從一道學(xué)考代數(shù)壓軸題的一題多解談代數(shù)思想

阮應(yīng)紅 楊順福 欒菊

從云南省統(tǒng)一命制的2021、2022、2023年初中學(xué)業(yè)水平考試（以下簡稱“學(xué)考”）數(shù)學(xué)試卷最后一題，我們可以看出命題人對2022年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱“新課標(biāo)”）的準(zhǔn)確把握.新課標(biāo)雖然是在2022年才正式出版，但在云南省2021年的中考命題中就有對新課標(biāo)理念的滲透.黨的十八大、十九大明確提出教育要落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，于是2014年教育部提出通過核心素養(yǎng)落實(shí)育人目標(biāo)，同時對高中課標(biāo)提出明確要求.新課標(biāo)改編的基本原則一個是增強(qiáng)幾何直觀，另一個就是增加代數(shù)推理.從這個角度看，我們也就不難理解為什么云南省連續(xù)三年的數(shù)學(xué)學(xué)考壓軸題都是代數(shù)題.

代數(shù)思想在初中數(shù)學(xué)階段的教學(xué)中被廣泛應(yīng)用，并且已被證明是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.初中數(shù)學(xué)是學(xué)生進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)世界的重要階段，而代數(shù)思想對于學(xué)生在這個階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展至關(guān)重要.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，代數(shù)思想是用符號代替實(shí)際數(shù)值進(jìn)行計算和解決問題的能力，不僅可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，同時也可以為學(xué)生提供解決各種實(shí)際問題的工具.基于以上分析，筆者嘗試以2023年云南省學(xué)考代數(shù)壓軸題第24題為載體，分析代數(shù)思想在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和解決問題能力上的不可替代性，幫助學(xué)生更好地面對未來的職業(yè)和生活挑戰(zhàn)，也希望能引起廣大教師的關(guān)注，在初中階段就注重培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維能力，讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

一、試題的呈現(xiàn)與解法賞析

題目：數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性;形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性.數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題.

同學(xué)們，請你結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)解決下列問題.

在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱這樣的點(diǎn)為整點(diǎn).設(shè)函數(shù)y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（實(shí)數(shù)a為常數(shù)）的圖象為圖象T.

（1）求證：無論a取什么實(shí)數(shù)，圖象T與x軸總有公共點(diǎn);

（2）是否存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)a的值;若不存在，請說明理由.

題目的第（1）問，主要考查學(xué)生代數(shù)表達(dá)能力和代數(shù)計算能力.特別是當(dāng)a≠-時，如果想確定函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個數(shù)，就需要判斷△的正負(fù).但在y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4這個函數(shù)中含有參數(shù)a，并不能直接算出△的正負(fù).所以我們可以嘗試用含a的式子表示△，當(dāng)?shù)贸觥?100a2-140a+49后，需要進(jìn)一步運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算將其化為完全平方式△=（10a-7）2，進(jìn)而判斷△的正負(fù).

題目的第（2）問涉及一題多解，具體的解題方法如下：

解法一：公式法

解：當(dāng)a=-時，不符合題意.

當(dāng)a≠-時，對于函數(shù)y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

令y=0，則有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.

由（1）可知△=（10a-7）2，

由求根公式可得x=，

∴x1=-，x2=，

∵x2==2-，

∵x2是整數(shù)，a是整數(shù)，

∴|2a+1|是6的約數(shù)，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

綜上所述，存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)且a的值為-2，-1，0，1.

解法分析：該解法的優(yōu)點(diǎn)是緊扣第一小問的思路，因?yàn)榈谝粏栆呀?jīng)求出了△，而且△剛好可以開方，于是直接利用求根公式就可以得到x1=-，x2=.當(dāng)用含a的式子表示出x的值后，我們再根據(jù)x是整數(shù)這個條件建立方程即可.

解法二：配方法

解：當(dāng)a=-時，不符合題意.

當(dāng)a≠-時，對于函數(shù)y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

令y=0，則有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.

∴x2+x+=0，

∴x2+x=-，

∴x2+x+? ? =-+? ? ，

∴? ? ?=，

∴x+=±，

∴x+=±，

∴x=±-，

∴x=，

∴x1=-，x2=，

∵x2==2-，

∵x2是整數(shù)，a是整數(shù)，

∴|2a+1|是6的約數(shù)，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

綜上所述，存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)且a的值為-2，-1，0，1.

解法分析：該方法主要解題思路和方法一差不多，考查學(xué)生代數(shù)表達(dá)能力，先用含a的式子表示出x，然后建立關(guān)于a的方程.兩種解法的主要區(qū)別在于求x采用了不同的方法，解法二運(yùn)用了平時訓(xùn)練比較多的配方法，這種方法雖然有點(diǎn)雞肋，但重在突出一元二次方程解法的通法.

解法三：十字分解法

解：當(dāng)a=-時，不符合題意.

當(dāng)a≠-時，對于函數(shù)y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

令y=0，則有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.

∴（2x+1）[（2a+1）x-4a+4]=0，

∴（2x+1）=0或（2a+1）x-4a+4=0，

∴x1=-，x2=

∵x2==2-，

∵x2是整數(shù)，a是整數(shù)，

∴|2a+1|是6的約數(shù)，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

綜上所述，存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)且a的值為-2，-1，0，1.

解法分析：該方法技巧性比較強(qiáng)，對學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力要求比較高，優(yōu)點(diǎn)在于計算量比較小.

解法四：分離參數(shù)法

解：當(dāng)a=-時，不符合題意.

當(dāng)a≠-時，

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

∴y=4ax2-6ax-4a+2x2+9x+4，

∴y=2a（x2-3x-2）+（2x2+9x+4），

∴y=2a（2x+1）（x-2）+（2x+1）（x+4），

∴y=（2x+1）（2ax+x-4ax+4），

∴當(dāng)2x+1=0時，y=0，

∴該函數(shù)橫過點(diǎn)（-，0），

∴x1=-.

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=.

又∵x1=-

∴x2=+==2-，

∵x2是整數(shù)，a是整數(shù)，

∴|2a+1|是6的約數(shù)，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

綜上所述，存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)且a的值為-2，-1，0，1.

解題分析：該方法需要學(xué)生對含參數(shù)函數(shù)有比較深刻的理解.通過分離參數(shù)的方法，我們可以得到含參數(shù)的函數(shù)恒過的定點(diǎn)，從而得到x1，再由根與系數(shù)的關(guān)系求出x2.

解法五：轉(zhuǎn)換法

解：當(dāng)=-時，不符合題意.

當(dāng)a≠-時，

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

∴y=4ax2-6ax-4a+2x2+9x+4，

∴y=2a（2x2-3x-2）+（2x2+9x+4），

可以將上述函數(shù)看成是y關(guān)于a的函數(shù)，

∴聯(lián)立2x2-3x-2=0

2x2+9x+4=0，解得[

y=0][x=-].

∴該函數(shù)恒過點(diǎn)（-，0），

∴x1=-.

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=.

又∵x1=-

∴x2=+==2-，

∵x2是整數(shù)，a是整數(shù)，

∴|2a+1|是6的約數(shù)，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

綜上所述，存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)且a的值為-2，-1，0，1.

解法分析：該方法將關(guān)于x的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的一次函數(shù)進(jìn)行研究，降低了函數(shù)研究難度，更容易確定參數(shù)函數(shù)的定點(diǎn).

本題旨在測試學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的基本性質(zhì)，以及它們與一元二次方程的關(guān)系.對于此類題目，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，了解二次函數(shù)的性質(zhì)對于解題非常關(guān)鍵.然而，學(xué)生僅僅掌握知識是不夠的.需要通過思維的方式去理解這類問題，才能真正觸類旁通，進(jìn)而解決更復(fù)雜的問題.在解決這些問題時，我們需要不斷地運(yùn)用代數(shù)思想，即代數(shù)表達(dá)和代數(shù)計算，包括將數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為符號和表達(dá)式，進(jìn)行代數(shù)計算，推導(dǎo)出解法.通過實(shí)際練習(xí)，學(xué)生可以不斷地提高自己的代數(shù)思維能力，從而更好地應(yīng)對數(shù)學(xué)問題.因此，學(xué)生在備考數(shù)學(xué)時，需要在不斷掌握知識的基礎(chǔ)上，注重思維能力的訓(xùn)練和提高.

二、代數(shù)思想的重要性

初中階段正是學(xué)生開始接觸代數(shù)，掌握最基本的代數(shù)思想的時候，在這個階段打好代數(shù)基礎(chǔ)顯得格外重要.代數(shù)思想作為一種用符號表示一般數(shù)量和關(guān)系的數(shù)學(xué)思想（如例題中，通過代數(shù)計算成功用含a的代數(shù)式表示出了x2的值，x2=2-這個式子也反映了x與a之間的一般關(guān)系），具有抽象和普遍性的特點(diǎn)，并一直被認(rèn)為是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中最基本的思想之一.代數(shù)思想又分為代數(shù)表達(dá)和代數(shù)計算兩部分：代數(shù)表達(dá)是指用字母和符號表示數(shù)學(xué)問題中的未知數(shù)和關(guān)系;代數(shù)計算是指在代數(shù)表達(dá)的基礎(chǔ)上，通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)未知數(shù)或確定變量之間的關(guān)系.

代數(shù)思想是數(shù)學(xué)中非常重要的一個概念，它通過各種符號和符號規(guī)則的運(yùn)用，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念.代數(shù)思想與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)密不可分，代數(shù)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.初中階段打好代數(shù)基礎(chǔ)，掌握代數(shù)思想的應(yīng)用方法，可以培養(yǎng)出批判性、邏輯性、創(chuàng)新性等一系列數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).代數(shù)思維與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)主要體現(xiàn)在以下幾方面：

（1）數(shù)學(xué)思維素養(yǎng).代數(shù)思想在數(shù)學(xué)學(xué)科中廣泛應(yīng)用，可以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)思維方法.在掌握代數(shù)思想的過程中，學(xué)生還會逐漸培養(yǎng)出批判性、邏輯性、創(chuàng)新性等一系列數(shù)學(xué)思維素養(yǎng).

（2）數(shù)學(xué)方法素養(yǎng).代數(shù)思想在解決數(shù)學(xué)問題時起到了重要的引導(dǎo)作用，學(xué)生可以通過代數(shù)方法來解決一些實(shí)際問題.代數(shù)思想雖然抽象難懂，但在數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)的培養(yǎng)過程中，學(xué)生可以逐步理解和掌握其應(yīng)用方法.

（3）數(shù)學(xué)表達(dá)素養(yǎng).代數(shù)思想通過符號、式子和方程式等方式來表達(dá)和計算數(shù)學(xué)問題.學(xué)生在掌握代數(shù)思想的同時，還會逐漸掌握符號規(guī)則、運(yùn)算法則等數(shù)學(xué)表達(dá)技能，從而提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力，使其能夠清晰準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)思想.

（4）數(shù)學(xué)信念素養(yǎng).代數(shù)思想能夠幫助學(xué)生逐漸建立科學(xué)的數(shù)學(xué)信念，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)思想的過程中，處理難題時要堅持不斷思考、提煉和總結(jié)，從而培養(yǎng)出循序漸進(jìn)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

三、培養(yǎng)代數(shù)思想的教學(xué)策略

無論從學(xué)考考點(diǎn)的角度還是從提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度分析，在初中階段教師都應(yīng)該重點(diǎn)培養(yǎng)好學(xué)生的代數(shù)思想.代數(shù)思想不僅可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，還可以培養(yǎng)他們的邏輯思維能力、問題解決能力和抽象思維能力.

1.融入實(shí)例教學(xué)優(yōu)化代數(shù)思想的教學(xué)

融入實(shí)例教學(xué)是一種有效的教學(xué)策略，它可以讓學(xué)生更好地理解代數(shù)思想，提高他們的學(xué)習(xí)興趣和成績.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，融入實(shí)例教學(xué)也可以用來優(yōu)化代數(shù)思想的教學(xué).

首先，讓我們來了解一下什么是實(shí)例教學(xué).實(shí)例教學(xué)是通過實(shí)例來闡釋知識、體現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生通過具體事物來理解抽象概念的一種教學(xué)方式.這種教學(xué)方式可以幫助學(xué)生更好地理解代數(shù)思想的概念、性質(zhì)和運(yùn)算方法，提高學(xué)生的代數(shù)思維能力.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過具體實(shí)例來解釋代數(shù)符號的含義和應(yīng)用方法.舉例來說，當(dāng)講到解方程時，教師可以通過生活實(shí)際或物理問題來介紹方程式的概念和解題步驟，讓學(xué)生更好地理解并掌握方程式的應(yīng)用方法.類似地，教師也可以對解不等式、因式分解等代數(shù)概念進(jìn)行講解，并配以實(shí)例來幫助學(xué)生深入了解其使用方法和應(yīng)用場景.通過實(shí)例教學(xué)，學(xué)生可以更快、更深入地理解代數(shù)思想，并愉悅地參與到教學(xué)過程中.另外，在實(shí)例教學(xué)中，學(xué)生可以積極探索實(shí)際問題，提升創(chuàng)造力和解決問題的能力，充分體現(xiàn)教育的目標(biāo)是讓學(xué)生更好地掌握知識，而非僅僅完成考試要求.

2.打破傳統(tǒng)限制提升學(xué)生的代數(shù)思維能力

在初中階段學(xué)習(xí)代數(shù)思想并打好代數(shù)基礎(chǔ)對于未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展至關(guān)重要.然而，許多傳統(tǒng)的教學(xué)方法，如死記硬背公式和機(jī)械式運(yùn)算，不利于學(xué)生代數(shù)思維能力的發(fā)展.因此，我們需要打破傳統(tǒng)限制，采取創(chuàng)新的教學(xué)策略，提升學(xué)生的代數(shù)思維能力，深入理解概念：代數(shù)思想需要通過數(shù)學(xué)概念的理解和運(yùn)用進(jìn)行學(xué)習(xí).傳統(tǒng)方法通常依靠不斷的實(shí)踐來學(xué)習(xí)，但是這種方法容易忽略概念學(xué)習(xí)的重要性.因此，我們需要尋找到一些新的教學(xué)方法來幫助學(xué)生更好地掌握和理解數(shù)學(xué)概念.而啟發(fā)式教學(xué)正是其中之一.

傳統(tǒng)的教學(xué)方法通常是按照一定步驟進(jìn)行的，這種方法對于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力和思維能力并不利，而啟發(fā)式教學(xué)是一種更加開放，具有探究性的教學(xué)方法.通過啟發(fā)式教學(xué)，學(xué)生可以更自由地探索問題，從而鍛煉他們的思維能力和創(chuàng)造力.這種方法可以鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用代數(shù)思想來解決問題.

我們還需要改變傳統(tǒng)的考試方式，采用更加多元化的評價方式來評估學(xué)生的代數(shù)思維能力.這種評價方式可以包括口頭表達(dá)、創(chuàng)意作品、解決實(shí)際問題等方式.這不僅可以給學(xué)生提供更多的展示機(jī)會，還可以幫助他們更加全面地發(fā)展其代數(shù)思維能力.

通過打破傳統(tǒng)限制，采取創(chuàng)新的教學(xué)策略，我們可以提升學(xué)生的代數(shù)思維能力，并為他們未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展打好基礎(chǔ).這包括深入理解代數(shù)概念、采用啟發(fā)式教學(xué)和實(shí)踐，以及使用多元化評價方式等.這些策略將幫助我們建立更加開放和富有創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生獲得更好的學(xué)習(xí)效果.

3.探索新的教學(xué)方法發(fā)揮代數(shù)思想的育人功能

在初中階段，學(xué)生打好代數(shù)基礎(chǔ)對于后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要.因此，我們需要探索新的教學(xué)方法，以幫助學(xué)生更好地理解和掌握代數(shù)思想.

以下是幾種可能的探索方法：

（1）利用數(shù)學(xué)游戲的方式教授代數(shù)思想.數(shù)學(xué)游戲可以幫助學(xué)生在娛樂中學(xué)習(xí)并掌握代數(shù)思想.如學(xué)生可以通過填充數(shù)字游戲?qū)W習(xí)解方程的基本方法，或者通過數(shù)字消除游戲加深對因式分解的理解.這些游戲不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能夠讓學(xué)生更深刻地理解代數(shù)思想的概念和應(yīng)用，同時培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

（2）利用實(shí)踐性質(zhì)教授代數(shù)思想.實(shí)踐性質(zhì)指的是將代數(shù)思想應(yīng)用到實(shí)際問題中.這可以幫助學(xué)生更加深入地理解代數(shù)思想的概念和應(yīng)用，同時提高他們的學(xué)業(yè)水平.如在球類比賽中，教師可以利用比賽數(shù)據(jù)來教授學(xué)生解方程的基本方法，或者通過實(shí)際問題來教授因式分解的方法.這些實(shí)踐性質(zhì)的問題不僅能夠提高學(xué)生的學(xué)科水平，還能夠讓他們更好地理解與應(yīng)用代數(shù)思想.

（3）利用現(xiàn)代技術(shù)教授代數(shù)思想.現(xiàn)代技術(shù)為學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)思想提供了更多的便捷性和選擇性.如學(xué)生可以通過在線課程等平臺進(jìn)行自主學(xué)習(xí)或通過交互式學(xué)習(xí)工具來提高代數(shù)思維能力.同時，利用網(wǎng)絡(luò)畫板等現(xiàn)代技術(shù)平臺，教師可以讓學(xué)生更直觀地理解和應(yīng)用代數(shù)思想.這些現(xiàn)代技術(shù)不僅能夠提高學(xué)生的興趣和學(xué)科水平，還培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)和解決問題的能力.

綜上所述，探索新的教學(xué)方法可以幫助學(xué)生更好地理解代數(shù)思想，提高他們的學(xué)科水平.同時，這些方法也能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，使他們更好地應(yīng)對未來的職業(yè)和日常生活的挑戰(zhàn).

近年來，“雙減”政策的實(shí)施給初中數(shù)學(xué)教育帶來了很多挑戰(zhàn).我們以減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力為出發(fā)點(diǎn)，但同時也必須尋找提高教學(xué)質(zhì)量的方法.學(xué)生已不能僅僅依靠大量刷題來提高考試分?jǐn)?shù)，教師必須從思維的角度入手，才能真正實(shí)現(xiàn)“減負(fù)提質(zhì)”的目標(biāo).代數(shù)思想的重要性在于它的普遍性和對學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng)，它可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì).同時，教師需要在教學(xué)中讓學(xué)生更好地運(yùn)用代數(shù)思想解決實(shí)際問題，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，為提高教育教學(xué)質(zhì)量貢獻(xiàn)一份力量.