聚焦基礎(chǔ)知識 考查關(guān)鍵能力

廖國達

2024年高考數(shù)學(xué)新課標I卷（簡稱“新課標I卷”）聚焦基礎(chǔ)知識的夯實，通過優(yōu)化題量、提升解答題分值和多選題賦分的方式，旨在更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，強化對學(xué)生理性思維和應(yīng)用能力的考查。改革后的新課標I卷旨在培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，選拔具備創(chuàng)新精神的優(yōu)秀人才。試卷呈現(xiàn)出選擇和填空題整體難度適中、試題梯度設(shè)計合理、解答題具有一定的難度和區(qū)分度等特點。試卷著重考查學(xué)生的主干知識、能力和素養(yǎng)，突出思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力，助力素質(zhì)教育和拔尖人才的選拔，充分體現(xiàn)了改革的理念和要求。

重視基礎(chǔ)，回歸課標，突出數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)

1.重點考查主干知識

從具體的考查內(nèi)容來看，這份試卷重點考查主干知識，具體包括：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（第6、8、10、13、18題，共38分）、解析幾何（第11、12、16題，共26分）、立體幾何（第5、17題，共20分）、三角函數(shù)（第4、7、15題，共23分）、概率統(tǒng)計（第9、14題，共11分）、數(shù)列（第19題，17分）、集合（第1題，5分）、復(fù)數(shù)（第2題，5分）以及向量（第3題，5分）。

值得注意的是，雖然平時?？嫉闹R點，如直線與圓、等比數(shù)列、二項式定理、統(tǒng)計、回歸方程、分布列等并未直接出現(xiàn)在試卷中，但不等式作為解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，被巧妙地融入了多個考題（第1、6、8、9、10、11、18題）之中，體現(xiàn)了其作為一條暗線的核心作用。這樣的設(shè)計不僅考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握，也檢驗了他們的解題技巧和靈活應(yīng)用能力。

2.考查基礎(chǔ)知識，回歸教材

仔細審視試卷內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)其仍然以考查基礎(chǔ)內(nèi)容為主導(dǎo)，多數(shù)題目的題源都可以追溯到人民教育出版社出版的《普通高中教科書數(shù)學(xué)》（2019年6月第1版），如下表所示：

從考試內(nèi)容中我們可以明顯看出，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本概念的理解是考查的重點，大部分考題都源于課本上的例題或習(xí)題中的常規(guī)題型。因此，對2025屆高三學(xué)生來說，堅持掌握和鞏固基礎(chǔ)知識體系顯得尤為重要。考生應(yīng)當多加練習(xí)課本上的例題和習(xí)題，以深化對知識點的理解和運用。

重點考查學(xué)生的關(guān)鍵能力

1.試卷的靈活性有所提高，重視理性思維

第8題：已知函數(shù)? ? ? ?的定義域為R，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，且當x﹤3? ? 時，? ? ? ? ? ，則下列結(jié)論中一定正確的是（? ? ）

A.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.

本題實質(zhì)上與斐波那契數(shù)列有相似之處，但并非完全一致，因此不同水平的考生會采用不同的方法，導(dǎo)致解題花費的時間也不同。在單選題的壓軸題備考中，多采用一題多變的教學(xué)模式——提思維、減負擔(dān)、培探索、增信心、提效率，以適應(yīng)各層次學(xué)生提高關(guān)鍵能力。

2.體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美：巧妙地將數(shù)學(xué)知識與優(yōu)美曲線相結(jié)合

第11題深刻地體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)中不等式在解決實際問題中的實用價值，它通過精確的數(shù)量關(guān)系描述與分析，幫助我們更加深入地理解和解決現(xiàn)實世界中的復(fù)雜問題，從而彰顯了數(shù)學(xué)的嚴謹性和實用性。因此，教師應(yīng)當從過去單純教授技巧和練習(xí)題型的教學(xué)模式轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，教授他們?nèi)绾为毩⑺伎迹绾芜\用所學(xué)知識解決實際問題。

3.強化對方法的深入理解和綜合應(yīng)用

第14題：甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩個各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上的數(shù)字大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為? ? ? ? ? ? .

2025屆高考復(fù)習(xí)中，教師不僅要頻繁檢驗學(xué)生對知識點的掌握程度，更應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生對解題方法的深入理解和綜合應(yīng)用能力。以這題用枚舉法為例，這種方法在高考數(shù)學(xué)中展現(xiàn)出了其獨特的優(yōu)勢，包括準確性高、全面性強、易于理解和操作、適用性強，等等。同時，教師教導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)用枚舉法時，需要根據(jù)問題的具體情況進行權(quán)衡和選擇，以確保解題的高效性和準確性。通過這樣的教學(xué)方式，教師可以幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，提升他們的解題能力和思維水平。

4.打破以往的命題模式，靈活、科學(xué)地確定試題的內(nèi)容和順序

第16題：已知 A（0， 3）和 P（3，? ?）為橢圓? ? ? ? ? ? ? ? ? （a﹥b﹥0）上兩點.（1）求 C 的離心率；（2）若過 P 的直線 l 交 C 于另一點 B，且△ABP 的面積為9，求 l 的方程.

2025屆高三學(xué)生需要特別注意，今年解析幾何試題安排在解答題的第2題，可見新課標卷已經(jīng)打破了傳統(tǒng)的命題模式，采取更加靈活和科學(xué)的方式來確定試題的內(nèi)容和順序。這種機動的試題順序調(diào)整旨在打破學(xué)生機械式應(yīng)試的慣性思維，同時也打破了教學(xué)中可能存在的僵化、刻板的訓(xùn)練模式，從而有效地防止了猜題、押題的情況發(fā)生。通過這樣的調(diào)整，新課標卷能夠更好地測試學(xué)生的應(yīng)變能力和解決各種難度問題的能力。這一改革旨在引導(dǎo)教學(xué)，幫助學(xué)生全面掌握主干知識，提升基本能力，并培養(yǎng)他們靈活地整合知識、解決問題的能力。因此，2025屆高三學(xué)生應(yīng)適應(yīng)這種變化，注重知識的全面性和應(yīng)用的靈活性，為應(yīng)對新挑戰(zhàn)做好充分準備。

2025屆高三學(xué)生在復(fù)習(xí)解析幾何時，應(yīng)特別關(guān)注一題多解的教學(xué)模式。通過一題多解的訓(xùn)練，不僅能加深對知識點的理解，還能在解題過程中鍛煉思維能力和運算能力。這種教學(xué)模式有助于學(xué)生從多個角度思考問題，形成更加靈活的思維習(xí)慣。例如第16題，通過對比不同的解題方法，會發(fā)現(xiàn)用參數(shù)方程設(shè)點寫出面積坐標公式可以更好地理解題目本質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)及橢圓的對稱性，提高解題速度，提升解決問題的綜合能力。

5.強調(diào)推理能力、空間想象能力的考查

第17題：如圖，四棱錐 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=? ?.（1）若AD⊥PB，證明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角 A-CP-D 的正弦值為? ? ? ，求 AD.

在考場上，不少學(xué)生被這道立體幾何題困住。這道題目允許使用綜合法或坐標法解答，雖然解題途徑多樣，但要在10分鐘內(nèi)完成卻對許多學(xué)生來說頗具挑戰(zhàn)。因此，2025屆高三學(xué)生在復(fù)習(xí)立體幾何部分時，建議深入研究真題，掌握解題的最佳策略，并要特別重視限時訓(xùn)練。通過設(shè)定時間限制來完成往年真題，可以有效鍛煉解題速度和準確性，為高考做好充分準備。

6.強化綜合性考查，考查知識之間的內(nèi)在聯(lián)系

第18題：已知函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .（1）若 b = 0，且

≥0，求 a 的最小值；（2）證明：曲線 y =? ? ?是中心對稱圖形；（3）若? ? ? ?﹥-2，當且僅當1﹤x﹤2，求 b 的取值范圍.

本題在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)試題中巧妙地融入了曲線的對稱性這一幾何性質(zhì)，并深入地考查了學(xué)生求參數(shù)取值范圍的能力。往后的復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生深入理解并掌握學(xué)科理論的本質(zhì)屬性和之間的關(guān)聯(lián)。通過深化基礎(chǔ)知識、基本原理和方法的教學(xué)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)方面，要特別注意求參數(shù)范圍、分類討論、零點以及不等式證明的訓(xùn)練。同時，加強分離參數(shù)、分類討論、反證法等方法的實踐，并讓學(xué)生掌握證明題的解題技巧，例如本題中的第二問就是很好的實踐案例。

重視理性思維，發(fā)揮了選拔功能

新課標I卷在難度設(shè)置上層次分明，不僅展示了思維的靈活性與深度，更在方法的選擇上體現(xiàn)了綜合、探究與創(chuàng)新的理念，科學(xué)、合理地劃分了試題的區(qū)分度，充分彰顯了高考數(shù)學(xué)在選拔人才方面的獨特功能。

第19題：設(shè) m 為正整數(shù)，數(shù)列 a1，a2，…，a4m+2 是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項 ai 和 aj（i ﹥ j）后剩余的4m 項可被平均分為 m組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列 a1，a2，…，a4m+2 是（i， j）-的可分數(shù)列.（1）寫出所有的（i， j），1≤i＜j≤6，使得數(shù)列 a1，a2，…，a6 是（i， j）-可分數(shù)列；（2）當 m≥3 時，證明：數(shù)列 a1，a2，…，a4m+2 是（2，13）-可分數(shù)列；（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數(shù) i? 和? j（i ﹤ j），記數(shù)列 a1，a2，…，a4m+2 是（i， j）-可分數(shù)列的概率為 Pm，證明：Pm﹥? ?.

本題以等差數(shù)列為背景，創(chuàng)新設(shè)問方式，通過引入數(shù)學(xué)新定義，為學(xué)生搭建了一個廣闊的思維平臺，旨在引導(dǎo)學(xué)生積極思考，在解題過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法，并自主選擇路徑和策略來分析、解決問題。預(yù)計明年的新課標I卷第19題將繼續(xù)延續(xù)這一趨勢，對考生的綜合素質(zhì)和臨場應(yīng)變能力提出更高要求。這包括但不限于對信息的提取與加工能力、對數(shù)學(xué)符號的深入理解和準確推導(dǎo)能力、從具體到抽象和從一般到特殊的科學(xué)探究能力。這種設(shè)計不僅考查了學(xué)生的思維能力，更要求學(xué)生具備解決復(fù)雜問題的綜合素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，因此具有一定的難度。這樣的題目設(shè)計有利于高校選拔出具備扎實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和優(yōu)秀思維能力的人才，同時也有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更加注重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和解決問題的能力。

總之，在接下來的備考中務(wù)必全面把握核心知識點，強化基本能力，穩(wěn)固基礎(chǔ)，頻繁回顧課本內(nèi)容，始終以課程標準為導(dǎo)向。同時，我們要深入研究歷年高考真題，緊密圍繞高考評價體系展開學(xué)習(xí)，這樣才能確保學(xué)習(xí)的主動性和高效性。面對多變的考試環(huán)境，我們應(yīng)保持不變的應(yīng)對策略，以穩(wěn)健的步伐和自信的心態(tài)迎接挑戰(zhàn)，從容不迫地應(yīng)對考試。