn)算之后，很快得出：x1＋x2＝-ba，x1·x2＝ca.

簡(jiǎn)評(píng)：這種設(shè)計(jì)的思路主要遵循了人教版九年級(jí)上冊(cè)教材中相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的安排，并進(jìn)行了加工轉(zhuǎn)化，是“用教材教”的體現(xiàn)，立意較高.首先是從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，學(xué)生剛學(xué)習(xí)過(guò)用因式分解法解一元二次方程，能直接看出問(wèn)題1、問(wèn)題2的兩根，再將方程展開(kāi)為一般形式，有利于看出兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關(guān)系；再將問(wèn)題“一般化”，符合代數(shù)教學(xué)從簡(jiǎn)單出發(fā)，逐次深入的研究習(xí)慣.此外，這種教學(xué)設(shè)計(jì)，努力讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)或提出研究?jī)筛汀筛e與系數(shù)的關(guān)系，相比前兩種教學(xué)設(shè)計(jì)要更加自然一些.

2 “韋達(dá)定理”的教學(xué)要努力體現(xiàn)前后一致

基于“三個(gè)理解”（理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)）來(lái)看韋達(dá)定理的教學(xué)，筆者以為主要從以下三個(gè)方向做好代數(shù)教學(xué)的前后一致，即體現(xiàn)從特殊到一般的研究思路，體現(xiàn)從正反兩方面研究的視角，體現(xiàn)從多角度驗(yàn)證性質(zhì)的方法.以下分別展開(kāi)簡(jiǎn)述.

（1）教學(xué)要體現(xiàn)從特殊到一般的研究思路

韋達(dá)定理的教學(xué)，一般先從特殊的一元二次方程出發(fā)，即二次項(xiàng)系數(shù)為1的情形，并且能運(yùn)用“十字相乘法”快速看出兩根的方程，然后將其展開(kāi)為一般式對(duì)比兩根與系數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)生往往能自主發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系，然后“一般化”為字母系數(shù)的探究、歸納與概括.這個(gè)教學(xué)過(guò)程是學(xué)生從具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，概括出以前尚未知曉的一般規(guī)律與方法，并將其應(yīng)用于新問(wèn)題的解決，屬于層次較高的“發(fā)現(xiàn)型概括”.

（2）教學(xué)要體現(xiàn)從正反兩方面研究的視角

我們知道，一元二次方程的解法要解決的是“給定方程，求根”的問(wèn)題，而“給定方程”就是“給定系數(shù)”，然后求出確定的根，即方程的根是由系數(shù)所確定的.這個(gè)教學(xué)邏輯前后都是一致的，比如七年級(jí)一元一次方程ax＋b＝0（a，b為常數(shù)，a≠0）的解是x＝-ba.在數(shù)學(xué)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象從正面研究之后，往往還要從反面看看是否有值得研究的問(wèn)題.基于這樣的逆向思考，如果給出一元二次方程的兩根，那么方程會(huì)有怎樣的形式呢？從而引出韋達(dá)定理的研究?jī)?nèi)容.

（3）教學(xué)要體現(xiàn)從多角度驗(yàn)證性質(zhì)的方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)表明，“好的數(shù)學(xué)定理”往往有多種證明方法，不同的證明方法能關(guān)聯(lián)不同的數(shù)學(xué)知識(shí)或方法.韋達(dá)定理也是一個(gè)“好的數(shù)學(xué)定理”，教學(xué)過(guò)程中教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行驗(yàn)證、確認(rèn)，除運(yùn)用求根公式直接運(yùn)算驗(yàn)證之外，還可向?qū)W生推介韋達(dá)的證明方法.此外，還可將一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）轉(zhuǎn)化為x2＋bax＋ca＝0，再借助之前已證明過(guò)的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系來(lái)解釋，體現(xiàn)了一題多解的思想.在多角度驗(yàn)證性質(zhì)環(huán)節(jié)多花費(fèi)一些教學(xué)時(shí)間，看似擠占了后續(xù)練習(xí)鞏固的時(shí)間，實(shí)則對(duì)促進(jìn)學(xué)生深刻理解根與系數(shù)關(guān)系十分重要，因?yàn)樽寣W(xué)生看到數(shù)學(xué)新知與此前方法之間的廣泛聯(lián)系、互通，能促進(jìn)學(xué)生深刻理解、長(zhǎng)久記憶.

參考文獻(xiàn)：

章建躍.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（1）：61-63.

涂榮豹，陳嫣.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的概括.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004（1）：17-22.