基于改進ADMM的含分布式光伏的配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化方法

摘 要：由于所建立含分布式光伏（PV）的有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型是一個典型的非凸混合整數(shù)非線性優(yōu)化模型，提出一種改進交替方向乘子法（ADMM）來求解含分布式光伏的配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化問題。首先以有載調壓變壓器和投切電容器組為例，建立一種新的廣義可分解有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型，然后根據(jù)ADMM算法將有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型分解為2個子問題求解，并設計懲罰參數(shù)的自適應調節(jié)機制以加速收斂。在3個不同規(guī)模有源配電網(wǎng)算例上進行仿真測試，結果表明，所提出改進ADMM方法具有較好的收斂性和最優(yōu)解。

關鍵詞：分布式光伏；無功優(yōu)化；交替方向乘子法；收斂性；全局最優(yōu)

中圖分類號：TM715 文獻標志碼：A

0 引 言

有源配電網(wǎng)通過控制有載調壓分接開關（on load tap changer， OLTC）和投切電容器組（capacitor bank， CB）、分布式光伏等來調節(jié)電壓水平和改善無功潮流分布［1-2］，OLTC是連接主變電站和配電線路的電壓調節(jié)器，CB分布在負荷側進行就近補償，而分布式光伏通過分布式光伏逆變器的輔助服務控制可同時實現(xiàn)分布式光伏的有功出力和無功出力的解耦最優(yōu)控制［3］，因此，有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化的目標是在一系列物理和操作約束條件下減少損耗，并保持電壓分布在合理的范圍內［4］。這些約束條件包括電壓和潮流的允許極限、功率平衡、可控設備的運行曲線等。

從數(shù)學優(yōu)化的角度講，有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化問題既有連續(xù)變量又有離散變量，系統(tǒng)中各節(jié)點的電壓幅值和相角是連續(xù)變量，有載調壓分接比和電容器組開關是離散變量；有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型是建立在最優(yōu)潮流模型的基礎上，具有固有的非線性和非凸性［5］。因此，有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型是一個非凸的混合整數(shù)非線性優(yōu)化問題（mixed integer nonlinear programming， MINLP）［6-7］。非凸性意味著存在多個局部解的可能性，對于這樣的問題，目前沒有求解方法能在有限時間范圍內或有限計算資源下得到全局最優(yōu)解。

圍繞有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化的非線性模型求解，目前主要有3種解決思路，第1種是采用松弛或逼近的配電網(wǎng)潮流模型；第2種是凸化有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型的優(yōu)化域；第3種是利用啟發(fā)式或智能優(yōu)化方法。文獻［8］采用動態(tài)分區(qū)的思想和二階錐松弛技術將配電網(wǎng)無功優(yōu)化問題轉化為若干個混合整數(shù)二階錐優(yōu)化問題迭代求解；文獻［9］將Disflow的潮流模型轉化為二階錐松弛模型，提出有源配電網(wǎng)電壓無功兩階段魯棒優(yōu)化方法；文獻［10］考慮并聯(lián)電容器、OLTC等離散控制裝置，結合二階錐松弛潮流模型，構建配電網(wǎng)電壓無功兩階段優(yōu)化方法。文獻［8-10］均是將非線性的潮流模型松弛為高度線性化的二階錐模型，大大提高了優(yōu)化效率。雖然基于二階錐松弛的配電網(wǎng)無功優(yōu)化研究成果較為豐富，但要求其他元件模型為線性或二階錐，當考慮指數(shù)型負荷模型或ZIP負荷模型時則無法適用。文獻［11-12］通過將非線性的交流潮流模型逐級線性化為線性潮流模型，從而易于嵌入配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型，但無法保證得到全局最優(yōu)解；文獻［13］采用改進的非支配排序遺傳算法（nondominated sorting genetic algorithm Ⅱ， NSGA-Ⅱ）求解多目標配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型；文獻［14］采用多目標粒子群算法求解兼顧網(wǎng)損和電壓偏差的Pareto最優(yōu)解集，從中選擇最優(yōu)方案。文獻［13-14］是基于現(xiàn)代智能優(yōu)化算法獲得單目標或多目標的解，但收斂性問題一直飽受爭議。

綜上，一種去中心化的交替方向乘子法（alternating direction method of multipliers，ADMM）受到廣泛的關注，文獻［15］將擴展內點法與ADMM方法相結合，通過內外嵌套循環(huán)迭代實現(xiàn)最優(yōu)潮流分布式優(yōu)化，保證了收斂性和解的全局性?，F(xiàn)有研究表明，ADMM方法在并行或分布式計算中具有強大的處理能力；文獻［16］采用罰因子修正策略和松弛因子來改善ADMM的收斂性和計算效率，實現(xiàn)多區(qū)域互聯(lián)電網(wǎng)無功分布式優(yōu)化；文獻［17］基于二階錐松弛潮流模型，提出基于模型預測控制的配電網(wǎng)電壓無功滾動優(yōu)化模式，并采用ADMM實現(xiàn)配電網(wǎng)多區(qū)域分布式協(xié)同優(yōu)化；文獻［18］采用同步型ADMM進行分布式優(yōu)化計算，得到各區(qū)域分布式電源的無功優(yōu)化控制策略；文獻［19］以有功損耗和電壓偏差最小為多目標函數(shù)，采用分布式加速ADMM收斂。

ADMM方法可有效求解具有耦合約束、可分解結構的大規(guī)?；旌险麛?shù)非線性優(yōu)化問題。因此，本文提出一種改進的ADMM方法求解配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化的混合整數(shù)非線性優(yōu)化模型，以保證收斂性和解的全局性。本文首先建立廣義可分解的連續(xù)變量和離散變量的配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型，然后根據(jù)ADMM算法，將廣義配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型分解為2個優(yōu)化子模塊，以級聯(lián)方式迭代求解，直至收斂；并進一步設計懲罰參數(shù)[ρ]的自適應調節(jié)機制，在保證收斂性的同時，確保解的全局性。通過3個算例的仿真結果驗證本文所提改進ADMM方法可獲得較優(yōu)的收斂速度和全局最優(yōu)解。

1 有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型

1.1 配電系統(tǒng)元件的數(shù)學模型

對于具有[N]個節(jié)點的輻射狀或網(wǎng)狀配電系統(tǒng)，配電線路[l]的π型等值電路模型由串聯(lián)阻抗[zl=gl+jbl]和總充電電納[bcpl]組成，圖1描述了節(jié)點[i]和[j]之間的[π]型等值電路模型。

如圖2所示，在節(jié)點[i]和[j]之間的配電線路[l]上串聯(lián)了變壓器[k]，變壓器[k]配置有載調壓分接開關。在變壓器的二次側有一個虛擬節(jié)點[m]和一個虛擬變量[Vs]，以關聯(lián)OLTC及其相關配電線路之間的電壓和潮流關系。假定理想變壓器在節(jié)點[i]和[m]之間無功率損耗，二次側[m]與一次側[i]的電壓比等于變壓器匝數(shù)比[t]，且2個節(jié)點的電壓相角相同。因此，二次側電壓為：

[Vsm=Vitk，?i∈Nt，?m，k=[1，…，Λ]] （1）

其中：

[tk=tk+utkδtk，" utk∈Dtk] （2）

[Vi/tk≤Vsm≤Vi/tk， ?i∈Nt，?m， k=[1，…，Λ]] （3）

式中：[Vi]——節(jié)點[i]處的電壓幅值，kV；[tk]——第[k]個變壓器當前OLTC的分接頭比，標準為額定電壓水平的90%～110%，增量變化為5%或8%；[Nt]——OLTC一次側的節(jié)點集合；[Λ]——OLTC分接開關集合；[tk]——[tk]的最小離散值；[utk]——OLTC的分接頭位置；[δtk]——[tk]的增量變化值；[Dtk]——第[k]個OLTC分接頭檔位集合，通常包含32個整數(shù)檔，[Dtk=0，…，32]。

此外，理想變壓器需滿足功率守恒約束為：

[θm=θi，" "Pim=Pmj，" "Qim=Qmj] （4）

式中：[θi]——節(jié)點[i]處的電壓相角，rad；[Pim]、[Qim]——節(jié)點[i]和[m]之間的有功功率（kW）和無功功率（kvar）。

圖3為投切電容器組模型示意圖，在數(shù)學上可采用純電容性無功源建模，其注入容性無功功率為：

[Qci=bckV2i，?i∈Nc，?k=[1，…，Ψ]] （5）

其中：

[bck=bck+uckδck，" uck∈Dck] （6）

[Qc，mini≤Qci≤Qc，maxi，?i∈Nc] （7）

式中：[Qci]——節(jié)點[i]處電容器組的注入無功功率，kvar；[bck]——連接第[k]個電容器組的電納，S；[Nc]——電容器組的節(jié)點集合；[Ψ]——電容器組集合；[bck]——[bck]的最小離散值；[uck]——第[k]個電容器組的當前整數(shù)位置；[Dck]——第[k]個電容器組整數(shù)分接頭檔位集合；[Qc，mini]和[Qc，maxi]——電容器組的注入無功功率的最小值和最大值，kvar。

配電線路[l]在節(jié)點[i]和[j]之間的有功和無功功率為：

[Pij=glV2i-ViVj[glcosθij+blsinθij]，?ij∈l，" l∈ΩL] （8）

[Qij=-（bl+bcpl）×V2i+ViVj[blcosθij-glsinθij]，?ij∈l，" l∈ΩL]

（9）

式中：[gl]、[bl]——線路[l]的電導和電納，S；[θij]——節(jié)點[i]與節(jié)點[j]的相角差，rad；[ΩL]——所有支路集合；[bcpl]——線路[l]的充電電容，F(xiàn)。

因此，配電線路[l]的有功功率損耗為：

[Plossl=Pij+Pji=gl（V2i+V2j-2ViVjcosθij），?ij∈l，" l∈ΩL] （10）

如果線路[l]配置有OLTC，[Plossl]的計算只需將變量[Vi]替換為[Vsm]即可，其中[?m=[1，…，Λ]]。

1.2 分布式光伏可控數(shù)學模型

分布式光伏逆變器采用輔助服務的控制策略可同時實現(xiàn)分布式光伏的有功出力和無功出力的解耦最優(yōu)控制［20］，運行區(qū)域如圖4所示。

根據(jù)圖4可得出分布式光伏逆變器的運行區(qū)域為：

[0≤Pgi≤PPVi，" "i∈ΩPV] （11）

[（Pgi）2+（Qgi）2≤（SPVi）2，" "i∈ΩPV] （12）

[-Pgitanδi≤Qgi≤Pgitanδi，" "i∈ΩPV] （13）

式中：[Pgi]、[Qgi]——[i]節(jié)點上所連接的分布式光伏的有功功率（kW）和無功功率（kvar）；[PPVi]——[i]節(jié)點上所連接的分布式光伏的預測功率值，kW；[SPVi]——[i]節(jié)點上所連接的分布式光伏逆變器的容量，MW；[δi]——[i]節(jié)點上所連接分布式光伏逆變器的功率因數(shù)角，rad。

1.3 有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化目標和約束

有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化旨在根據(jù)一系列物理和操作約束，通過控制OLTC和CB、PV來減少有源配電線路網(wǎng)損和保持適當?shù)碾妷悍植肌Ｒ虼?，OLTC和CB抽頭位置（[ut]和[uc]）是控制變量，它們是整數(shù)型或0-1變量；除了其他相關變量（[Vs]和[Qc]）外，有源配電網(wǎng)的節(jié)點電壓和相角等狀態(tài)變量是連續(xù)變量。

設[z]表示由有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化的整數(shù)型或0-1變量組成的向量，其中，[z∈ZN2=[ut，uc]T，][Nz= |Λ|+|Ψ|，][ut=[ut1，…，utΛ]]，[uc=[uc1，…，ucΨ]]。設[x]表示由有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化的連續(xù)變量組成的向量，[x∈RNx=[V，θ，Vs，Qc，PPV]T]，[Nx=2|N|+|Λ|+|Ψ|，][V=V1，…，VN，][θ=θ1，…，θN，][Vs=[Vs1，…，VsΛ]]。

如前所述，有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化的目標是減小配電線路的有功功率損耗，即最小化式（10），采用向量可表示為：

[f（x）=l∈ΩLPlossl（x）] （14）

此外，考慮到電壓敏感型負荷可降低負荷需求和峰值，因此，在式（11）目標函數(shù)中加入最小化電壓敏感型負荷需求項，則有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化目標變?yōu)椋?/p>

[f（x）=l∈ΩLPlossl（x）+i=1NPdi] （15）

式中：[Pdi]——節(jié)點[i]的負荷有功需求，kW。

除了OLTC和CB的操作約束，即式（1）～式（7）外，為了確保配電網(wǎng)安全運行，還需考慮功率平衡、電壓約束等。

節(jié)點功率平衡約束如式（16）～式（17）所示：

[ΔPi（x）=g∈iPgi-d∈iPdi-j∈ΩiPij（x）=0，j≠i" ?i∈N＼{平衡節(jié)點}]

（16）

[ΔQi（x，z）=g∈iQgi+c∈iQci（x，z）-d∈iQdi-j∈Ωij≠iQij（x）=0，?i∈N＼{平衡節(jié)點}] （17）

式中：[Qdi]——節(jié)點[i]的負荷無功需求，kvar，每個節(jié)點i可有多個負荷需求和分布式光伏；符號[?i∈N＼{平衡節(jié)點}]——[i]是集合[N]中除平衡節(jié)點外的任何節(jié)點。通常，平衡節(jié)點是變電站節(jié)點。

考慮負荷功率需求（[Pdi]、[Qdi]）為電壓敏感型負荷而不是給定的常數(shù)，即：

[Pdi=PniViVnkp] （18）

[Qdi=QniViVnkq] （19）

式中：[Pni]、[Qni]——節(jié)點i在額定電壓和頻率下的有功（kW）和無功負荷功率（kvar）；[Vn]——系統(tǒng)額定電壓，kV；[kp、][kq]——預定義的電壓指數(shù)。

此外，還有電壓上下限約束、相角約束和配電線路最大輸電能力約束，分別如式（20）～式（22）所示：

[Vi≤Vi≤Vi，?i∈N] （20）

[θi≤θi≤θi，?i∈N] （21）

[Sl=Pij+jQij≤Smaxl，" ?ij∈l，" l∈ΩL] （22）

式中：[Vi、][Vi]——節(jié)點電壓[Vi]的上下限，kV；[θi]、[θi]——節(jié)點電壓相角[θi]的上下限，rad；[Smaxl]——配電線路[l]的最大傳輸容量，kVA。

綜上，有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型以式（1）～式（9）、式（11）～式（13）、式（16）～式（22）為約束條件，式（15）為目標函數(shù)。

1.4 廣義有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型

1.2節(jié)建立的有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型中式（1）和式（5）是將變量[x]和[z]耦合在一起，其他約束條件均與單個[x]或[z]關聯(lián)，因此，式（1）、式（5）被認為是離散變量和連續(xù)變量之間的耦合約束。

設[h]為這些耦合約束，即式（1）和式（5）的向量，即：

[h∈RΛ+Ψ=Vs-V1/t1?VsΛ-VNt/tΛQc1-bc1V21?QcNc-bcΨV2Nc] （23）

因此，有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型可寫成如下的廣義形式：

[minx∈X，z∈Z f（x）s.t." h（x，z）=0：λ] （24）

式中：[X]——由式（3）、式（4）、式（7）～式（9）和式（13）～式（22）形成的可行域；[Z]——由式（2）和式（6）形成的可行域；對偶變量[λ∈RNz=[λt，λc]T]——與耦合約束相關的拉格朗日乘子向量。廣義的有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型是將1.3節(jié)建立的配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型統(tǒng)一描述為離散變量和連續(xù)變量耦合的廣義模型，這樣便于后續(xù)推導第2節(jié)ADMM的迭代求解公式。

2 基于改進的ADMM的廣義有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型求解方法

ADMM算法將大規(guī)模優(yōu)化模型式（24）分解為一系列子問題。每個子問題優(yōu)化自己的變量并得到一個優(yōu)化解，并將其他問題的變量（即耦合約束）作為常數(shù)［21］。同時，將耦合約束轉化為每個子問題的目標函數(shù)的懲罰項，強制滿足這些約束。

2.1 ADMM算法

根據(jù)1.3節(jié)中建立的有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化廣義模型，采用ADMM算法敘述如下。

有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化廣義模型式（24）的拉格朗日函數(shù)為：

[L（x，z，λ）=f（x）+λTh（x，z）] （25）

進一步將耦合約束向量[h（x，z）]作為一個恒為正的懲罰項來懲罰偏離最優(yōu)解的情況，即：

[Lρ（x，z，λ）=f（x）+λTh（x，z）+ρ2h（x，z）22] （26）

式中：[ρ∈R+]——一個懲罰參數(shù)；[（?）22]—— 一個向量的2范數(shù)平方。

將縮放的拉格朗日乘子[η=λρ]代入式（26），則增廣拉格朗日函數(shù)變?yōu)椋?/p>

[Lρ（x，z，η）=f（x）+ρ2h（x，z）+η22-ρ2η22] （27）

因此，ADMM算法將式（24）分解為2個子問題，第1個子問題優(yōu)化連續(xù)變量[x]，而將[z]視為常數(shù)；第2個子問題，優(yōu)化離散變量[z]，而將[x]視為常數(shù)。同時將式（25）作為這些子問題的目標函數(shù)，必須滿足耦合約束才能達到最優(yōu)。

第1個子問題為：

[minxlLPlossl（x）+iNPdi+ρ2h（x，z）+η22s.t. 式（3）、式（4）、式（7）～式（9）、式（11）～式（22）] （28）

式（28）將離散變量[z]和乘子[η]視為常數(shù)，因此，式（28）是一個典型的非線性優(yōu)化問題，可采用較為成熟的內點法求解。

第2個子問題將[z]中離散變量松弛后進行優(yōu)化，而將連續(xù)變量[x]和乘子[η]視為常數(shù)。[z]中的離散變量在它們的上下限之間是松弛的。當優(yōu)化過程終止時，[z]值被四舍五入到最為接近的整數(shù)值。

[minz ρ2h（x，z）+η22s.t.min[Dtk]≤utk≤max[Dtk]min[Dck]≤uck≤max[Dck]] （29）

ADMM算法采用高斯-塞德爾掃描法連續(xù)執(zhí)行分解后的2個子問題，交換結果，更新聯(lián)合對偶變量，如式（30）所示，上標[k]表示迭代次數(shù)，迭代過程不斷循環(huán)，直到找到一個可行的、充分的最優(yōu)解［22］。

[ 求解第1個子問題 ： xk+1=argminxLρx，zk，ηk 求解第2個子問題 ： zk+1=argminzLρxk+1，z，ηk 更新對偶變量 ： ηk+1=ηk+hxk+1，zk+1] （30）

通過初步的可行性校驗，得到ADMM算法收斂的充要條件為：

[limk→∞h（xk，zk）=0] （31）

式（31）意味著當?shù)^程結束時，即[k→∞]，必須滿足耦合約束，才能保證優(yōu)化結果的可行性。

此外，第2個收斂準則可觀察第2個子問題優(yōu)化結果的平穩(wěn)性，確保得到的優(yōu)化結果是最好的，即：

[limk→∞（zk-zk-1）=0] （32）

因此，對式（30）進行迭代循環(huán)，直到獲得一個充分的最優(yōu)可行結果。綜合采用如下的收斂判據(jù)。

可行性殘差校驗：

[rk+12=ηk+1-ηk2≤?1] （33）

平穩(wěn)性殘差校驗：

[sk+12=zk+1-zk2≤?2] （34）

式中：[?1]和[?2]——預定義閾值，一般小于[1×10-6]。

2.2 設備優(yōu)先級切換機制

式（26）和式（27）定義的2個子問題具有多目標函數(shù)項，需同時進行優(yōu)化，這可能會導致求解沖突，延緩收斂過程。因此，為了更平滑地收斂，本文引入一種設備優(yōu)先級切換方法。這種方法有助于OLTC和CB之間的切換優(yōu)先級順序，以防止優(yōu)化過程中設備動作相互抵消。

將式（23）重構為式（35），采用2個比例系數(shù)[α]和[β]作為優(yōu)先級向量，控制得到多目標函數(shù)中各項的影響權重。

[h?=αVsm-VitkβQci-bckV2i ，nbsp; ?i∈Nt， ?m， k=[1，…，Λ] ，" ?i∈Nc， ?k=[1，…，Ψ]] （35）

通常[αgt;β]，因此，與CB作用相比，OLTC系統(tǒng)電壓的作用影響更大。式（35）定義了設備之間優(yōu)先級排序的方法，通過2個比例系數(shù)[α]和[β]，可在迭代過程中優(yōu)先于其他設備動作。

2.3 懲罰參數(shù)ρ自適應調節(jié)

對于式（24）這種非線性和非凸優(yōu)化問題，ADMM的收斂性、解的全局性，與懲罰參數(shù)ρ密切相關［23］。當ρ固定時，可能會陷入不可行域而無法收斂。

因此，本節(jié)采用自適應的懲罰參數(shù)調節(jié)方法，在保持解全局性的同時達到收斂。懲罰參數(shù)ρ的調節(jié)方式如式（36）所示。然而，頻繁地調節(jié)ρ是不現(xiàn)實的，因此，在式（36）中添加一個模運算符來限制ρ的更新頻次。

[ρk+1=νρk， rk2gt;μsk2ρkν， sk2gt;μrk2ρk， 其他] （36）

式中：[ν]和[μ]——可調常數(shù)，通常設置為[ν=2]，[μ=10]。

因此，本文所提出的改進ADMM算法求解的具體步驟如下：

1）輸入有源配電網(wǎng)數(shù)據(jù)，建立配電系統(tǒng)元件的數(shù)學模型和分布式光伏可控模型，形成有源配電系統(tǒng)電壓/無功優(yōu)化模型；

2）在步驟1）基礎上，形成廣義的有源配電網(wǎng)電壓/無功優(yōu)化模型；

3）基于步驟2）建立的廣義有源配電網(wǎng)電壓/無功優(yōu)化模型，采用基于ADMM的優(yōu)化方法迭代求解；

4）為了避免2個子問題間目標函數(shù)沖突，設置實施設備切換優(yōu)先級機制；

5）為了保證收斂性和解的質量，進一步設計了響應式的懲罰參數(shù)[ρ]調節(jié)方法。

3 仿真分析

本節(jié)分別采用33節(jié)點［24］、85節(jié)點［25］和141節(jié)點［26］的3個配電網(wǎng)進行仿真分析，3個系統(tǒng)初始狀態(tài)下的有功損耗分別為203、316和629 kW。3個系統(tǒng)均包含OLTC和CB。表1列出了3個算例的OLTC和CB數(shù)據(jù)。表1中，δc表示每個電容器單元的容量，33步調節(jié)比例±10%，意味著[tk=0.9]，[δt1=5%或8%]，[Dtk=0，…，32]。

本文所提改進ADMM算法在Matlab平臺上編程實現(xiàn)，并調用大規(guī)模非線性優(yōu)化求解器IPOPT［27］。在表1列出的3個算例中，[Vbase]為系統(tǒng)基準電壓，kV；[Sbase]為系統(tǒng)基準容量，MVA。離散決策變量的初始值設置為[ut1=16]和[uc1=0]，這表示OLTC被設置為中間抽頭位置，CB沒有投入?？s放的對偶變量[η]初值為：[ηt1=10-1]和[ηt1=10-2]。此外，節(jié)點電壓的上下限為1.1和0.9，而可行性殘差和平穩(wěn)性殘差[?1]、[?2]均設置為10-6。其他參數(shù)設置為：[Ks=100，][α=1]，3個算例的[β]分別為 1、0.5、0.1，[ρ]分別為150、15、50。

由于配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型式（24）具有非凸性，求解得到全局最優(yōu)解具有很大的難度，為此，本文通過窮舉所有可能的離散值得到全局最優(yōu)解，以此作為基準結果。對于每個算例，在考慮已安裝的OLTC和CB時，窮舉法是將設備設置為特定的運行點（例如，對于[OLTC#1，][t1=0.9]）并保持其他設備的設置值固定，然后進行潮流計算并檢驗結果是否違反了約束條件。隨后，在保持該設置不變的同時，移動到下一個位置并更改其值，以此類推，直到窮舉完所有可能的離散值，目標是找到有功功率損耗最小的結果，同時滿足式（24）中所有約束條件，因此，采用窮舉法得到的結果肯定是全局最優(yōu)的解。表2給出了3個算例的有功損耗的全局最優(yōu)解，也給出了3個算例全局最優(yōu)解所對應的OLTC和CB位置。

3.1 分布式光伏對網(wǎng)損的影響

假設3個分布式光伏分別連接在IEEE-33節(jié)點的6、14、29號節(jié)點上，無功優(yōu)化階段的結果如圖5所示，以t=12為例，該時刻總負荷為8 MW，不考慮無功優(yōu)化時的系統(tǒng)損

耗為423 kW，經(jīng)過優(yōu)化以后，系統(tǒng)損耗變?yōu)?31 kW，網(wǎng)損率為2.89%，下降了45%，且各節(jié)點電壓均在安全約束范圍內。由此可見，通過分布式光伏和無功補償裝置的無功補償能力可調整電壓在允許的范圍內，且有效地降低系統(tǒng)損耗。

3.2 改進的ADMM算法的性能評估

圖6～圖8描繪了改進的ADMM算法求解3個算例的迭代過程，主要包括可行性殘差、平穩(wěn)性殘差、目標函數(shù)和懲罰參數(shù)ρ。圖9給出了3個算例對應的節(jié)點電壓幅值和相角的雷達分布。圖9中雷達圖表示節(jié)點電壓幅值和相角的分布情況，半徑大小表示幅值分布，弧度表示相角；圖9最外層標注了節(jié)點電壓的相角大小，2個線圈的半徑分別為0.95和1.05 pu，從圖9散點圖分布可看出，節(jié)點電壓都分布在0.95～1.05 pu之間。從圖6～圖9不難看出：在滿足節(jié)點電壓約束的同時，改進的ADMM算法只需3～5次迭代就能得到可行的

最優(yōu)結果，表明了本文所提出的ADMM算法具有較好的收斂性。此外，3個算例的優(yōu)化時間分別為20、67和115 s。3個算例的總有功功率損耗分別為127.53、123.32和402.02 kW，與初始狀態(tài)相比，分別降低了37.2%、61.0%和36.0%的有功損耗。

圖10展示了CS-3算例中縮放的對偶變量[η]和[h?（x，z）]收斂的交替過程，從圖10也可看出，在迭代過程中，OLTC和CB動作的一致性均是向著收斂方向，進一步驗證了改進的ADMM算法的收斂性。

圖6d、圖7d和圖8d給出了懲罰參數(shù)ρ的調節(jié)過程。如前所述，懲罰參數(shù)ρ的自適應調節(jié)方法降低了對懲罰參數(shù)初值的依賴性，保證了ADMM算法的收斂過程。進一步，通過給ρ賦不同的初始值來檢驗其收斂性，圖10給出了不同懲罰參數(shù)初值下3個算例的收斂過程，圖6～圖8中[εpri]表示等于10-5的收斂閾值。

另外，圖11描述了不同懲罰參數(shù)初值下3個算例的第1個子問題目標函數(shù)收斂過程。圖11中的圓形實線表示每個算例的全局最優(yōu)解（表2）。圖11和圖12結果表明，ρ的自適應調節(jié)技術加快并保證了ADMM算法的收斂性，使得收斂后的結果非常接近或等于全局最優(yōu)解。因此，ρ初始賦值主要影響收斂速度，而不影響解的全局性。

3.3 與兩類混合整數(shù)非線性優(yōu)化方法的比較

進一步，為了驗證本文所提出的改進ADMM算法的優(yōu)越性，與兩類常見的啟發(fā)式混合整數(shù)非線性優(yōu)化方法，即分支定界法（branch and bound，BnB）和分支切割法（branch and cut，BnC）進行比較，這兩類算法可通過商業(yè)求解器Knitro［28］調用。

表3給出了采用改進ADMM方法與兩類混合整數(shù)非線性優(yōu)化方法的優(yōu)化結果。表3中誤差項是優(yōu)化結果與表2中全局最優(yōu)解之間的偏差。從表3可看出，對于較大的141節(jié)點算例，BnB和BnC算法的優(yōu)化結果比本文所提改進ADMM算法要稍微好一些，改進ADMM算法與表2中全局最優(yōu)解相差1.45%。但BnB和BnC算法的優(yōu)化時間要比改進ADMM算法多數(shù)倍。因此，改進的ADMM算法在求解大規(guī)模配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化模型時可在一定誤差范圍內快速獲得可行的優(yōu)化結果。

3.4 與基于Disflow模型的MISOCP方法比較

現(xiàn)有的配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化絕大數(shù)采用基于Disflow模型的混合整數(shù)二階錐優(yōu)化（mixed integer second-order cone programming， MISOCP）方法，這類方法具有凸性和收斂速度

快的特點，因此被廣泛采用。然而，基于Disflow模型的混合整數(shù)二階錐優(yōu)化方法的收斂速度在很大程度上取決于整數(shù)變量的維數(shù)，當整數(shù)變量維數(shù)增加時其收斂速度急劇下降。一方面，松弛的二階錐潮流方程也有一定的誤差；另一方面，對于本文研究的電壓敏感型的指數(shù)型負荷或者ZIP負荷模型則需采用一階泰勒近似轉化，因此，其誤差總是存在，無法得到全局最優(yōu)解。

表4給出了改進的ADMM算法與基于Disflow模型的MISOCP方法的優(yōu)化結果。從表4可看出，MISOCP方法能快速獲得最優(yōu)解，但解與全局最優(yōu)解存在一定的誤差，而本文方法雖耗時大，但基本上較為接近全局最優(yōu)解。此外，圖13給出了MISOCP方法與采用Matpower獲得的節(jié)點電壓幅值和相角結果對比，可看出MISOCP方法求解得到的節(jié)點電壓幅值和相角與精確結果存在不小的誤差，尤其是電壓相角，這充分反映MISOCP方法為了保證收斂速度而降低了精度。

4 結 論

為了解決有源配電網(wǎng)混合整數(shù)非線性電壓無功優(yōu)化問題，本文提出一種基于交替方向乘子法的有源配電網(wǎng)電壓無功優(yōu)化方法。該方法首先建立一種新的廣義可分解的電壓無功優(yōu)化模型，包括有載調壓分接開關（OLTC）和電容器組（CB）、分布式光伏可控模型，然后，根據(jù)ADMM算法，將廣義電壓/無功優(yōu)化模型分解為2個優(yōu)化模塊，以級聯(lián)方式迭代求解，直至收斂。最后在3個算例上進行仿真驗證，結果表明：

1） 通過對分布式光伏和無功補償裝置無功出力的調節(jié)，可消除因配電網(wǎng)潮流改變所引起的電壓越限問題，使電壓在合理的范圍內并有效減少網(wǎng)損。

2） 在滿足節(jié)點電壓約束的同時，改進的ADMM算法只需3～5次迭代就能得到可行的最優(yōu)結果，改進的ADMM算法具有較好的收斂性。

3） 與現(xiàn)有兩類啟發(fā)式混合整數(shù)非線性優(yōu)化方法相比，改進的ADMM算法雖與全局最優(yōu)解稍有偏差，但耗時更短。

4） 與基于Disflow模型的混合整數(shù)二階錐優(yōu)化方法相比，本文方法雖耗時大，但基本上較為接近全局最優(yōu)解，而基于Disflow模型的混合整數(shù)二階錐優(yōu)化方法是犧牲了精度換取速度。

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VOLT/VAR OPTIMIZATION METHOD OF DISTRIBUTION

NETWORK WITH DISTRIBUTED PHOTOVOLTAIC BASED ON

IMPROVED ADMM

Sun Shengbo1，Rao Yao2，3 ，Guo Wei1，Le Jian4 ，Zhang Ran5，Sun Zhicheng2，3

（1. State Grid Hebei Marketing Service Center， Shijiazhuang 050021， China；

2. State Grid Electric Power Research Institute（Nari Group Corporation）， Nanjing 211000， China；

3. State Grid Electric Power Research Institute Wuhan Energy Efficiency Evaluation Company， Wuhan 430074， China；

4. School of Electrical Engineering and Automation， Wuhan University， Wuhan 430072， China；

5. State Grid Hebei Electric Power Co.， Ltd.， Shijiazhuang 050021， China）

Abstract：Since the voltage and reactive power optimization model of distribution network with distributed photovoltaic （PV） is a typical non convex mixed integer nonlinear optimization model， this paper proposes an improved alternating direction multiplier method （ADMM） to solve the voltage and reactive power optimization problem of distribution network with distributed photovoltaic. Taking on load tap changer and switched capacitor bank as examples， a new generalized decomposable voltage and reactive power optimization model of active distribution network with distributed photovoltaic is established. Then， the voltage and reactive power optimization model of distribution network with distributed photovoltaic is decomposed into two subproblems to solve according to ADMM algorithm， and a self-adaptive adjustment mechanism of penalty parameters is designed to accelerate convergence. Simulation tests on three distribution network examples of different scales show that the improved ADMM method proposed in this paper has better convergence and better optimal solution.

Keywords：distributed photovoltaic； reactive power optimization； alternating direction multiplier method； astringency； global optimum