基于整體視角構(gòu)建系統(tǒng)思維

高凱亮

摘要：基于整體視角的教學(xué)，有助于學(xué)生從整體上把握學(xué)習(xí)內(nèi)容，感悟數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，同時(shí)也有助于培養(yǎng)系統(tǒng)思維.“有理數(shù)的乘方”這節(jié)課將類比乘法運(yùn)算的由來(lái)，構(gòu)建出乘方運(yùn)算，最后在整體視角下建立“加、減、乘、除、乘方”五種運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生深層次理解乘方運(yùn)算.

關(guān)鍵詞：整體性；系統(tǒng)思維；乘方；運(yùn)算

“有理數(shù)的乘方”是有理數(shù)的第五種運(yùn)算，也是有理數(shù)章節(jié)最后一種運(yùn)算.因此，筆者在一次校級(jí)研究課中采用從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的視角引入的方式，讓學(xué)生在活動(dòng)中感受研究乘方運(yùn)算的必然性，自主意識(shí)到（-2）4與-24的區(qū)別，通過(guò)對(duì)“有理數(shù)乘方運(yùn)算的冪的符號(hào)規(guī)律”等問(wèn)題的探討，促使學(xué)生積累一定的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)思考問(wèn)題的思維方式，課堂取得了較好的教學(xué)效果.

1 基于學(xué)習(xí)價(jià)值的教學(xué)分析

基于“有理數(shù)的乘方”的學(xué)習(xí)價(jià)值進(jìn)行分析，體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

（1）感悟有理數(shù)運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系，樹立整體觀念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出，需要從整體上把握教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，樹立整體觀念.學(xué)生在學(xué)習(xí)“有理數(shù)的乘方”之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加、減、乘、除四種運(yùn)算，從數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)來(lái)看，乘方運(yùn)算是特殊的乘法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，乘法運(yùn)算又是特殊的加法運(yùn)算，減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，因此，有理數(shù)的加法運(yùn)算是其他類型運(yùn)算的“根基”.從整體視角構(gòu)建出乘方運(yùn)算，有助于學(xué)生更好地把握乘方運(yùn)算的本質(zhì)，感悟有理數(shù)運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系，也為后續(xù)構(gòu)建“有理數(shù)的混合運(yùn)算”中的運(yùn)算順序埋下伏筆.

（2）積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展運(yùn)算能力

運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力.在運(yùn)算過(guò)程中觀察出一些運(yùn)算規(guī)律有助于積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，形成運(yùn)算技巧，發(fā)展運(yùn)算能力.在有理數(shù)乘方的運(yùn)算過(guò)程中通過(guò)觀察、歸納“有理數(shù)乘方運(yùn)算的冪的符號(hào)規(guī)律”，進(jìn)而積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，便于后續(xù)進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)能快速確定運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，通過(guò)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證與總結(jié)歸納等過(guò)程，促進(jìn)運(yùn)算能力的發(fā)展.

2 “有理數(shù)的乘方”教學(xué)過(guò)程

2.1 情境引入，探究新知

核心問(wèn)題1前面學(xué)習(xí)了有理數(shù)的哪些運(yùn)算？運(yùn)算結(jié)果的名稱分別叫什么呢？（加、減、乘、除；和、差、積、商.）

追1：前面學(xué)習(xí)有理數(shù)的加、減、乘、除四種運(yùn)算，說(shuō)是四種運(yùn)算，能否簡(jiǎn)化一下呢？

生：可以簡(jiǎn)化成加法和乘法兩種運(yùn)算，因?yàn)闇p法可以轉(zhuǎn)化成加法，除法可以轉(zhuǎn)化成乘法.

追2：能具體說(shuō)說(shuō)是如何轉(zhuǎn)化的嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)回顧減法法則“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，明晰可以將有理數(shù)的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算.

依據(jù)除法法則“除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，明確可以將有理數(shù)的除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算.通過(guò)對(duì)核心問(wèn)題1的探討，學(xué)生能夠自主意識(shí)到四種運(yùn)算其實(shí)可以簡(jiǎn)化成兩種運(yùn)算，滲透轉(zhuǎn)化思想，并回顧每一種運(yùn)算結(jié)果的名稱，為接下來(lái)賦予乘方運(yùn)算結(jié)果名稱的必要性埋下伏筆.

核心問(wèn)題2你見過(guò)各個(gè)加數(shù)都相同的加法運(yùn)算嗎？這樣的加法運(yùn)算可以怎樣簡(jiǎn)便表示呢？類似地，各個(gè)乘數(shù)都相同的乘法運(yùn)算可以怎樣簡(jiǎn)便表示呢？

師：例如，2＋2＋2＋2可以表示為4×2，這樣表示較為簡(jiǎn)潔，由此，我們學(xué)習(xí)的乘法誕生了！類似地，2×2×2×2可以簡(jiǎn)潔地表示為24，因此，2×2×2×2＝24＝16，請(qǐng)同學(xué)們注意它與4×2的區(qū)別.

追1：類似地，如何表示4個(gè)（-2）相乘呢？如何表示5個(gè)13相乘呢？寫出它們的運(yùn)算結(jié)果.（學(xué)生寫下來(lái)，教師希沃投影.）

追2：類似于這樣的乘法算式寫得完嗎？更一般的情形如何表示呢？（用字母表示.）

追3：從哪里獲得的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？（加法、乘法運(yùn)算律.）

追4：冪具有怎樣的結(jié)構(gòu)呢？（底數(shù)、指數(shù).）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)回顧乘法算式的由來(lái)，明晰乘法運(yùn)算是特殊的加法運(yùn)算，從書寫形式上感受乘法運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性；類似地，引出乘方運(yùn)算的定義，在此過(guò)程中感悟乘方運(yùn)算的本質(zhì)是乘法運(yùn)算，為從整體視角感悟“加、減、乘、除、乘方”五種運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系埋下伏筆.

特別說(shuō)明，教師在該教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中需要放慢腳步.追問(wèn)1中讓學(xué)生表示4個(gè)（-2）相乘、5個(gè)13相乘時(shí)，需要全體學(xué)生都嘗試書寫.七年級(jí)初期的學(xué)生整體觀念較為薄弱，大部分學(xué)生容易將4個(gè)（-2）相乘錯(cuò)誤表示為-24，將5個(gè)13相乘錯(cuò)誤表示為153.此處是本節(jié)課的難點(diǎn)之一，筆者執(zhí)教時(shí)有意識(shí)讓學(xué)生對(duì)比-24與（-2）4，153與135在書寫上的區(qū)別，通過(guò)小組研討引導(dǎo)學(xué)生感悟兩種表示方法的不同含義，在研討過(guò)程中讓學(xué)生意識(shí)到加了括號(hào)就代表一個(gè)整體，滲透整體思想；學(xué)生對(duì)這兩種表示方法含義的理解會(huì)直接影響后續(xù)包含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算的正確率，因此，在乘方運(yùn)算的新授課上就要讓學(xué)生厘清此類問(wèn)題.利用追問(wèn)2讓學(xué)生自主意識(shí)到用字母表示乘方運(yùn)算的必要性，滲透從特殊到一般研究問(wèn)題的路徑.在該教學(xué)片段教師需要逐漸形成結(jié)構(gòu)化的板書（圖1）.

2.2 例題精解，總結(jié)算法

例計(jì)算：

（1）27；（2）（-3）4；（3）-43；

（4）-234；（5）02 022.

追1：如何進(jìn)行乘方運(yùn)算？

追2：02 022＝0；那么02 023，02 024，……，等于多少？由此，你有什么猜想呢？

師生活動(dòng)：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生嘗試獨(dú)立解決，教師批改例題完成較快的學(xué)生的解答，由小組長(zhǎng)輔助批改，盡量做到全員批改，根據(jù)小組長(zhǎng)匯報(bào)的批改情況，進(jìn)行有針對(duì)性的講解.批改過(guò)程中教師需要特別關(guān)注后進(jìn)生的完成情況，確保全體學(xué)生“雙基”目標(biāo)的達(dá)成.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：根據(jù)學(xué)生例題的完成情況展開追問(wèn).追問(wèn)1的目的是形成乘方運(yùn)算的一般性算法，滲透轉(zhuǎn)化思想.追問(wèn)2的目的是引導(dǎo)學(xué)生歸納出“0的任何正整數(shù)次冪都是0”，教師可引導(dǎo)學(xué)生用乘方的定義解釋其原因，深化對(duì)乘方運(yùn)算的理解.

2.3 探究符號(hào)規(guī)律，形成運(yùn)算技巧

題組1計(jì)算：（1）（-3）2；（2）（-3）3；

（3）-124；（4）-125.

題組2計(jì)算：（1）32；（2）33；（3）124；（4）125.

追1：觀察題組1，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追2：觀察題組2，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追3：對(duì)比題組1與題組2，你又有哪些發(fā)現(xiàn)？你能對(duì)（-a）2n＝a2n，（-a）2n＋1＝-a2n＋1進(jìn)行解釋嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：本環(huán)節(jié)在學(xué)生獨(dú)立完成兩個(gè)題組后展開三個(gè)追問(wèn)，學(xué)生先進(jìn)行小組討論，再匯報(bào).對(duì)于討論中目標(biāo)不明確的小組，教師需要適時(shí)介入指導(dǎo)，幫助學(xué)生將問(wèn)題聚焦到乘方運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)和冪的什么元素有關(guān)系.通過(guò)追問(wèn)1與追問(wèn)2，進(jìn)一步總結(jié)出“負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)”，在總結(jié)規(guī)律的過(guò)程中積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，形成運(yùn)算技巧.通過(guò)追問(wèn)3，學(xué)生能夠自主發(fā)現(xiàn)（-3）2＝32，（-3）3＝-33，

自主意識(shí)到平方等于9的數(shù)有兩個(gè)，分別是3和-3，教師引導(dǎo)學(xué)生用乘方的定義對(duì)其進(jìn)行解釋.追問(wèn)3實(shí)際上是乘方運(yùn)算的應(yīng)用，并讓學(xué)生嘗試用字母表示該規(guī)律，體現(xiàn)規(guī)律的一般性.

2.4 暢談收獲

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？你對(duì)有理數(shù)的運(yùn)算有了哪些認(rèn)識(shí)？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生暢所欲言，最后將問(wèn)題聚焦到感悟有理數(shù)的“加、減、乘、除、乘方”運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系上，并完善核心問(wèn)題1中的板書（略），形成能體現(xiàn)五種運(yùn)算內(nèi)在聯(lián)系的板書（圖2）.

運(yùn)算類型加減乘除乘方……

運(yùn)算結(jié)果名稱和差積商幕……

2.5 發(fā)現(xiàn)乘方模型，感受數(shù)學(xué)價(jià)值

師：同學(xué)們，生活中有乘方運(yùn)算的實(shí)例嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：列舉拉面、折紙等實(shí)例，讓學(xué)生在課堂上動(dòng)手操作折紙，在折紙過(guò)程中記錄折紙的次數(shù)與層數(shù)之間的關(guān)系，感受乘方模型在生活中隨處可見，觸手可及，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí).通過(guò)PPT視頻，了解一張紙對(duì)折105次后是否比宇宙還要大？感受隨著折紙次數(shù)的增加，層數(shù)變化的速度越來(lái)越快，滲透“對(duì)應(yīng)、變化”數(shù)學(xué)思想.

3 總結(jié)與反思

3.1 基于整體視角，構(gòu)建系統(tǒng)思維

系統(tǒng)思維有助于研究者把握問(wèn)題本質(zhì).簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，不是就事論事，而是需要從整體上對(duì)事物進(jìn)行全面思考；整體性原則是系統(tǒng)思維的核心，是發(fā)展系統(tǒng)思維的必要條件.基于整體視角的教學(xué)有助于學(xué)生形成有邏輯的知識(shí)網(wǎng)，厘清相關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，助力提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).整體視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)一般分為“總—分—總”三個(gè)流程，首先需要由核心問(wèn)題引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生在整體視角下提出研究的問(wèn)題（總），再通過(guò)具體活動(dòng)對(duì)其展開研究（分），最后又一次在整體視角下將研究的數(shù)學(xué)對(duì)象與相關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行耦合連接（總）.例如，本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“加、減、乘、除”四種運(yùn)算，筆者執(zhí)教時(shí)有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧了乘法運(yùn)算的來(lái)源與價(jià)值后，為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性，在乘法運(yùn)算的基礎(chǔ)上遷移出乘方運(yùn)算，體會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)問(wèn)題的便捷，感受學(xué)習(xí)乘方運(yùn)算的合理性與必然性，接下來(lái)通過(guò)兩個(gè)有層次的活動(dòng)對(duì)乘方運(yùn)算展開研究，本課小結(jié)中又引導(dǎo)學(xué)生感受到五種運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)思考問(wèn)題的思維方式.

3.2 關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”是研究“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要導(dǎo)向，正所謂“解題運(yùn)算要提升，結(jié)構(gòu)分析應(yīng)先行”.本節(jié)課筆者在每一個(gè)環(huán)節(jié)中都滲透了需要關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”的意識(shí)，例如由核心問(wèn)題2引出乘方運(yùn)算后，從“式結(jié)構(gòu)”上讓學(xué)生直觀感受到引入乘方運(yùn)算表示特殊的乘法具有簡(jiǎn)潔性.在“冪”的概念引出后，筆者追問(wèn)“冪具有怎樣的結(jié)構(gòu)呢？”（由底數(shù)與指數(shù)組成），有意識(shí)地讓學(xué)生從整體與局部?jī)蓚€(gè)視角認(rèn)識(shí)“冪”的結(jié)構(gòu).“探究符號(hào)規(guī)律”環(huán)節(jié)，在對(duì)比中讓學(xué)生自主意識(shí)到（-3）2＝32，（-3）3＝-33，再運(yùn)用乘方的定義解釋，并嘗試用字母表示該規(guī)律，通過(guò)總結(jié)規(guī)律學(xué)生自主意識(shí)到若一個(gè)數(shù)的平方等于9，那么這個(gè)數(shù)是±3，這個(gè)結(jié)論是學(xué)生在觀察“式結(jié)構(gòu)”中自主發(fā)現(xiàn)的，并非教師機(jī)械的提問(wèn)回答出來(lái)的.本節(jié)課課后作業(yè)中有一道填空題“一個(gè)數(shù)的平方等于16，那么這個(gè)數(shù)是多少”，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，七年級(jí)新授課的作業(yè)中該題的錯(cuò)誤率會(huì)極高，本節(jié)課后該題全班（45人）僅有1位學(xué)生出錯(cuò)，這讓筆者喜出望外.通過(guò)此次研究課，筆者也注意到增強(qiáng)學(xué)生關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”的意識(shí)在研究“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域問(wèn)題中的重要性，需要在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的每節(jié)課上逐步滲透關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”的意識(shí).例如，學(xué)習(xí)各類型方程的解法時(shí)，關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”的特征可能就存在簡(jiǎn)便解法，進(jìn)而提高解決問(wèn)題的效率；后續(xù)學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算時(shí)，底數(shù)相同且指數(shù)也相同的冪才能進(jìn)行加（減）法運(yùn)算，只有底數(shù)相同的冪才能進(jìn)行乘（除）法運(yùn)算.因此，教師需要在七年級(jí)初期將關(guān)注“式結(jié)構(gòu)”的意識(shí)落實(shí)到常規(guī)教學(xué)中，幫助學(xué)生開啟學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)領(lǐng)域的“大門”.