做數(shù)學(xué)：做思悟證為主線的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作課實(shí)踐

馬云飛 高學(xué)春

單純依賴模仿與記憶的教學(xué)常常是低效甚至無(wú)效的，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更有效.因此，在教學(xué)的過(guò)程中，教師倘若能最大限度地引導(dǎo)學(xué)生自主參與到學(xué)習(xí)中去，以動(dòng)手操作為手段，以自主探究為方法，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、討論等活動(dòng)中體會(huì)探究的快樂(lè)，體驗(yàn)“做中學(xué)”的樂(lè)趣，力圖使學(xué)生通過(guò)“做實(shí)驗(yàn)”的主動(dòng)探究過(guò)程領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，深度理解知識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)他們的動(dòng)手實(shí)踐能力、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新精神，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最終有效推進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).基于上述分析，筆者結(jié)合“菱形的判定”的教學(xué)，嘗試以操作與探究為主線設(shè)計(jì)了一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生思維能力和探究能力的發(fā)展，以落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 課前慎思

作為一種特殊的平行四邊形，菱形多出了條件“一組鄰邊相等”以及一些特殊性質(zhì).因此，類比平行四邊形和矩形的判定方法去研究菱形是十分可行的.同時(shí)，該階段的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的邏輯推理能力，且形成了初步的幾何直觀意識(shí).基于上述學(xué)情分析和思考，筆者大膽創(chuàng)新，在學(xué)生得出菱形的三個(gè)判定定理后，設(shè)計(jì)了拾級(jí)而上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)參與、大顯身手，成為課堂教學(xué)的主角，以落實(shí)各種數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 核心內(nèi)容設(shè)計(jì)

探究活動(dòng)1：“折”中“想”.

如圖1，請(qǐng)?jiān)囍眠@張矩形紙片剪出一個(gè)菱形.

師生活動(dòng)：學(xué)生取出事先準(zhǔn)備好的材料，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單思考后獨(dú)立操作，獲得了創(chuàng)造性操作成果.教師在巡視過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了好的創(chuàng)意，并請(qǐng)?jiān)撋窒碜髌罚ㄈ鐖D2），最后師生一同梳理創(chuàng)造性思路，并予以證明.

設(shè)計(jì)意圖：本章節(jié)平行四邊形知識(shí)中與折疊相關(guān)的問(wèn)題不在少數(shù)，巧妙滲透于日常教學(xué)中才能較好地突破難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和空間想象能力.此處教師基于對(duì)教材內(nèi)容的審視和數(shù)學(xué)知識(shí)的理解確立教學(xué)目標(biāo)，為教材例題增設(shè)新的背景，讓新知的生成輕松、自然.探究活動(dòng)2：“畫”中“思”.

探索1：嘗試在只有一把有刻度直尺的條件下畫出一個(gè)平行四邊形，并闡明理由.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生拿到一把有刻度的直尺，自然需要考慮其作用，除去畫直線外，還可以度量長(zhǎng)度.

基于此，學(xué)生得出如下方法：

①基于平行四邊形的三大要素“邊、角及對(duì)角線”的角度思考，并選擇邊或?qū)蔷€展開(kāi)探究，畫出一組相互平分的對(duì)角線，讓探究獲解.

②基于三角形的中位線定理這一角度展開(kāi)思考，該定理具有一定的特殊性，一個(gè)題設(shè)的前提下得出了兩個(gè)結(jié)論，即闡明了位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.有了這樣的鋪墊，容易發(fā)現(xiàn)以上結(jié)論剛好能與平行四邊形的判定定理“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”相溝通.有了如上思考，學(xué)生很快畫出了一個(gè)任意三角形，且通過(guò)測(cè)量確定三邊中點(diǎn)，并依次連接兩條中位線，此時(shí)兩條中位線及鄰邊的一半構(gòu)成一個(gè)平行四邊形.

③與方法②的思考角度相同，先任意畫出一個(gè)四邊形，并用直尺測(cè)量并確定好四條邊的中點(diǎn)，接著同樣地依次連接各邊的中點(diǎn)，得到的中點(diǎn)四邊形就是一個(gè)平行四邊形.

設(shè)計(jì)意圖：事實(shí)上，工具越少的情況下，作圖的難度就越大，這一活動(dòng)極好地考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和推理能力.此處教師這樣的設(shè)計(jì)，目的在于引導(dǎo)學(xué)生擺脫常規(guī)的尺規(guī)作圖的束縛，僅僅借助一把有刻度的直尺嘗試作圖，通過(guò)得到的數(shù)量關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.因此，學(xué)生順理成章地生成了方法①，并進(jìn)一步借助平行四邊形的判定定理生成了后續(xù)的方法②與方法③.這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)極大地訓(xùn)練了學(xué)生的思維能力，使得學(xué)生的腦洞大開(kāi)，為后續(xù)的深度探究作足準(zhǔn)備.

探索2：嘗試在只有一把有刻度直尺的條件下畫出一個(gè)菱形，并闡明理由.

學(xué)生活動(dòng)：由于有了活動(dòng)1的鋪墊，學(xué)生漸入佳境，很快有了想法和創(chuàng)意，并得出了如下方法：

①先畫出一個(gè)等腰△ABC，令A(yù)B=AC，測(cè)量出底邊的中點(diǎn)D，連接AD，AD同樣為底邊上的高.進(jìn)一步延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使得DE=AD，得到的ABEC是菱形.

②畫出一個(gè)等腰三角形，測(cè)量三邊中點(diǎn)，依次連接中點(diǎn)后與兩腰的一半所圍即為菱形（此處可通過(guò)三角形中位線定理證明）.

③首先，畫出一個(gè)對(duì)角線相等的四邊形，并測(cè)量出每條邊的中點(diǎn)；接著依次連接各條邊的中點(diǎn)，所得的中點(diǎn)四邊形就是所求菱形（此處同樣可通過(guò)三角形數(shù)學(xué)中位線定理證明）.

設(shè)計(jì)意圖：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終”.學(xué)習(xí)很多時(shí)候是一種“旅行”，在這個(gè)過(guò)程中，以動(dòng)手操作為指引進(jìn)行探索，可以建構(gòu)起屬于自己的知識(shí)結(jié)構(gòu).這里，教師通過(guò)變式自然而然地將學(xué)生引向本節(jié)課的重難點(diǎn)，讓學(xué)生再一次去畫菱形的同時(shí)獲得認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)和歸納，從而發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

探究活動(dòng)3：“轉(zhuǎn)”中“證”.

將圖3中的兩張紙條（等寬）交叉疊放一起，試著判斷重合部分所構(gòu)成的四邊形ABCD的形狀.思考：若兩張紙條的長(zhǎng)都是8 cm，寬都是2 cm，那么四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值是多少？最大值呢？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)教師事先準(zhǔn)備好的兩張紙條進(jìn)行探索，先動(dòng)手旋轉(zhuǎn)，再測(cè)量邊長(zhǎng)，并發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD的邊長(zhǎng)均相等，繼而想方設(shè)法予以證明.進(jìn)一步地，學(xué)生繼續(xù)旋轉(zhuǎn)紙條，探究取到最小值或最大值的情形如圖4，圖5.

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)需要讓學(xué)生以主角的身份去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造.通過(guò)上述旋轉(zhuǎn)＋證明的過(guò)程，學(xué)生揭開(kāi)了初學(xué)新知的困惑，并在此過(guò)程中學(xué)會(huì)了發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，同時(shí)深化了認(rèn)知，提升了實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，逐步積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3 教學(xué)反思

3.1 巧妙設(shè)計(jì)激學(xué)生之情，助力思維拔節(jié)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的身心感受與情感體驗(yàn)對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)十分重要，激學(xué)生之情，可以影響知識(shí)獲取的速度，可以落實(shí)核心素養(yǎng)的培育.本課中，教師通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)來(lái)調(diào)節(jié)學(xué)生的學(xué)習(xí)心向，讓學(xué)生以更加飽滿的熱情投入到探究中.同時(shí)，教師用知識(shí)的魅力打動(dòng)學(xué)生，讓學(xué)生在不斷發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)對(duì)知識(shí)的探索，水到渠成地助力思維的拔節(jié).

3.2 探究活動(dòng)因?qū)W生之知，落實(shí)素養(yǎng)發(fā)展

教師在設(shè)計(jì)活動(dòng)時(shí)需從學(xué)生之知出發(fā)，深度鉆研教材，精選教學(xué)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生探動(dòng)手操作的同時(shí)深度思考和深度探究，最終達(dá)成“已然知之”的效果.本課中，正是由于教師在選擇活動(dòng)時(shí)能多番考慮，才使得后續(xù)的探究活動(dòng)更好地活化思維，使其學(xué)會(huì)遷移應(yīng)用，落實(shí)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

總之，有效的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)設(shè)計(jì)不僅可以揭示知識(shí)的形成過(guò)程，還能促進(jìn)知識(shí)內(nèi)涵和外延的拓展.以操作和探究為主線設(shè)計(jì)教學(xué)，因?qū)W生之知設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生變“聽(tīng)”為“做”，變“被動(dòng)接受”為“主動(dòng)探究”，在引領(lǐng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中“學(xué)數(shù)學(xué)”，感悟數(shù)學(xué)的真諦，發(fā)展數(shù)學(xué)思維和智慧，水到渠成地落實(shí)直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).當(dāng)然開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，還能有效地促進(jìn)教師教學(xué)方式的的轉(zhuǎn)變，有利于整個(gè)初中數(shù)學(xué)校本課程的研究與開(kāi)發(fā).

參考文獻(xiàn)：

施正建.合理使用數(shù)學(xué)教材，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版下旬），2017（4）：58.

寧銳，李昌勇，羅宗緒.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)及其教學(xué)意義.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（2）：2429.