聲學黑洞約束阻尼板半解析耦合建模與振動特性研究

李軍軍 李劍輝 鄭玲 鄧杰

摘要： 聲學黑洞（ABH）以其優(yōu)異的性能在結構減振降噪、聲波調控、能量回收等領域展示了極其廣闊的應用前景。但聲學黑洞邊緣截斷會導致非零反射系數(shù)的存在，從而弱化聲學黑洞效應。為此，本文在聲學黑洞結構中引入約束阻尼材料，在Rayleigh?Ritz法框架下，選擇高斯函數(shù)作為基函數(shù)，根據(jù)聲學黑洞板的形狀確定高斯基函數(shù)的分布，避免質量矩陣和剛度矩陣的奇異化，建立了聲學黑洞約束阻尼板的半解析分析模型。通過與有限元分析結果對比，驗證了半解析建模方法的正確性。研究了約束阻尼結構參數(shù)對聲學黑洞板彎曲振動特性的影響規(guī)律，揭示了約束阻尼的減振機理和能量耗散作用。實驗進一步驗證了聲學黑洞約束阻尼板的減振效果。

關鍵詞： 振動控制； 聲學黑洞； 約束阻尼； 高斯展開法； 半解析模型

中圖分類號： TB535； O328??? 文獻標志碼： A??? 文章編號： 1004-4523（2024）05-0847-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.013

引? 言

聲學黑洞是利用薄壁結構幾何參數(shù)或材料參數(shù)的梯度變化，使波在結構中的傳播速度逐漸減小，理想情況下波速減小至零從而不發(fā)生反射的現(xiàn)象。由于結構簡單、易于加工以及具有獨特的能量聚集效應，聲學黑洞在振動噪聲控制［1?3］、能量回收［4?6］、聲輻射控制［7?9］、信號處理［10］等方面均展示了廣闊的應用前景。

針對聲學黑洞存在的非均勻波長分布和波數(shù)快速變化問題，國內外學者提出了不同的建模方法，包括幾何聲學法［11?12］、傳遞矩陣法［13?14］、有限元法［15?16］和半解析法［17?18］等。其中半解析法吸收了解析法的準確性和數(shù)值方法處理邊界問題的靈活性，具有較高的計算精度和效率。Deng等［19?20］采用基于克羅內克積表示的二維高斯基函數(shù)對周期聲學黑洞板的位移場進行了擬合，但采用克羅內克積表示的二維基函數(shù)容易導致質量矩陣和剛度矩陣的奇異化。

為了克服邊緣截斷帶來的非零反射系數(shù)和聲學黑洞效應弱化問題，阻尼材料一直被廣泛研究。Krylov［21］的研究表明聲學黑洞和自由阻尼的耦合效應可以使反射系數(shù)明顯減小。Zeng等［22］研究了圓錐形聲學黑洞梁的能量聚集效應以及阻尼層作用。Ji等［23］通過在聲學黑洞梁的能量聚集區(qū)域引入阻尼層，進一步減小了聲學黑洞梁的振動。Liu等［24］將超構表面與聲學黑洞相結合，設計了圓形聲學黑洞超構表面，少量阻尼材料強化了超構表面的能量吸收。Deng等［25］研究了約束阻尼在補償聲學黑洞梁邊緣截斷方面的明顯作用。

本文基于高斯展開法，建立聲學黑洞與約束阻尼耦合系統(tǒng)的半解析分析模型。分析約束阻尼結構參數(shù)對聲學黑洞板彎曲振動特性的影響規(guī)律，探索約束阻尼在聲學黑洞結構中的減振機理和能量耗散作用，為約束阻尼在聲學黑洞減振結構中的應用提供設計參考。

1 聲學黑洞約束阻尼板半解析模型

1.1 問題描述

將一個圓形的二維聲學黑洞嵌入到一個矩形薄板中，在聲學黑洞中心位置處粘貼約束阻尼材料，構建聲學黑洞約束阻尼板，如圖1所示。聲學黑洞板的厚度為huni，長度和寬度分別為和。A點為諧波激勵作用點，其坐標為（xA，yA，zA）。聲學黑洞位于矩形板的中心，其厚度變化服從冪指數(shù)規(guī)律h（r）=ξrm+hcenter，其中r=［（x-a）2+（x-b）2］1/2為坐標點到聲學黑洞中心的距離，ξ=（huni-hcenter）/r為聲學黑洞剖面變化的斜率，hcenter為聲學黑洞中心截斷厚度，rabh為聲學黑洞半徑，m為厚度變化冪指數(shù)。約束阻尼處于聲學黑洞的中心位置，其中阻尼層半徑rv和約束層半徑rc保持一致，阻尼層的厚度為hv，約束層的厚度為hc。邊界為自由邊界。

1.2 高斯基函數(shù)的選取

為了建立聲學黑洞與約束阻尼耦合系統(tǒng)運動方程，遵循參考文獻［25］中的約束假設?；寮案鲗拥奈灰脐P系如圖2所示。其中，w為橫向撓度；up，uv和uc分別為ABH板、阻尼層和約束層在x方向的位移；vp，vv和vc分別為ABH板、阻尼層和約束層在y方向的位移。

基于約束假設條件，聲學黑洞板與約束阻尼各層的位移關系可表示為：

式中? hp，hv和hc分別為ABH板、阻尼層和約束層的厚度；，分別為阻尼層在yOx和zOx平面內的夾角變化。

通過式（1）可以得到阻尼層中面的位移和應變：

式中? d = （hp+hc）/2+hv表示約束層和基板的中面距離。

在Rayleigh?Ritz法框架下，將w，up，uc，vp，vc進行分解，表示為基函數(shù)和權重系數(shù)的組合形式：

式中，ξu，ξv，φu，φv為基函數(shù)的集合；，，，為權重系數(shù)集合。定義系統(tǒng)權重系數(shù)向量q為：

（4）

由于基函數(shù)集合是二維的，可以進一步用克羅內克積進行分解：

式中? pψxi和pψyi分別為x方向和y方向的尺度因子；qψxi和qψyi分別為x方向和y方向的平移因子。

尺度因子pψxi和pψyi的下限為：

式中? ceil（x）表示大于或等于x的最小整數(shù)。

平移因子qψxi和qψyi的取值范圍為：

同理，ξu，ξv，φu和φv也可以用克羅內克積表示。

直接采用克羅內克積表示φu和φv，其基函數(shù)為矩形分布，但文中約束層為圓形，這將導致質量矩陣和剛度矩陣奇異化。為此，首先對約束層基函數(shù)進行篩選，篩選后的形函數(shù)和各自的中心坐標（qφuxi，qφuyi），（qφvxi，qφvyi） 應滿足：

式中，和分別為約束層基礎數(shù)和在x方向和y方向的尺度因子；，為形函數(shù)中心到約束層邊界的距離。由此可記錄，中的元素在φu和φv中的位置，用于剔除質量矩陣、剛度矩陣和外力的幅值向量中多余元素對應的行和列。

1.3 運動方程

聲學黑洞與約束阻尼耦合系統(tǒng)的動能K由聲學黑洞板的動能Kp、阻尼層的動能Kv、約束層的動能Kc組成：

（11）

其中：

式中? ρp，ρv，ρc分別為聲學黑洞板、阻尼層和約束層的密度。

耦合系統(tǒng)的勢能U為：

（15）

式中? Up為聲學黑洞板的勢能，Uv為阻尼層的勢能，Uc為約束層的勢能。

式中? σi和εi（i=p，v，c）為每層的應力和應變；γxz和γyz分別為在xOz平面和yOz平面的切應變；E=Ep（1+iηp）和E=Ec（1+iηc）分別為聲學黑洞板和約束層的復彈性模量，其中Ep和Ec分別為聲學黑洞板和約束層的楊氏模量，ηp和ηc分別為聲學黑洞板和約束層的阻尼損耗因子；為阻尼層的復剪切模量。

激勵點A處的外力功可表示為：

（20）

式中為作用在A點的簡諧外力。

由此，耦合系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：

式中? M和K為系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣；f為外力向量。

根據(jù)歐拉?拉格朗日方程：

聲學黑洞與約束阻尼耦合系統(tǒng)的運動方程為：

（23），可以獲得耦合系統(tǒng)運動方程的頻域表達式：

2 模型驗證

基于Comsol多場耦合有限元分析軟件，建立聲學黑洞與約束阻尼耦合系統(tǒng)的有限元模型，驗證半解析建模方法的正確性。表1和表2分別是其幾何和材料參數(shù)。

圖3為聲學黑洞約束阻尼板的模態(tài)分析結果。從圖3（a）可以看出，半解析分析模型計算結果與有限元模型計算結果吻合。圖3（b）為半解析與有限元模態(tài)頻率計算結果的相對誤差，可知，其模態(tài)頻率有很好的收斂性，除了極少數(shù)模態(tài)頻率的誤差為2%～3%，其余誤差都在1.5%以內。

圖4為第1，8，12和18階模態(tài)振型對比。第一行為半解析模型結果，第二行為有限元模型結果?？梢钥闯鰞煞N方法得到的模態(tài)振型完全一致。

3 約束阻尼參數(shù)對彎曲振動特性的影響

圖5為聲學黑洞板和均勻板的平均平方速度，其表達式為：

式中? S為板的面積，均勻板粘貼了與聲學黑洞板相同的約束阻尼材料。可以看到，聲學黑洞板在聲學黑洞起始頻率1190 Hz以上時，其減振效果更加明顯。對300～1190 Hz范圍內的振動也有所抑制，這主要得益于約束阻尼層的作用。

3.1 阻尼層損耗因子的影響

圖6為阻尼層損耗因子對黑洞中心減振特性的影響?？梢钥闯觯S著損耗因子的增加，聲學黑洞板的減振作用更加明顯，這是因為約束阻尼層的阻尼效應是由約束層和基板位移差導致的黏彈性層剪切形變引起的，這意味著系統(tǒng)的能量耗散與振動衰減速度由阻尼層損耗因子主導。但減振作用與損耗因子之間并不呈現(xiàn)線性關系，沒有必要過分增加阻尼損耗因子。

3.2 阻尼層厚度的影響

圖7為阻尼層厚度對聲學黑洞板減振特性的影響?？梢钥闯?，隨著阻尼層厚度的增加，聲學黑洞板的減振抑制作用會增強。這是因為阻尼層厚度增大，發(fā)生相同彎曲變形時，阻尼層上下表面的位移差會增大，從而導致應變能和能量耗散增大。但剪切應變將會減小，阻尼層厚度過大，其減振效果會變差。

3.3 約束層剛度和厚度的影響

約束層是影響?zhàn)椥詫影l(fā)生剪切變形的主要因素之一，因此約束層的剛度和厚度也會影響約束阻尼對系統(tǒng)的減振效果。圖8為約束層楊氏模量對減振特性的影響。隨著約束層剛度的增加，在1700 Hz以下的振動減小，1700 Hz以上的振動增大。一般而言，隨著約束層剛度增大，阻尼層的剪切變形會增大，減振效果會增強，這顯然與上述現(xiàn)象不符。為此，對比粘貼相同約束阻尼材料的聲學黑洞板和均勻板的平均平方速度，如圖9所示。隨著約束層剛度增大，均勻板的振動在高頻和低頻均會減小，說明約束層剛度的增大的確有助于提升約束阻尼的減振效果。但聲學黑洞板（見圖9（a））的減振規(guī)律與圖8相同，這可能是因為約束阻尼材料粘貼在聲學黑洞中心，增加約束層剛度改變了彎曲波的波長與波速，削弱了聲學黑洞的能量集中效應。聲學黑洞現(xiàn)象在低頻的影響相對較小，隨著頻率升高其能量集中效應將越來越明顯，因此形成了隨約束層剛度增大，低頻減振效果增強，高頻減振效果減弱的現(xiàn)象。

圖10為約束層厚度對聲學黑洞板和均勻板減振特性的影響。與圖9對比可以看出，改變約束層厚度對聲學黑洞板減振效果的影響規(guī)律與改變剛度的規(guī)律一致，這是因為增大約束層剛度和厚度都會削弱聲學黑洞的能量集中效應。而在3.2節(jié)中，隨著阻尼層厚度的增加，不會出現(xiàn)低頻與高頻在減振效果上的差異，這是因為阻尼層楊氏模量（60 MPa）遠遠小于ABH板的楊氏模量（206 GPa），所以對聲學黑洞效應的影響很小。

3.4 阻尼層與約束層比例的影響

在工程應用中，阻尼材料的厚度和質量是受到限制的，因此探究阻尼層與約束層的比例（rvc=hv/hc）有著十分重要的意義。圖11（a）為約束阻尼層總厚度為3 mm時不同rvc的對比結果，隨著rvc的減小，聲學黑洞板在低頻的減振效果增強，而在高頻的減振效果變差，這與單獨改變約束層厚度的規(guī)律一致。這是因為約束層的密度和剛度都遠大于阻尼層的密度和剛度，故約束層厚度改變產(chǎn)生的影響要大于阻尼層厚度。

此外，由于約束層的密度比較大，減小rvc會導致約束阻尼層總質量的增加。圖11（b）為約束阻尼層總質量為431.6 g不同rvc的對比結果。可以看出，隨著rvc的減小，ABH板的減振效果會變差，這是因為阻尼層厚度改變產(chǎn)生的影響要大于約束層厚度，其規(guī)律也與單獨改變阻尼層厚度一致。

4 實驗驗證

聲學黑洞板的實驗平臺如圖12所示。平臺由約束阻尼聲學黑洞板實驗樣件、信號發(fā)生器（SINOC?ERA PIEZOTRONIC JZK?5）、激振器、信號功率放大器（SINOCERA PIEZOTRONICS， YE5871?A）、加速度傳感器與 LMS 數(shù)據(jù)采集器組成。實驗中，利用彈性繩將實驗樣件懸掛起來，以模擬自由邊界條件。通過激振器對樣件上A點施加激勵，在聲學黑洞板B點和C點處獲取響應信號，計算B點到C點的速度平方傳遞率（VST）。

（26）

實驗結果如圖13所示。圖13（a）為聲學黑洞板的速度平方傳遞率，可以看出，實驗結果和理論計算結果的變化趨勢具有良好的一致性。但實驗結果比理論計算結果的速度平方傳遞率稍小一些，這是因為實驗樣件通過彈性繩懸掛于鋁合金架子上，激振器產(chǎn)生的振動能量通過彈性繩傳遞到架子上會產(chǎn)生能量損失。圖13（b）為聲學黑洞約束阻尼板的速度平方傳遞率，實驗結果比理論結果的速度平方傳遞率也要小一些，在200 Hz和500 Hz處峰值偏差較大，主要原因可能有兩個：（1）聲學黑洞板的聲學黑洞加工存在誤差；（2）實驗中存在結構阻尼的作用，而理論計算并沒有考慮結構阻尼的影響。總體上，理論結果和實驗結果的主要趨勢符合較好，表明所建立的半解析模型能較準確地預測聲學黑洞約束阻尼板的振動響應。

另外，從圖14可以看出，在粘貼約束阻尼材料后，聲學黑洞板的傳遞率明顯減小，說明約束阻尼能明顯減弱聲學黑洞板的振動。

5 結? 論

本文在Rayleigh?Ritz法框架下，選擇高斯函數(shù)作為基函數(shù)，考慮高斯基函數(shù)的分布和質量矩陣、剛度矩陣的奇異化問題，建立了聲學黑洞約束阻尼板的半解析模型。分析了約束阻尼結構參數(shù)對聲學黑洞板彎曲振動特性的影響規(guī)律。本文的主要結論如下：

（1） 基于高斯展開法的半解析理論分析模型能準確預測聲學黑洞約束阻尼板的振動特性，避免了質量矩陣和剛度矩陣的奇異化，為研究約束阻尼參數(shù)對聲學黑洞板彎曲振動特性的影響規(guī)律奠定了基礎。

（2） 約束層阻尼結構參數(shù)的研究表明，阻尼層的阻尼損耗因子對聲學黑洞板的減振效果影響顯著，損耗因子越大，減振效果越好；此外，增加阻尼層的厚度，由于強化了剪切變形和能量耗散，會進一步提升聲學黑洞板的減振作用。

（3） 由于約束層剛度和厚度的增大會削弱聲學黑洞的能量聚集效應，從而導致低頻減振作用增強和高頻減振作用減弱。阻尼層與約束層的厚度比決定了其各自的貢獻和占比，也反映出阻尼層和約束層類似的規(guī)律。

在后續(xù)的研究中，將進一步探索約束阻尼結構參數(shù)之間的最佳匹配關系，并研究以目標頻率為導向的約束阻尼拓撲優(yōu)化方法，實現(xiàn)約束阻尼結構的輕量化設計。

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Semi analytical coupling modeling and vibration characteristics of ABH plate with constrained damping layer

Abstract： In recent years， acoustic black hole （ABH） has shown an extremely broad application prospect in the fields of structural vibration and noise suppression， acoustic wave control， energy recovery， etc， due to its excellent performance. However， the truncation of ABH edge will lead to the existence of non-zero reflection coefficient， thus weakening the acoustic black hole effect. In this paper， the constrained layer damping is introduced into ABH plates. Under the framework of Rayleigh Ritz method， Gaussian function is selected as the basis function， and the distribution of basis function is determined according to the shape of ABH plate to avoid the singularity of mass matrix and stiffness matrix. A semi analytical model of ABH plate with constrained layer damping is established. By comparing with the results of finite element analysis， the correctness of the semi analytical modeling method is verified. The influence of structural parameters of constrained layer damping on the bending vibration characteristics of ABH plate is studied， and the damping mechanism and energy dissipation of constrained layer damping are revealed. The experiment further verifies the damping effect of ABH plate with constrained layer damping. The research provides a design reference for the application of constrained layer damping in ABH structures.

Key words： vibration control；acoustical black hole （ABH）；constrained damping layer；Gaussian expansion method；semi-analytical model