應(yīng)用極限思維，助力數(shù)學(xué)教學(xué)

摘 要：隨著社會發(fā)展，新時代對人才培養(yǎng)提出了更高要求。在此背景下，高中數(shù)學(xué)作為培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與數(shù)學(xué)思維的重要學(xué)科，對我國人才培養(yǎng)具有重要影響。然而，當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課程存在知識點割裂、過于抽象而難以理解的問題，因此需要引入先進(jìn)理念指導(dǎo)教學(xué)。極限思維強(qiáng)調(diào)關(guān)聯(lián)思考，能夠幫助學(xué)生建立知識網(wǎng)絡(luò)，全面理解數(shù)學(xué)概念和原理，是實現(xiàn)質(zhì)的提升的重要途徑?；诖?，通過分析極限思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用，探討如何發(fā)揮其應(yīng)用優(yōu)勢，助力教育教學(xué)，滿足社會需求。

關(guān)鍵詞：極限思維；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)

作者簡介：張平（1979—），男，江蘇省南京市六合區(qū)實驗高級中學(xué)。

簡單來說，極限思維就是一種將問題抽象化，在極限條件下分析事物狀態(tài)的思維方式。在高中數(shù)學(xué)中，極限思維通常用于研究函數(shù)、序列和級數(shù)等概念。通過運用極限思維，我們可以更好地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，進(jìn)而解決相關(guān)問題。本文探討在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用極限思維的一些方法，旨在促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深入理解和掌握。

一、極限思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢

（一）提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識深度

在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用極限思維，體現(xiàn)在運用極限概念分析問題，有助于從多個角度深入剖析數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)以及概念之間的聯(lián)系。這可以引導(dǎo)學(xué)生跳出思維定式，不再機(jī)械地背誦和應(yīng)用數(shù)學(xué)公式定理，而是主動運用極限思維，將抽象的數(shù)學(xué)知識融會貫通。例如，極限概念是微積分知識的核心內(nèi)容。在極限思維的啟發(fā)下，學(xué)生可以聯(lián)系已學(xué)函數(shù)概念，從函數(shù)圖象、增量變化等多個角度理解極限的內(nèi)涵，深入領(lǐng)會“極限”在證明解的存在唯一性定理等微積分重要定理中的作用，從而加深對微積分核心概念和重要定理的理解，增強(qiáng)運用微積分解決實際問題的能力。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生可以主動運用極限思維拓展思路，如探索函數(shù)性質(zhì)、解析幾何等數(shù)學(xué)分支中極限概念的應(yīng)用，從更高的層次研究數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)聯(lián)。這有助于學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念體系，全面深化對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識。

（二）拓展學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識廣度

極限思維注重發(fā)散性思考，鼓勵從多個角度審視問題。這一特性有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，指導(dǎo)他們將更多的數(shù)學(xué)知識關(guān)聯(lián)起來，從更為廣闊的視角分析問題［1］。例如，在運用極限概念研究拋物線時，學(xué)生不僅要注意拋物線作為解析幾何曲線的性質(zhì)，還要聯(lián)系二次函數(shù)的知識，從函數(shù)圖象與極限概念的對應(yīng)關(guān)系入手，探索拋物線的漸近線。這樣的思維方式可以拓展學(xué)生解決幾何問題的思路，使他們在處理類似問題時能夠從更全面、立體的角度進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)更多的解題方法，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

（三）增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自信心

極限思維注重激發(fā)學(xué)生的思維潛能，引導(dǎo)其主動探索問題。這可以使原本抽象的數(shù)學(xué)知識變得更加豐富多彩、直觀具體。例如，在繪制指數(shù)函數(shù)圖象時，教師可以提供一些生動的參考情景，運用極限概念引導(dǎo)學(xué)生從多個角度揭示漸近線對于確定函數(shù)圖象整體位置的關(guān)鍵作用。這種寓教于樂的導(dǎo)入不僅能加深學(xué)生對函數(shù)圖象的理解，還可以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，使其主動運用所學(xué)知識嘗試描繪其他函數(shù)圖象。同時，成功應(yīng)用極限思維解決問題，能讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不枯燥，使他們在今后的學(xué)習(xí)中保持較高的積極性，增強(qiáng)自信心。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

（一）學(xué)生認(rèn)知角度窄，知識理解不足

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生往往是被動地接受教師的知識灌輸。部分學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和原理的理解停留在表面，沒有對概念的本質(zhì)屬性形成深入認(rèn)知。數(shù)學(xué)知識體系抽象性強(qiáng)，內(nèi)在聯(lián)系復(fù)雜，學(xué)生只有從多個角度審視概念，才能建立完整的概念體系。學(xué)生若基礎(chǔ)薄弱，看待數(shù)學(xué)知識的視角就會較為狹窄，難以把握概念之間的關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致對知識的吸收和遷移應(yīng)用能力明顯不足。新知識無法與舊知識形成有效銜接，學(xué)生最終只能采取死記硬背的學(xué)習(xí)方法，無法真正掌握知識內(nèi)涵，理解不夠深入。這勢必會影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，不利于其持續(xù)發(fā)展。

（二）教學(xué)方法死板，難以適應(yīng)個性化需求

目前，部分高中數(shù)學(xué)教師為了保證教學(xué)進(jìn)度和學(xué)生考試成績，沿用以教師為中心的傳統(tǒng)教學(xué)模式，使用大量課堂時間進(jìn)行灌輸式講解，要求學(xué)生逐章逐節(jié)地背誦概念、理論和公式。這樣的教學(xué)安排沒有考慮到學(xué)生個體之間的差異，忽視了學(xué)生的主體地位和認(rèn)知規(guī)律。一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生在這種高強(qiáng)度的知識灌輸下既無法及時消化新知識，也無暇顧及已學(xué)知識的內(nèi)化運用，最終造成應(yīng)試教育中“高進(jìn)低出”的問題。

（三）教學(xué)模式運用不當(dāng)，難以發(fā)揮作用

近年來，各種先進(jìn)信息技術(shù)和新型教學(xué)模式被引入高中數(shù)學(xué)課堂，但實際效果有時不盡如人意。一部分原因在于這些模式對學(xué)生的自控能力和合作意識要求較高，而教師沒有提供有效引導(dǎo)，導(dǎo)致部分能力不足的學(xué)生無法真正參與到教學(xué)活動中。例如，在開展小組合作學(xué)習(xí)時，有的學(xué)生不習(xí)慣集體合作，難以高效利用課堂時間；有的學(xué)生容易受到他人言論的干擾，脫離學(xué)習(xí)主線。這些情況說明，引入新型教學(xué)模式需要教師在理念與方法上進(jìn)行同步更新，為學(xué)生提供正確指導(dǎo)，這樣方能提高教學(xué)效能，否則實際效果會大打折扣。

三、極限思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析

（一）極限思維在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)需要長期堅持，對學(xué)生而言，極限思維的養(yǎng)成并非易事，不僅需要學(xué)生自己努力，還需要教師在課堂上為學(xué)生提供正確的指導(dǎo)。學(xué)生只有準(zhǔn)確理解極限思維，將其內(nèi)化為思考習(xí)慣，面對問題時才能靈活應(yīng)用。部分基礎(chǔ)概念中本就蘊(yùn)含極限思維的求解思路，教師應(yīng)充分利用極限思維解釋相關(guān)數(shù)學(xué)概念和題目，以吸引學(xué)生的注意力，簡化解題方法，幫助學(xué)生加深對概念和知識點的理解，全面提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力［2］。例如，在學(xué)習(xí)分段函數(shù)時，教師可以通過分析極限思維在求解分段函數(shù)問題中的應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生運用極限思維進(jìn)行推理求解。

以分段函數(shù)的極限計算為例：

求函數(shù)? 在x =1處的極限。

觀察這一分段函數(shù)的定義域與值域特征可知，x =1這一點并非該函數(shù)的斷點，所以函數(shù)在此處是連續(xù)的。根據(jù)極限性質(zhì)，得到x =1處的極限值即為函數(shù)在x =1處的函數(shù)值。

分情況討論x=1在不同區(qū)間對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：

①當(dāng)x <-1時，x =1不在此區(qū)間內(nèi)；

②當(dāng)-1≤x< 2時，x =1在此區(qū)間內(nèi)。

代入函數(shù)得到f （1）=3。

求得極限：f（x）=f（1）=3。

通過該解析過程可知，分析極限問題需要運用極限知識，觀察函數(shù)值與定義域的對應(yīng)關(guān)系，分析斷點與連續(xù)點，并靈活切換區(qū)間進(jìn)行計算。教師應(yīng)從極限的角度啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行綜合性分析與思考，加深學(xué)生對分段函數(shù)極限概念的理解，拓寬學(xué)生運用極限思維解決問題的視野。

（二）極限思維在幾何題中的應(yīng)用

極限思維的培養(yǎng)是一個循序漸進(jìn)的過程，不能一蹴而就。教師要做好長期規(guī)劃，有機(jī)結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)各個環(huán)節(jié)，滲透極限思維。在教授幾何題時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將極限思維作為常用解題工具，逐步養(yǎng)成運用極限思維分析問題的習(xí)慣［3］。具體來說，教師可在傳授解析幾何的基本概念后，設(shè)計一系列應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已學(xué)的極限性質(zhì)，從函數(shù)圖象、面積公式等角度，運用極限思維解釋幾何量與曲線方程的對應(yīng)關(guān)系。

例如，在教授了圓的概念及圓周率π后，教師可以設(shè)計一道計算橢圓周長的應(yīng)用題。橢圓作為拓展的閉合曲線，其周長公式中也包含π這個常數(shù)。教師可以先讓學(xué)生嘗試運用已知的圓的周長公式推導(dǎo)橢圓的周長公式，并解釋公式中π的來源。學(xué)生完成初步探究后，教師可以聯(lián)系極限，解釋當(dāng)橢圓的短軸和長軸趨于相等時，橢圓近似于圓，橢圓周長公式中π的引入可以看作是用極限方法逼近橢圓周長的一種途徑。在教授三角形面積公式時，教師可以設(shè)計一個反求底邊長度的應(yīng)用題，要求學(xué)生聯(lián)系已學(xué)二次函數(shù)圖象及面積概念，從極限的角度聯(lián)想微積分中定積分與曲線圍成的面積關(guān)系，反向求解題目。這一過程既鍛煉了學(xué)生在建立知識關(guān)聯(lián)中應(yīng)用極限思維的能力，也拓寬了學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的視野，實現(xiàn)了多角度啟發(fā)的作用。

在學(xué)習(xí)空間立體幾何知識時，教師也可以運用極限思維分析實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力。例如，教師可以給出一個邊長為1的正方體模型，在正方體內(nèi)部放置一個球，然后提出問題：該球在正方體內(nèi)任意滾動，最多同時接觸正方體的三個面，請確定該球的半徑范圍。針對這個問題，教師首先需要通過提問帶動學(xué)生聯(lián)系生活實際，思考球體與正方體接觸面情況的極限關(guān)系。然后啟發(fā)學(xué)生運用極限思維建立數(shù)學(xué)模型，從接觸條件出發(fā)，建立方程組，聯(lián)立求解，最終確定球的半徑范圍。在此過程中，學(xué)生聯(lián)系實際情境，運用極限思維建立模型，運用已學(xué)知識求解問題，不僅加深了對空間幾何和極限思維的理解，也培養(yǎng)了數(shù)學(xué)意識，實現(xiàn)了多方位的訓(xùn)練效果［4］。

（三）極限思想在數(shù)列求解中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，發(fā)展思維能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)比單純記憶概念重要，而極限思維對于拓展數(shù)學(xué)思維和提高問題解決能力具有獨特的優(yōu)勢。教師在講授數(shù)列知識時，應(yīng)該聯(lián)系學(xué)生的認(rèn)知特征，設(shè)計寓教于樂的應(yīng)用題，以激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣。教師應(yīng)著重解析極限在推導(dǎo)數(shù)列通項公式、判斷數(shù)列收斂性中的重要作用［5］，通過案例啟發(fā)學(xué)生運用極限思維分析問題，找到合適的解題策略。

例題：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，且

，求an。

解析：

首先，我們觀察數(shù)列的遞推式：，當(dāng)n趨近于無窮大時，an和an+1的差值趨近于0。因此，我們可以設(shè)an=L。

將an和an+1代入遞推式，得到：

解這個方程，我們可以得到L=1或L=-1。由于數(shù)列{an}的所有項都是正數(shù)，所以L必須是正數(shù)。

因此an=1。

在這個例子中，我們可以看到極限思維在數(shù)列問題中的應(yīng)用，它能使抽象知識變得更為直觀，有助于學(xué)生理清思路，加深對知識的理解。

結(jié)語

通過以上分析可知，極限思維為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一條嶄新路徑。極限思維不僅可以幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，建立知識體系，還可以拓展學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的興趣。教師應(yīng)充分認(rèn)識到極限思維的重要性，有針對性地設(shè)計相關(guān)題型進(jìn)行思維滲透，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中主動聯(lián)系、運用極限思維，形成統(tǒng)一概念與方法的綜合分析能力。高中數(shù)學(xué)教學(xué)只有做到知識傳授與思維培養(yǎng)相結(jié)合，才能實現(xiàn)多維度、高質(zhì)量的發(fā)展，培養(yǎng)適應(yīng)社會發(fā)展需要的人才。

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