2023年高考湖南卷物理選擇題第10題的解法探析

向樺　杜娟

［摘 要］運(yùn)用動(dòng)力學(xué)法、慣性力法、力矩平衡法等三種解法，對(duì)2023年高考湖南卷物理選擇題第10題進(jìn)行探析，通過研究不同解法的特點(diǎn)，達(dá)到開闊學(xué)生解題視野、引導(dǎo)教師教學(xué)的目的。

［關(guān)鍵詞］動(dòng)力學(xué)；慣性力；力矩平衡

［中圖分類號(hào)］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2024）08-0043-03

2023年高考湖南卷物理選擇題第10題以小車及車廂內(nèi)球桿連接體一起做加速運(yùn)動(dòng)為背景，考查了牛頓第二定律應(yīng)用中的臨界問題，對(duì)學(xué)生的理解能力、模型建構(gòu)能力以及推理論證能力有較高的要求，是一道壓軸選擇題。該題把學(xué)生熟悉的球桿連接體模型放入小車?yán)铮ㄟ^對(duì)整體施加推力設(shè)置動(dòng)力學(xué)臨界情境，進(jìn)而引出極值問題，充分體現(xiàn)了高考試題不回避經(jīng)典模型但又給予創(chuàng)新的命題理念，對(duì)引導(dǎo)教師教學(xué)有著積極的作用。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1所示，光滑水平地面上有一質(zhì)量為[2m]的小車在水平推力[F]的作用下加速運(yùn)動(dòng)。車廂內(nèi)有質(zhì)量均為[m]的[A]、[B]兩小球，兩球用輕桿相連，[A]球靠在光滑左壁上，[B]球處在車廂水平底面上，且與底面的動(dòng)摩擦因數(shù)為[μ]，桿與豎直方向的夾角為[θ]，桿與車廂始終保持相對(duì)靜止。假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。下列說法正確的是（）。

A.若[B]球受到的摩擦力為零，則[F=2mgtanθ]

B.若推力[F]向左，且[tanθ≤μ]，則[F]的最大值為[2mgtanθ]

C.若推力[F]向左，且[μ

D.若推力[F]向右，且[tanθ>2μ]，則[F]的范圍為[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]

二、解法探析

在動(dòng)力學(xué)問題中，對(duì)于較為復(fù)雜的系統(tǒng)，一般采取先整體后局部的解題路徑。本題中，小車和[A]、[B]兩小球整體的運(yùn)動(dòng)取決于水平推力[F]，而在保持相對(duì)靜止的前提下整體與局部的加速度相同，不同的加速度對(duì)應(yīng)[A]、[B]兩小球各自不同的受力情況，從而產(chǎn)生臨界極值問題。下面就三種解法對(duì)此問題展開討論。

解法一：動(dòng)力學(xué)法

在物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的過程中，往往達(dá)到某個(gè)特定狀態(tài)時(shí)，有關(guān)物理量將發(fā)生突變，此狀態(tài)即為臨界狀態(tài)，相應(yīng)物理量的值為臨界值［1-2］。臨界狀態(tài)的兩側(cè)，物體的受力情況、變化規(guī)律、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一般都要發(fā)生改變，用變化的觀點(diǎn)正確分析其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決臨界極限問題的關(guān)鍵，而臨界狀態(tài)的確定是解決臨界極限問題的基礎(chǔ)［3］。

選項(xiàng)[A]：如圖2所示，若[B]球受到的摩擦力為零，則輕桿對(duì)[B]球彈力的水平分力提供其向右的加速度，在水平方向根據(jù)牛頓第二定律有[FBsinθ=ma]；對(duì)[A]球，在豎直方向根據(jù)平衡條件有[FAcosθ=mg]，且[FA=FB]，聯(lián)立以上各式得：

[FA=FB=mgcosθ]? ? ? ? ? ? ? ①

[a=gtanθ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

以[A]、[B]兩小球和車整體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得[F=4ma=4mgtanθ]。

選項(xiàng)[B]和[C]：如圖3所示，若推力[F]向左，當(dāng)[A]球恰好不離開左壁時(shí)有[FNA=0]，對(duì)[A]球，在水平方向根據(jù)牛頓第二定律有[FAsinθ=maA0]，得[A]球的臨界加速度為

[aA0=gtanθ]? ? ? ? ? ? ? ? ③

當(dāng)[B]球相對(duì)車廂恰好不向右滑動(dòng)時(shí)，受到的靜摩擦力達(dá)到最大，在水平方向根據(jù)牛頓第二定律有[μFNB-FBsinθ=maB0]，以[A]、[B]兩小球及桿組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在豎直方向由平衡條件有[FNB=2mg]，可得[B]球的臨界加速度為：

[aB0=2μg-gtanθ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ④

現(xiàn)討論以下兩種情況：

當(dāng)[aA0≤aB0]，得[tanθ≤μ]，為了使[A]、[B]兩小球與車廂始終保持相對(duì)靜止，應(yīng)取[aA0]為最大加速度，此時(shí)以[A]、[B]兩小球和車整體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律有[F=4maA0=4mgtanθ]。

當(dāng)[aA0>aB0]，得[tanθ>μ]，為了使[A]、[B]兩小球與車廂始終保持相對(duì)靜止，應(yīng)取[aB0]為最大加速度，此時(shí)以[A]、[B]兩小球和車整體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律有[F=4maB0=4mg（2μ-tanθ）]，再由[F≥0]，得[tanθ≤2μ]，故[μ

選項(xiàng)[D]：若推力[F]向右，則[A]球無法離開左壁，故只用分析[B]球，分兩種情況討論。

如圖4所示，當(dāng)[B]球相對(duì)車廂恰好不向左滑動(dòng)時(shí)，受到的靜摩擦力達(dá)到最大且向右，根據(jù)牛頓第二定律有[FBsinθ+μFNB=maB1]，得[B]球的臨界加速度為：

[aB1=gtanθ+2μg]? ? ? ? ?⑤

此時(shí)以[A]、[B]兩小球和車整體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律有[F=4maB1=4mg（tanθ+2μ）]。

如圖5所示，當(dāng)[B]球相對(duì)車廂恰好不向右滑動(dòng)時(shí)，受到的靜摩擦力達(dá)到最大且向左，根據(jù)牛頓第二定律有[FBsinθ-μFNB=maB2]，得[B]球的臨界加速度為：

[aB2=gtanθ-2μg]? ? ? ? ?⑥

此時(shí)以[A]、[B]兩小球和車整體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律有[F=4maB2=4mg（tanθ-2μ）]。

再由[F>0]，得[tanθ>2μ]，故[F]的取值范圍為[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]。

評(píng)析：解法一的基本思路是先分析[A]、[B]兩球在各自臨界狀態(tài)時(shí)的受力特征，再配合整體、隔離法運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解，通過比較[A]、[B]兩球各自的臨界加速度，得到[tanθ]和[μ]的關(guān)系。

解法二：慣性力法

慣性力其實(shí)可以作為一種解題經(jīng)驗(yàn)、解題技巧、解題方法來學(xué)習(xí)和應(yīng)用，當(dāng)然也可以作為一個(gè)物理概念或觀念來引入，并借此培養(yǎng)學(xué)生的物理觀念和科學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的科學(xué)態(tài)度與責(zé)任素養(yǎng)［4］。

以小車為非慣性參考系，其加速度為[a=F4m]，對(duì)[A]、[B]兩小球分別施以慣性力（方向與加速度方向相反），則

[F慣=ma=F4]? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑦

選項(xiàng)[A]：如圖6所示，若[B]球受到的摩擦力為零，則有[F慣=FBsinθ]，得[F=4mgtanθ]。

選項(xiàng)[B]和[C]：如圖7所示，若推力[F]向左，當(dāng)[A]球恰好不離開左壁時(shí)有[FNA=0]，則[FAsinθ=F慣]，得[F=4mgtanθ]，當(dāng)[B]球相對(duì)車廂恰好不向右滑動(dòng)時(shí)，受到的靜摩擦力達(dá)到最大，則有[FBsinθ+F慣=f=2μmg]，得[F=4mg（2μ-tanθ）]，比較兩種臨界情況下[F]的大小即可確定[tanθ]與[μ]的關(guān)系，這里不再贅述。

選項(xiàng)[D]：如圖8所示，若推力[F]向右，當(dāng)[B]球相對(duì)車廂恰好不向左滑動(dòng)時(shí)有[F慣=FBsinθ+2μmg]，得[F=4mg（tanθ+2μ）]。

如圖9所示，當(dāng)[B]球相對(duì)車廂恰好不向右滑動(dòng)時(shí)有[F慣+2μmg=FBsinθ]，得[F=4mg（tanθ-2μ）]，故[F]的取值范圍為[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]。

評(píng)析：解法二的基本思路是以小車為非慣性參考系，引入假想的慣性力，把牛頓第二定律問題轉(zhuǎn)換成平衡問題，讓思維難度降級(jí)。

解法三：力矩平衡法

力矩平衡問題的物理情境復(fù)雜，靈活多變，與生活聯(lián)系緊密，需要學(xué)生理解力矩平衡的本質(zhì)，有較強(qiáng)的邏輯思維能力及運(yùn)用物理知識(shí)解決問題的能力。而針對(duì)具體力矩平衡問題情境（原始問題），通過分析、簡(jiǎn)化、概括得出對(duì)應(yīng)的杠桿模型（抽象問題）進(jìn)行等效替代，再結(jié)合物理知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)，原始問題就能順利解決［5］。

引入慣性力后，設(shè)輕桿長(zhǎng)度為[L]，以逆時(shí)針方向力矩為正，運(yùn)用力矩平衡求解。

選項(xiàng)[A]：如圖10所示，若[B]球受到的摩擦力為零，以[A]球?yàn)榫匦?，根?jù)力矩平衡有[FNBLsinθ-F慣Lcosθ-mgLsinθ=0]，得[F=4mgtanθ]。

選項(xiàng)[B]和[C]：如圖11所示，若推力[F]向左，當(dāng)[A]球恰好不離開左壁時(shí)有[FNA=0]，以[B]球?yàn)榫匦模鶕?jù)力矩平衡有[mgLsinθ-F慣Lcosθ=0]，得[F=4mgtanθ]。

當(dāng)[B]球相對(duì)車廂恰好不向右滑動(dòng)時(shí)，受到的靜摩擦力達(dá)到最大，以[A]球?yàn)榫匦?，根?jù)力矩平衡有[FNBLsinθ+F慣Lcosθ-2μmgLcosθ-mgLsinθ=0]，得[F=4mg（2μ-tanθ）]。

選項(xiàng)[D]：如圖12所示，當(dāng)[B]球相對(duì)車廂恰好不向左滑動(dòng)時(shí)，以[A]球?yàn)榫匦?，根?jù)力矩平衡有[FNBLsinθ+2μmgLcosθ-F慣Lcosθ-mgLsinθ=0]，得[F=4mg（tanθ+2μ）]。

如圖13所示，當(dāng)[B]球相對(duì)車廂恰好不向右滑動(dòng)時(shí)，以[A]球?yàn)榫匦?，根?jù)力矩平衡有[FNBLsinθ-2μmgLcosθ-F慣Lcosθ-mgLsinθ=0 ]，得[F=4mg（tanθ-2μ） ]，故[F]的取值范圍為[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]。

評(píng)析：由于輕質(zhì)活桿問題中桿對(duì)球的作用力沿著桿的方向，若以球?yàn)榫匦?，則其力矩為零。因此，解法三不用再考慮輕桿對(duì)球的作用力，使問題得以簡(jiǎn)化，但值得注意的是，選取不同矩心時(shí)，同一力的力矩正負(fù)號(hào)會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。

三、教學(xué)反思

以上三種解法中，解法一屬于高中物理的常規(guī)解題方法，解法二和解法三屬于高中物理強(qiáng)基知識(shí)范疇。從解題的繁簡(jiǎn)程度來看，解法二和解法三明顯優(yōu)于解法一，但對(duì)于沒有接觸過高中物理強(qiáng)基知識(shí)的學(xué)生來說，理解起來會(huì)有一定困難。從提升學(xué)生的思維能力、訓(xùn)練學(xué)生的解題基本功來看，解法一更為合適。解法一通過研究物體受力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，找臨界狀態(tài)、討論極值，將問題抽絲剝繭、層層分析，是高中物理學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力的體現(xiàn)，對(duì)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)高中物理主干知識(shí)、基本方法有積極作用。在學(xué)生充分理解了解法一后，教師再有針對(duì)性地拓展和拔高，可以開闊學(xué)生的解題視野，豐富學(xué)生的知識(shí)面，提升學(xué)生的解題能力。

在日常的物理教學(xué)中，教師既要注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的傳授，又要注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。教師在強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的學(xué)習(xí)的同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從不同側(cè)面思考問題、解決問題，鼓勵(lì)學(xué)生敢于向未知知識(shí)和方法挑戰(zhàn)，以提升學(xué)生的物理思維品質(zhì)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 朱欣.牛頓第二定律在臨界問題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2005（12）：27-28.

［2］? 張北春.高考物理模擬試題選析與點(diǎn)撥（上）［J］.試題與研究，2011（31）：39-61.

［3］? 黃寬寬.動(dòng)力學(xué)中的臨界極值問題的解題策略［J］.教學(xué)考試，2023（22）：43-48.

［4］? 陳新生.運(yùn)用慣性力巧解復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題［J］.中學(xué)物理，2019（3）：50-53.

［5］? 張麗麗.杠桿模型在力矩平衡問題解決中的應(yīng)用［J］.物理通報(bào)，2019（增刊1）：17-20，24.

（責(zé)任編輯 黃春香）