基于相干性框架的部分支集已知的信號(hào)重建

武思琪 儒瑛 關(guān)晉瑞

DOI：10.16246/j.issn.1673-5072.2024.04.004

收稿日期：2022-11-22? 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（12001395）；山西省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目（201901D211423）

作者簡(jiǎn)介：武思琪（1997—），女，碩士研究生，主要從事壓縮感知方面的研究。

通信作者：宋儒瑛（1964—），男，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事逼近論及壓縮感知方面的研究。E-mail：tysyr@126.com

引文格式：武思琪，宋儒瑛，關(guān)晉瑞.基于相干性框架的部分支集已知的信號(hào)重建［J］.西華師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，45（4）：367-374.［WU S Q，SONG R Y，GUAN J R，et al.Signal reconstruction with known partial support based on coherence framework［J］.Journal of China West Normal University （Natural Sciences），2024，45（4）：367-374.］

摘? 要：文章使用2－α2（0<α1）最小化模型利用信號(hào)自身的先驗(yàn)支撐信息來重建高維稀疏信號(hào)。這是首篇基于相干性框架的部分支集已知的信號(hào)重建，重點(diǎn)討論3種噪聲（2有界噪聲、Dantzig Selector噪聲和脈沖噪聲）情形下信號(hào)魯棒恢復(fù)的充分條件和誤差估計(jì)。

關(guān)鍵詞：壓縮感知；部分支集已知；1－α2最小化；相干性；誤差估計(jì)

中圖分類號(hào)：O211.5??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A??? 文章編號(hào)：1673-5072（2024）04-0367-08

壓縮感知是從較少的測(cè)量值y=Ax+e中恢復(fù)一個(gè)可壓縮（或稀疏）信號(hào)x∈n，其中A∈m×n（mn）是一個(gè)感知矩陣，e∈m是噪聲，常見的噪聲情形分別是脈沖噪聲、2有界噪聲、Dantzig Selector（DS）噪聲。0最小化方法是重建稀疏信號(hào)最直接的方法，但其是NP-難的。因此，Candes等［1］對(duì)其進(jìn)行凸松弛，技巧性地將涉及多個(gè)子問題的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下的凸優(yōu)化問題：

minx∈n‖x‖1? s. t.? y=Ax。（1）

當(dāng)前有若干方法能從y中恢復(fù)x。例如：1最小化［2］，q（0

minx∈n‖x‖1－α‖x‖2?? s. t.?? y=Ax。（2）

非凸1－α2最小化方法在稀疏信號(hào)恢復(fù)問題上優(yōu)于許多現(xiàn)存的壓縮感知求解方法［7-10］。文獻(xiàn)［7-8］說明了使用1－2最小化方法得到的基于限制等距性的信號(hào)恢復(fù)的充分條件要優(yōu)于許多現(xiàn)存的壓縮感知求解方法得到的充分條件；文獻(xiàn)［9-10］使用一種分解向量的新方法，說明了在高斯噪聲、脈沖噪聲和均勻噪聲下利用1－α2最小化方法恢復(fù)信號(hào)的性能優(yōu)于許多現(xiàn)存的壓縮感知求解方法。在應(yīng)用中，若想要提高信號(hào)恢復(fù)的效率，減少恢復(fù)中測(cè)量的次數(shù)，通常會(huì)用到信號(hào)自身存在的一些先驗(yàn)信息，其中較常用的是先驗(yàn)支撐信息。已有學(xué)者將其與1模型［2］、q（0

minx∈n‖xTc‖1－α‖xTc‖2 ?s.t.? y－Ax∈B，（3）

其中，T為x的部分已知支撐，Tc={1，2，…，n}/T，B代表噪聲類型。若B={0}（無噪情形），則

minx∈n‖xTc‖1－α‖xTc‖2，? s.t.? y=Ax。（4）

這是首篇在相干性的框架中，建立保證部分支集已知信號(hào)魯棒恢復(fù)的條件，并分別給出受3種噪聲干擾下的誤差估計(jì)。

1? 預(yù)備定義和引理

為敘述方便，在這里對(duì)符號(hào)進(jìn)行說明：向量x，x^∈n，其中x是原始信號(hào)，x^是式（3）的解。令h=x^－x，假設(shè)x的部分已知支撐是T，T=s，xT=x－xTc。 r=x－xT是殘差，rT0是r的最佳k-項(xiàng)逼近，T0包含由r中最大k個(gè)絕對(duì)值項(xiàng)的指標(biāo)，T∩T0=。令Tc={1，2，…，n}＼T是T的補(bǔ)集。T1包含hTc中最大k個(gè)絕對(duì)值項(xiàng)的指標(biāo)，現(xiàn)設(shè)定T0—=T∪T0，T—0c=T∪T1，T—1c=（T∪T0）c，T1—c=（T∪T1）c。

定義1［19］? 矩陣A的相干性μ是A各列之間相互關(guān)聯(lián)的最大絕對(duì)值，即

μ∶=maxi≠j〈Ai，Aj〉‖Ai‖2‖Aj‖2。

定義2［20］? 若存在一個(gè)最小的常數(shù)θk1，k20，對(duì)每個(gè)k1-稀疏信號(hào)f和k2-稀疏信號(hào)g，使得

〈Af，Ag〉θk1，k2‖f‖2‖g‖2

成立，則稱矩陣A∈m×n滿足（k1，k2）階的限制正交性，其中θk1，k2是（k1，k2）階的限制正交常數(shù)。

引理1［16］? 對(duì)測(cè)量矩陣A的相干性μ和任意m-稀疏向量f，得到

1－（m－1）μ‖Af‖22‖f‖221+（m－1）μ。

引理2［20］? 令k1，k2n，η0，假設(shè)f，g∈n有不相交的支撐，且‖f‖0k1。若g滿足‖g‖1ηk2，‖g‖

SymboleB@ η，則

〈Af，Ag〉k2θk1，k2η‖f‖2。

引理3［20］? 假設(shè)ln，f1f2…fn0，γ0，且∑li=1fi+γ∑ni=l+1fi，則對(duì)所有p1，

∑ni=l+1fp ilp∑li=1fpil+γlp。

2? 主要結(jié)論

在恢復(fù)信號(hào)時(shí)，通常需要消除噪聲所帶來的影響。假定x是壓縮信號(hào)，現(xiàn)考慮以下3種噪聲情形：（1）B2（ε）={e：‖e‖2ε}； （2）BDS（ε）={e：‖ATe‖

SymboleB@ ε}；（3）B1（ε）={e：‖e‖1ε。}

定理1? 考慮y=Ax+e，其中‖e‖2ε。若矩陣A滿足

θk+s，n－k－sn－k－s+（s－1）kμ

則

‖x^2－x‖2C1C0‖xT—0c‖1+C2C0ε，

其中，常數(shù)C0=1－θk+s，n－k－sα2（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk－αn－s（k+s）n，

C1=2θk+s，n－k－s2（n－k－s）1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk+2k+s，

C2=22［1+（s－1）μ］1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk。

證明? 因?yàn)閤^是式（3）的解，得到

‖（x+h）Tc‖1－α‖（x+h）Tc‖2=‖x^Tc‖1－α‖x^Tc‖2‖xTc‖1－α‖xTc‖2，（6）

由Tc=T0∪T—0c和三角不等式，很容易得到

‖（x+h）Tc‖1－α‖（x+h）Tc‖2=‖（x+h）T0‖1+‖（x+h）T—0c‖1－α‖（x+h）Tc‖2

‖xT0‖1－‖hT0‖1+‖hT—0c‖1－‖xT—0c‖1－α‖xTc‖2－α‖hTc‖2，（7）

結(jié)合式（6）和式（7），可以得到

‖hT—0c‖1‖xT—0c‖1+‖hT0‖1－‖xT0‖1+‖xTc‖1－α‖xTc‖2+α‖xTc‖2+α‖hTc‖2

=‖hT0‖1+α‖hTc‖2+2‖xT—0c‖1。 （8）

由于‖hT0‖1‖hT1‖1，‖hT—1c‖1‖hT—0c‖1，‖hTc‖2n－sn‖h‖2，式（8）可轉(zhuǎn)化為

‖hT—1c‖1‖hT1‖1+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2，（9）

又因?yàn)椤琱T1—‖0s+k，

‖hT—1c‖

SymboleB@ ‖hT1‖1k‖hT1‖1+αn－sn‖h‖2+2‖xT—0c‖1kk‖hT1‖2+αn－sn‖h‖2+2‖xT—0c‖1k

‖hT1—‖2k+αn－sn‖h‖2+2‖xT—0c‖1k，

故

‖hT—1c‖1（n－k－s）‖hT—1c‖

SymboleB@ （n－k－s）‖hT1—‖2k+2‖xT0—c‖1+αn－sn‖h‖2k。

現(xiàn)應(yīng)用引理2，其中令k1=k+s，k2=n－k－s，η=‖hT1—‖2k+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2k，得到

〈AhT1—，AhT1—c〉θk+s，n－k－sn－k－s‖hT1—‖2k+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2k‖hT1—‖2，

因此，得到

〈AhT1—，Ah〉‖AhT1—‖22－〈AhT1—，AhT—1c〉

［1－（s－1）μ］‖hT1—‖22－θk+s，n－k－sn－k－s‖hT1—‖2k+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2k‖hT1—‖2。（10）

此外，由于

〈AhT1—，Ah〉‖AhT1—‖2‖Ah‖2［1+（s－1）μ］‖hT1—‖2（‖A－b‖2+‖b－Ax‖2）

2ε［1+（s－1）μ］‖hT1—‖2，（11）

結(jié)合式（10）和式（11），得到

［1－（s－1）μ］‖hT1—‖22－θk+s，n－k－sn－k－sk‖hT1—‖22－θk+s，n－k－sα（n－s）（n－k－s）nk2‖h‖2‖hT1—‖2－

2θk+s，n－k－sn－k－sk‖xT0—c‖1‖hT1—‖22ε［1+（s－1）μ］‖hT1—‖2，

整理得：

［1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk］‖hT1—‖2θk+s，n－k－sα（n－s）（n－k－s）nk2‖h‖2+2θk+s，n－k－sn－k－sk‖xT—0c‖1+2ε［1+（s－1）μ］，

由于條件式（5）保證1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk>0成立，所以

‖hT1—‖2θk+s，n－k－sα（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖h‖2+2θk+s，n－k－sn－k－s1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖xT—0c‖1+

2ε［1－（s－1）μ］1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk? 。

因?yàn)椤琱T1‖1<‖hT1—‖1，則由式（9）可以得到

‖hT—1c‖1‖hT1—‖1+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2。

再應(yīng)用引理3，其中令l=k+s，γ=αn－sn‖h‖2+2‖xT—0c‖1，

‖hT—1c‖2‖hT1—‖2+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2k+s，（12）

所以

‖h‖2‖hT1—‖22+‖hT—1c‖22

=‖hT1—‖22+‖hT1—‖2+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2k+s2

2‖hT1—‖2+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2k+s

2θk+s，n－k－sα（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖h‖2+2θk+s，n－k－sn－k－s1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖xT—0c‖1+

2ε［1－（s－1）μ］1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2k+s，

移項(xiàng)整理得

‖h‖21－θk+s，n－k－sα2（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk－αn－s（k+s）n－1×

2θk+s，n－k－s2（n－k－s）1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk+2k+s‖xT—0c‖1+22ε［1+（s－1）μ］1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk。

定理2? 考慮y=Ax+e，其中‖ATe‖

SymboleB@ ε。若矩陣A滿足

θk+s，n－k－sn－k－s+（s－1）kμ

則

‖DS－x‖2C1C0‖xT—0c‖1+C3C0ε，

其中，常數(shù)C0=1－θk+s，n－k－sα2（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk－αn－s（k+s）n，

C1=2θk+s，n－k－s2（n－k－s）1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk+2k+s，

C3=22（s+k）1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk。

證明? 由于

〈AhT1—，Ah〉=〈hT1—，ATAh〉‖hT1—‖1‖ATAh‖

SymboleB@ =‖hT1—‖1‖ATA（－x）‖

SymboleB@

‖hT1—‖1（‖AT（A－y）‖

SymboleB@ +‖AT（y－Ax）‖

SymboleB@ ）

2ε‖hT1—‖12εs+k‖hT1—‖2，（14）

結(jié)合式（10）和式（14），得到

1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖hT1—‖2θk+s，n－k－sα（n－s）（n－k－s）nk2‖h‖2+

2θk+s，n－k－sn－k－sk‖xT—0c‖1+2εs+k，

由于條件式（13）保證1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk>0成立，所以

‖hT1—‖2θk+s，n－k－sα（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖h‖2+2θk+s，n－k－sn－k－s1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖xT—0c‖1+

2εs+k1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk。（15）

進(jìn)一步，由式（12）和式（15），得到

‖h‖22‖hT1—‖2+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2k+s

2θk+s，n－k－sα（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖h‖2+2θk+s，n－k－s2（n－k－s）1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖xT—0c‖1+

2ε2（s+k）1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk+2‖xT—0c‖1+αn－sn‖h‖2k+s，

移項(xiàng)整理得

‖h‖21－θk+s，n－k－sα2（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk－αn－s（k+s）n－1×

2θk+s，n－k－s2（n－k－s）1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk+2k+s‖xT—0c‖1+22（s+k）1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－skε。

定理3? 考慮y=Ax+e，其中‖e‖1ε。若矩陣A滿足

θk+s，n－k－sn－k－s+（s－1）kμ

則

‖1－x‖2C1C0‖xT—0c‖1+C4C0ε，

其中常數(shù)C0=1－θk+s，n－k－sα2（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk－αn－s（k+s）n，

C1=2θk+s，n－k－s2（n－k－s）1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk+2k+s，

C4=2s+k1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk? 。

證明? 由于

〈AhT1—，Ah〉‖AhT1—‖

SymboleB@ ‖Ah‖1‖hT1—‖2s+k‖Ah‖1=‖hT1—‖2s+k‖A（－x）‖1

‖hT1—‖2s+k‖A－y‖1+‖y－Ax‖12εs+k‖hT1—‖2，（17）

結(jié)合式（10）和式（17），得到

1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖hT1—‖2θk+s，n－k－sα（n－s）（n－k－s）nk2‖h‖2+

2θk+s，n－k－sn－k－sk‖xT—0c‖1+2εs+k，

由于條件式（16）保證1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk>0成立，所以

‖hT1—‖2θk+s，n－k－sα（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖h‖2+2θk+s，n－k－sn－k－s1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk‖xT—0c‖1+

2εs+k1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk 。（18）

進(jìn)一步，由式（12）和式（18）得

‖h‖21－θk+s，n－k－sα2（n－s）（n－k－s）nk21－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk－αn－s（k+s）n－1×

2θk+s，n－k－s2（n－k－s）1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－sk+2k+s‖xT—0c‖1+2s+k1－（s－1）μ－θk+s，n－k－sn－k－skε。

注1? 若是式（4）的解，且矩陣A滿足

θk+s，n－k－sn－k－s+（s－1）kμ

則‖－x‖2C1C0‖xT—0c‖1。

注2? Geng和Chen［18］在文獻(xiàn)中使用1－2最小化方法提出了基于相干性的稀疏信號(hào)重建條件，證明了如果矩陣A滿足

μ<4k+1－24k+116k2－8k－3，（19）

那么就可以確保通過1－2最小化方法能夠穩(wěn)定地重建出原始稀疏信號(hào)。

圖1中給出了式（5）和式（19）的相干性條件的上界。在實(shí)驗(yàn)中，取n=100，已知支撐s=15，限制正

交常數(shù)θk+s，n－k－s=0.4。觀察可知當(dāng)16k80時(shí)，本文得到的條件比Geng和Chen［18］的條件更弱，這意味著會(huì)有更多矩陣滿足式（5）。

3? 結(jié)? 論

文章使用1－α2最小化方法，在相干性的框架中提出了能夠保證部分支集已知的信號(hào)魯棒恢復(fù)的充分條件。文章創(chuàng)新之處在于首次在相干性的框架中，提出將1－α2最小化方法和信號(hào)的先驗(yàn)支撐信息結(jié)合。由于一個(gè)給定矩陣的相干性常數(shù)比它的限制等距性常數(shù)更容易計(jì)算，所以在相干性的框架中討論信號(hào)恢復(fù)問題更實(shí)用且更有效率。

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Signal Reconstruction with Known Partial SupportBased on Coherence Framework

WU Si-qi，SONG Ru-ying，GUAN Jin-rui

（School of Mathematics and Statistics，Taiyuan Normal University，Jinzhong Shanxi 030619，China）

Abstract：In this paper，1－α 2（0<α1） minimization model is employed to reconstruct the high-dimensional sparse signals by the prior support information of the signal itself.It is the first paper on signal reconstruction with known partial support that is based on coherence framework.It focuses on the sufficient conditions and error estimation for robust signal recovery under three kinds of noise circumstance，including 2 bounded noise，Dantzig Selector noise and impulse noise.

Keywords：compressed sensing；known partial support；1－α2 minimization；coherence；error estimation