一維周期基礎(chǔ)的帶隙解析解及其優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

吳巧云 項(xiàng)復(fù)佳 黃映紅 荊國強(qiáng) 許峙峰 吳應(yīng)雄

摘要： 周期結(jié)構(gòu)的帶隙特征為土木工程隔震領(lǐng)域提供了新思路，其中一維周期基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)因其構(gòu)造簡單且經(jīng)濟(jì)適用而倍受關(guān)注。本文通過研究一維周期基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，推導(dǎo)了用于計(jì)算一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)帶隙的近似解析解，并在此基礎(chǔ)上提出了基于上部結(jié)構(gòu)共振區(qū)的一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。頻域和時(shí)域數(shù)值算例表明，由該優(yōu)化方法所設(shè)計(jì)的周期基礎(chǔ)可保證其上部結(jié)構(gòu)在一個(gè)寬且連續(xù)的頻段內(nèi)均有較好的減震效果。

關(guān)鍵詞： 周期基礎(chǔ)； 帶隙； 近似解； 減震； 優(yōu)化設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)： TU352.1??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）05-0780-09

DOI： 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.006

引 言

與傳統(tǒng)的被動(dòng)地震控制系統(tǒng)相比，周期基礎(chǔ)具有制造簡單、能同時(shí)減輕水平和垂直地震反應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)［1?5］。Shi等［6］提出了使用周期基礎(chǔ)作為隔離器來抵抗地震動(dòng)的想法。此后，不同形式的周期基礎(chǔ)得到了迅速發(fā)展，從一維到二維和三維，從簡單的單胞到多材料復(fù)雜單胞［7?12］。Xiang等［7］通過數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測(cè)試相結(jié)合的方式驗(yàn)證了帶隙的減震效果。文獻(xiàn)［8?9］通過有限元分析證明了一維和二維周期基礎(chǔ)的地震衰減效應(yīng)。文獻(xiàn)［10?11］對(duì)二維和三維周期基礎(chǔ)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，其結(jié)果表明在優(yōu)化設(shè)計(jì)下周期基礎(chǔ)可具有顯著的減震性能。文獻(xiàn)［13?14］提出了一種由混凝土層及橡膠層構(gòu)成的層狀周期基礎(chǔ)，并用有限元方法分析了該基礎(chǔ)對(duì)一個(gè)六層框架的減震作用。然而，一維周期基礎(chǔ)隔震的理論研究在如下方面還有待完善：（1）周期基礎(chǔ)的帶隙計(jì)算方法有待完善。Sackman等［15］提出了一維周期基礎(chǔ)第一個(gè)帶隙的下界和上界的近似解，但該方法存在下界計(jì)算精度不準(zhǔn)的問題。之后，Shi等［16］修改了Sackman近似解，但該修正只是一個(gè)曲線擬合結(jié)果，對(duì)于超出其數(shù)值研究范圍的帶隙預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性有待提高。（2）周期基礎(chǔ)帶隙的覆蓋范圍不夠全面。當(dāng)前周期基礎(chǔ)的隔震思路是通過擴(kuò)大第一帶隙的范圍使第一帶隙盡可能多地覆蓋全部頻率，這導(dǎo)致隔震效果不夠理想。

本文通過研究一維周期基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，推導(dǎo)了局部化因子、衰減系數(shù)、頻率響應(yīng)、平均頻率響應(yīng)等帶隙有關(guān)重要參數(shù)的近似解析解，并在此基礎(chǔ)上提出了基于上部結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)的一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。由該方法所設(shè)計(jì)的周期基礎(chǔ)可保證上部結(jié)構(gòu)在一個(gè)寬而連續(xù)的頻段內(nèi)均具有較好的減震效果。

1 一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)的帶隙近似解析解

一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)是一種由橡膠層和混凝土層組成的一維周期基礎(chǔ)。相比其他類型的周期基礎(chǔ)，一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)因其具有成本低、制造方便、隔震效果理想等多種優(yōu)勢(shì)而受到廣泛關(guān)注。但工程上仍缺乏計(jì)算一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)帶隙等關(guān)鍵參數(shù)的有效方法。為此，本文提出并驗(yàn)證了計(jì)算一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)帶隙、局部化因子、衰減系數(shù)和頻率響應(yīng)的近似解析式?；谠搸督馕鼋猓岢隽艘环N基于上部結(jié)構(gòu)共振區(qū)的一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并通過數(shù)值算例證實(shí)了該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的減震效果。

1.1 一維周期基礎(chǔ)基于傳遞矩陣的帶隙近似解析解

彈性波在第j個(gè)單胞中通過第k層傳播的控制方程可由以下波動(dòng)方程［17］描述：

性模量。

諧波激勵(lì)下的特解滿足以下可分離變量的形式：

（2）

（3）

式中為波數(shù)；i為虛數(shù)單位；為頻率；和為常數(shù)。

根據(jù)胡克定律，應(yīng)力分量為：

其中：

（5）

針對(duì)諧波，通過使用傳遞矩陣法［18］，式（3）和（5）可重寫為以下矩陣乘法形式：

（6）

將和代入式（6）中可得：

（8）

其中，第k層的傳遞矩陣為：

（9）

利用連續(xù)性條件，第j個(gè)單胞的頂部和底部之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可通過如下遞歸表達(dá)式解得：

（10）

基于Floquet?Bloch理論，單胞的兩個(gè)狀態(tài)向量具有以下關(guān)系：

（11）

式中 為該單胞的波數(shù)；和分別為單胞的輸出和輸入狀態(tài)向量，均處于特征模式。

將式（11）代入式（10）中，得到以下特征形式：

（12）

式中 I為單位矩陣。

由式（12）所解得的兩個(gè)特征向量分別為和，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征值分別為和，其滿足：

（13）

式（13）的解為：

式中 。

由式（13）可進(jìn)一步推出以下條件有效：

（15）

（16）

上述狀態(tài)向量的行為可分為以下兩種情況討論：

情況1為無衰減情況。此時(shí)，和形成一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，即，。和兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足。在這種情況下，狀態(tài)向量將僅保持橢圓旋轉(zhuǎn)，波可在沒有任何能量損失的情況下通過。

情況2為衰減情況。此時(shí)，則是兩個(gè)實(shí)數(shù)，是兩個(gè)復(fù)數(shù)，，。根據(jù)特征值冪法可知，對(duì)于任意，最終會(huì)被變換至與平行的方向上，且n每增加1就會(huì)放大至原來的倍。此種情況下的所有入射波的頻率組成了對(duì)應(yīng)的帶隙。若從底部到頂部跟蹤波的傳播，則入射波每通過一個(gè)單胞，其波幅就會(huì)衰減常數(shù)倍，該常數(shù)被稱作衰減系數(shù)，即：

（17）

式中為局部化因子。

1.2 一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)基于傳遞矩陣的帶隙近似解析解

在本節(jié)推導(dǎo)中，定義第1層為橡膠層，第2層為混凝土層。對(duì)于一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)，方程（15）可改寫為：

此外，式（18）對(duì)于上標(biāo)的對(duì)稱性表明兩層的順序無關(guān)帶隙的計(jì)算。

式（19）的解為帶隙下界和上界的近似值，其可進(jìn)一步表示為：

式中， p為一個(gè)非負(fù)整數(shù)。

式標(biāo)記了帶隙上界，即：

值得注意的是，與Sackman的近似值一致［28］。

該近似解析解以第1層為橡膠層、第2層為混凝土層的一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)為例推導(dǎo)，式（24）

2 帶隙近似解析解算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本節(jié)所提出的帶隙計(jì)算近似解，圖2和表1分別給出并比較了由式（18）計(jì)算的基準(zhǔn)單胞帶隙的精確解和使用式（21）～（24）計(jì)算的相應(yīng)近似解，其中頻率值以工程頻率f表示。在此處規(guī)定以下關(guān)于角頻率和工程頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為ω=2πf。

圖2展示了前數(shù)個(gè)帶隙的精確值與近似值的比較結(jié)果。表1表示的是前五個(gè)帶隙的上、下界，第1列頻率一共取了五個(gè)帶隙，分別是每個(gè)帶隙的起始和終點(diǎn)頻率；第2～6列是S波下，用不同公式計(jì)算的帶隙起始和終點(diǎn)位置；第7～11列是P波下，用不同公式計(jì)算的帶隙起始和終點(diǎn)位置。

從圖2和表1中可以看出，除了使用式（24）對(duì)第一帶隙上界的估計(jì)有一定偏差外，其余近似解都具有足夠的精度。由此證明上述關(guān)于一維橡膠?混凝土帶隙的近似解析公式的準(zhǔn)確性。

3 一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)理念的提出

給定要設(shè)計(jì)的一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)和具

帶隙和P波的第s個(gè)帶隙分別表示為和。

通過定義關(guān)于h1和h2的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)來衡量設(shè)計(jì)的優(yōu)劣。經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)的一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)，應(yīng)確保上層結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)在地震動(dòng)頻段內(nèi)的任何頻率下都得到有效控制，這要求每個(gè)上部結(jié)構(gòu)共振區(qū)都被相應(yīng)的帶隙覆蓋。根據(jù)上述優(yōu)化問題，本小節(jié)介紹了一種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法的核心思想為，在滿足設(shè)計(jì)帶隙包含全部上部共振區(qū)的情況下，找到的最優(yōu)組成形式。優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的流程如圖3所示。

3.2 算例設(shè)計(jì)

為了證明上文所提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的實(shí)用性，將所提方法應(yīng)用于表2中描述的四層鋼框架結(jié)構(gòu)的一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)設(shè)計(jì)中。四層鋼框架結(jié)構(gòu)長4.0 m，寬4.0 m，高4.0 m，梁柱截面為0.1 m×0.1 m，使用材料為鋼材?；A(chǔ)設(shè)計(jì)為4.0 m×4.0 m方形基礎(chǔ)，深度為4.0～5.0 m，使用材料為橡膠和混凝土，如表3所示。圖4（a）和（b）分別顯示了框架和基礎(chǔ)的配置。

在設(shè)計(jì)中，輸入波頻段取為0.0～30.0 Hz，涵蓋了大多數(shù)地震動(dòng)的頻段。設(shè)計(jì)目標(biāo)是最小化上部結(jié)構(gòu)在S波和P波組合下的頻率響應(yīng)。此時(shí)，每層的平均最大絕對(duì)頻率響應(yīng)定義為：

式中 ?|FR2?b|， |FR3?b|， 。FRi為第i層相對(duì)于基礎(chǔ)底面的頻率響應(yīng)，即FRi?b=ui/ub，其中，ui為第i層最大位移（i=0時(shí)，u0為基礎(chǔ)頂面最大位移），ub為基礎(chǔ)底面最大位移。

最后，選定OF為：

（26）

式中 下標(biāo)“S”和“P”分別代表S波和P波的對(duì)應(yīng)值；WP為P波的權(quán)重，考慮到上部結(jié)構(gòu)更容易受到S波的影響，在以下分析中將WP設(shè)置為0.5。

首先，通過穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，計(jì)算表3描述的上部四層鋼框架的頻率響應(yīng)函數(shù)（FRF）：其中，F(xiàn)RFi?t=20lg（FRi?t），F(xiàn)RFmax?t=max，，|FRF3?t|，，S波和P波的頻率響應(yīng)函數(shù)分別通過在x和y方向4個(gè)底部節(jié)點(diǎn)指定單位位移后，測(cè)量相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的輸出位移獲得。然后通過檢查地震動(dòng)頻段中的頻率響應(yīng)是否大于相應(yīng)的閾值來確定和，其中S波和P波的閾值分別設(shè)置為0.0和3.0（注：20lg（1.0）=0.0，20lg（1.414）≈3.0）。P波的閾值大于S波的原因是水平地震動(dòng)通常更具破壞力。最終確定：=，（5.06，5.16），（6.44，7.37），和=，。圖5（a）和（b）分別顯示了S波和P波對(duì)應(yīng)的四層鋼框架上部結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)和共振區(qū)。

在MATLAB中編寫了實(shí)現(xiàn)第3.1節(jié)中提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的程序，并應(yīng)用于基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)。表4為OFtrial的結(jié)果，得到（h1?trail，h2?trail，n）的最優(yōu)組合為（0.7719，1.6243，2），最后經(jīng)過實(shí)踐考慮，確定（h1?opt，h2?opt，n）為（0.75，1.65，2），其中H和OF對(duì)應(yīng)的值分別為4.8 m和-0.7657。圖6（a）和（b）給出了相應(yīng)的帶隙和共振區(qū)，從圖6中可以看出，所有共振區(qū)都分布在相應(yīng)的帶隙中。

3.3 算例頻域分析和時(shí)域分析

為了更進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的設(shè)計(jì)方法在設(shè)計(jì)全頻段的最優(yōu)性，對(duì)周期基礎(chǔ)的性能進(jìn)行了有限元分析，包括頻域分析和時(shí)域分析。構(gòu)建并分析了三種上部結(jié)構(gòu)?基礎(chǔ)耦合系統(tǒng)（如圖7所示），其中上部結(jié)構(gòu)均為表3所述的四層鋼框架，基礎(chǔ)分別為由第3.2節(jié)中得到的優(yōu)化設(shè)計(jì)基礎(chǔ)、由12個(gè)基準(zhǔn)單元組成的基準(zhǔn)周期基礎(chǔ)以及混凝土基礎(chǔ)?；鶞?zhǔn)單元參數(shù)見表1，三種基礎(chǔ)的單元尺寸均為0.2 m×0.2 m×0.05 m，詳細(xì)配置如表5所示，分析中的所有材料都是各向同性彈性的。

在頻域分析中，將不同頻率的單位諧波位移統(tǒng)一分配到底面，其中沿x軸或y軸的諧波位移分別代表S波或P波。采用“穩(wěn)態(tài)直接分析步”計(jì)算框架的頻響函數(shù)，其中S波和P波的頻率范圍為0.02～30.0 Hz，頻率增量為0.02 Hz。三種基礎(chǔ)的頻響函數(shù)模擬結(jié)果如圖8（a）～（f）所示?？梢钥闯?，最優(yōu)地基對(duì)S波和P波的減震性能非常出色，以至于地震動(dòng)頻段中幾乎所有的頻響都小于0，并且大多數(shù)S波甚至低于-40（20lg（1/100）=-40），大多數(shù)P波低于-20（20lg（1/10）=-20），而基準(zhǔn)基礎(chǔ)對(duì)頻率在共振區(qū)內(nèi)而在帶隙外的入射波沒有起到衰減作用?？梢?，無論在橫波輸入還是縱波輸入的情況下，最優(yōu)地基優(yōu)于混凝土地基和基準(zhǔn)地基，證明確保上部結(jié)構(gòu)的共振區(qū)完全被相應(yīng)的帶隙覆蓋是一種良好的一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)設(shè)計(jì)策略，能夠保證良好的減震效果。

在時(shí)域分析中，將El Centro地震記錄的加速度分配到地基底部，其中N?S方向、垂直方向和E?W方向的相應(yīng)加速度分別被分配到地基底部x方向、y方向和z方向。本次分析選擇“隱式動(dòng)態(tài)分析步”，總時(shí)長為35 s，采用0.0005 s的固定時(shí)間增量。得到El Centro波下上部結(jié)構(gòu)?基礎(chǔ)耦合系統(tǒng)的加速度時(shí)程，如圖9所示。其中，優(yōu)化設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的頂部加速度峰值為2.7 m/s2，基準(zhǔn)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的頂部加速度峰值為4.18 m/s2，混凝土基礎(chǔ)頂部加速度峰值為12.91 m/s2，基準(zhǔn)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的頂部加速度峰值為混凝土基礎(chǔ)頂部加速度峰值的32.4%，優(yōu)化設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的頂部加速度峰值為基準(zhǔn)基礎(chǔ)頂部加速度峰值的64.6%。一方面，通過比較圖9（a），（d），（g），（j），（m）和圖9（b），（e），（h），（k），（n）可以看出，與混凝土基礎(chǔ)相比，優(yōu)化設(shè)計(jì)基礎(chǔ)可以在有效降低上部結(jié)構(gòu)水平加速度響應(yīng)的同時(shí)濾除高頻響應(yīng)，而基準(zhǔn)基礎(chǔ)也可以濾除高頻水平響應(yīng)，但水平加速度衰減效果不明顯。另一方面，通過比較圖9（c），（f），（i），（l），（o）可以觀察到，優(yōu)化設(shè)計(jì)基礎(chǔ)可以在不顯著增加相應(yīng)幅度的情況下過濾高頻豎向響應(yīng)，而基準(zhǔn)基礎(chǔ)將增大豎向響應(yīng)?？梢钥闯鲋芷诨A(chǔ)在隔離地震加速度方面的有效性，同時(shí)證實(shí)了本文所提周期基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的實(shí)用性。

4 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了用于計(jì)算一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)帶隙的近似解析解，并在此基礎(chǔ)上提出了其局部化因子、衰減系數(shù)、頻率響應(yīng)、平均頻率響應(yīng)等參數(shù)的近似解析解，通過算例證實(shí)了該近似解析解計(jì)算帶隙的精確性；提出了一種基于上部結(jié)構(gòu)共振區(qū)的一維橡膠?混凝土周期基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，時(shí)域和頻域數(shù)值算例表明，由該方法所設(shè)計(jì)的周期基礎(chǔ)可保證其上部結(jié)構(gòu)在一個(gè)寬且連續(xù)的頻段內(nèi)均有較好的減震效果。

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Analytical solution of one-dimensional periodic base band gap and its optimal design

Abstract： The band gap characteristics of periodic structures provide a new idea for the field of seismic isolation in civil engineering， among which the one-dimensional periodic foundation structure has garnered significant attention due to its simple structure and economical applicability. In this paper， by studying the vibration characteristics of the one-dimensional periodic base structure， an approximate analytical solution for calculating the one-dimensional rubber-concrete periodic base band gap is derived， and on this basis， a one-dimensional rubber-concrete periodic foundation optimization design method based on the resonance zone of the superstructure is proposed. Numerical examples in the frequency domain and time domain show that the periodic foundation designed by this optimization method can ensure a good damping effect of its superstructure in a wide and continuous frequency range.

Key words： periodic foundation； band gap； approximate solution； vibration reduction； optimal design