基于變分法減少損耗的直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)功率優(yōu)化

摘 要：為提高不規(guī)則激勵(lì)力下直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)的輸出功率，改善波能捕獲能力并減少系統(tǒng)主要損耗，結(jié)合電機(jī)與水動(dòng)力方程，建立直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，基于變分法構(gòu)造能量泛函，求解泛函極值后得出最優(yōu)控制律；設(shè)計(jì)擴(kuò)展卡爾曼濾波器（EKF）觀測(cè)系統(tǒng)不易獲取的相關(guān)狀態(tài)變量，離線調(diào)整泛函懲罰項(xiàng)系數(shù)，在不增加整體計(jì)算量的情況下獲得理想?yún)⒖茧娏鳎?yīng)用磁場(chǎng)定向控制策略進(jìn)行跟蹤，同時(shí)兼顧電磁力約束與功率捕獲關(guān)系。仿真結(jié)果表明，所提方案響應(yīng)速度快、狀態(tài)觀測(cè)精度高，可有效提升功率捕獲能力、減少系統(tǒng)主要損耗、提高輸出功率。

關(guān)鍵詞：波浪能；損耗；波能轉(zhuǎn)換；變分法；功率捕獲

中圖分類號(hào)：TM619；P743.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

波浪能儲(chǔ)量大、分布廣，是一種發(fā)展前景好、無污染的可再生新能源［1］，但其開發(fā)利用遠(yuǎn)未成熟［2-3］，目前已有擺式、鴨式、點(diǎn)吸收式、直驅(qū)式等多種波能轉(zhuǎn)換裝置面世［4］。結(jié)合波浪運(yùn)動(dòng)特性可知，在大推力、低速運(yùn)行工況下，直線電機(jī)優(yōu)勢(shì)明顯［5-6］。以永磁同步直線電機(jī)為核心的直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、轉(zhuǎn)換效率高，是未來波浪發(fā)電研究應(yīng)用的重要方向［7］。

為提高波能轉(zhuǎn)換裝置（wave energy converters， WEC）轉(zhuǎn)換效率，需采用合適的控制策略。當(dāng)浮子質(zhì)量塊與波浪運(yùn)動(dòng)發(fā)生共振時(shí)，波能轉(zhuǎn)換效率最高［8］。理想情況下，文獻(xiàn)［9］通過計(jì)算最優(yōu)阻尼系數(shù)與彈簧系數(shù)，使WEC發(fā)生共振，獲取最大功率，但實(shí)際海浪是不規(guī)則的，變化的波浪特性會(huì)導(dǎo)致WEC工作存在偏差。針對(duì)不規(guī)則波浪激勵(lì)，文獻(xiàn)［10］基于閉鎖控制策略控制浮子特定時(shí)間釋放，跟隨波浪升沉并迫使浮子速度與波浪產(chǎn)生同頻共振，但實(shí)際波浪頻率復(fù)雜，浮子鎖存與釋放時(shí)間難以確定。文獻(xiàn)［11］應(yīng)用無跡卡爾曼濾波算法預(yù)估波浪主導(dǎo)頻率，通過跟蹤主導(dǎo)頻率對(duì)應(yīng)最優(yōu)電磁力，保證系統(tǒng)處于最大功率點(diǎn)，但計(jì)算量大，實(shí)時(shí)性也有待考證，且未考慮波浪非主導(dǎo)頻率的能量捕獲，屬于次優(yōu)控制。將水動(dòng)力參數(shù)視為不變常數(shù)，采用人工魚群算法［12］在規(guī)則波浪下求解最優(yōu)負(fù)載，實(shí)現(xiàn)最大波能捕獲，但水動(dòng)力模型的參數(shù)并非常數(shù)，而是跟隨頻率發(fā)生變化的非線性函數(shù)。因此，將輻射力中的卷積項(xiàng)近似轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型［13］，設(shè)計(jì)擴(kuò)展卡爾曼濾波器（extended Kalman filter，EKF）觀測(cè)輻射力狀態(tài)變量［14］。

為提高復(fù)雜環(huán)境下系統(tǒng)波能捕獲能力，文獻(xiàn)［15］通過構(gòu)造功率捕獲能量泛函，采用變分法求取最優(yōu)電磁力，結(jié)合卡爾曼濾波算法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在線預(yù)測(cè)不規(guī)則波浪激勵(lì)力，提高功率捕獲能力。實(shí)際發(fā)電系統(tǒng)存在損耗，系統(tǒng)捕獲功率減去損耗后才是真實(shí)輸出功率。低速運(yùn)行時(shí)電機(jī)鐵損耗占比?。?6］，而機(jī)械損耗與雜散損耗等小占比損耗又無法準(zhǔn)確建模分析［17］。風(fēng)力發(fā)電中有許多相關(guān)損耗研究［18-20］，但在低速運(yùn)行的波浪發(fā)電系統(tǒng)中研究尚少?；诮?jīng)濟(jì)模型預(yù)測(cè)功率優(yōu)化策略，文獻(xiàn)［21］通過改變成本函數(shù)計(jì)及系統(tǒng)主要損耗，約束系統(tǒng)位移、速度后，求解最優(yōu)電磁力，使WEC在安全狀態(tài)下工作，減少銅損耗，提高系統(tǒng)輸出功率，但模型預(yù)測(cè)控制（model predictive control， MPC）計(jì)算復(fù)雜，需解決模型預(yù)測(cè)的實(shí)時(shí)性問題。磁場(chǎng)定向控制策略下，系統(tǒng)銅損耗與電磁力緊密相關(guān)，因此文獻(xiàn)［22］在規(guī)則波浪下將加速度用位移表示，在成本函數(shù)中加入控制能量的懲罰項(xiàng)，約束電磁力并提高波能捕獲能力，減少系統(tǒng)主要損耗，但只嚴(yán)格適用于規(guī)則波浪。提升功率捕獲能力時(shí)還需考慮系統(tǒng)損耗，并盡可能減小計(jì)算量。

本文通過構(gòu)造系統(tǒng)捕獲功率能量泛函，并加入控制能量懲罰項(xiàng)，應(yīng)用變分法求取最優(yōu)控制律，降低計(jì)算量并約束電磁力以減少系統(tǒng)主要損耗，提高不規(guī)則波浪激勵(lì)力下的平均輸出功率。采用磁場(chǎng)定向控制策略，精確跟蹤參考電流信號(hào)，增加系統(tǒng)輸出功率，設(shè)計(jì)擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器，觀測(cè)系統(tǒng)速度與非線性輻射力狀態(tài)變量。仿真表明，所提最優(yōu)控制策略跟蹤性能好、捕獲功率和平均輸出功率高。

1 直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)

直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)中永磁直線同步電機(jī)動(dòng)子與浮子質(zhì)量塊直接耦合，只考慮單自由度有效運(yùn)動(dòng)時(shí)，浮子隨波浪做垂蕩，驅(qū)動(dòng)直線電機(jī)切割磁場(chǎng)發(fā)電，等效模型如圖1所示。

1.1 水動(dòng)力模型

在不規(guī)則波浪下，根據(jù)牛頓第二定律分析系統(tǒng)受力，可得水動(dòng)力時(shí)域模型［23］：

[（m+m∞）a（t）+Rdv（t）+Kvx（t）+fr（t）=fex（t）+fu（t）] （1）

[fr（t）=-m∞a（t）--∞∞Kr（t-τ）v（t）dτ] （2）

式中：[m]——運(yùn)動(dòng)裝置總質(zhì)量，kg；[m∞]——浮子在無窮頻率下的附加質(zhì)量，kg；[a]——浮子運(yùn)動(dòng)加速度，m/s2；[Rd]——摩擦和阻力系數(shù)，N?s/m；[v]——速度，m/s；[Kv]——浮力系數(shù)，N/m；[x]——浮子位移，m；[fr]——輻射力，N；[fex]——波浪激勵(lì)力，N；[fu]——直線電機(jī)電磁推力；[Kr]——時(shí)延函數(shù)。

實(shí)際海況下，WEC不可避免地存在非線性現(xiàn)象，在時(shí)域內(nèi)考慮非線性因素時(shí)可通過格林函數(shù)求解，但計(jì)算費(fèi)時(shí)，Cummins理論結(jié)合頻域可減少計(jì)算時(shí)間。頻域內(nèi)，式（2）可表示為：

[fr（jω）=-[R（ω）+jωm（ω）]v（jω）] （3）

式中：[R（ω）]——?jiǎng)萘髯枘幔琋?s/m；[m（ω）]——附加質(zhì)量，kg。

在Cummins方法中，時(shí)域內(nèi)輻射力存在卷積項(xiàng)，表示流體存在記憶效應(yīng)，求解費(fèi)時(shí)。為此，可先通過流體仿真軟件獲取相應(yīng)頻域內(nèi)的輻射力函數(shù)，而后采用狀態(tài)空間模型近似替代［24］。狀態(tài)空間表達(dá)形式為：

[zr（t）=Azzr（t）+Bzv（t）-∞∞Kr（t-τ）v（t）dτ≈Czzr（t）] （4）

式中：[zr]——輻射力相關(guān)的狀態(tài)變量，[zr=[z1;z2;z3]]；[Az、][Bz、][Cz]——三階矩陣。

聯(lián)立式（1）、式（2）、式（4），得到水動(dòng)力時(shí)域模型：

[Ma（t）+Rdv（t）+Kvx（t）+Czzr（t）=fex（t）+fu（t）] （5）

式中：[M=m∞+m]。

1.2 永磁同步直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型

WEC低速運(yùn)行時(shí)，波浪帶動(dòng)直線電機(jī)往復(fù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生電能，為便于分析，不計(jì)機(jī)械損耗、雜散損耗等小占比損耗，忽略端部效應(yīng)，電機(jī)d-q軸數(shù)學(xué)模型為：

[diddt=1Ld（-ud-Rsid+ωLqiq）diqdt=1Lq（-uq-Rsiq-ωLdid+ωψ）] （6）

式中：[id]、[iq]、[ud]、[uq]、[Ld]、[Lq]——[d、q]軸電流（A）、電壓（V）、電感（H）；[Rs]——定子電阻，Ω；[ω]——電角速度，rad/s；[ψ]——永磁體磁鏈，Wb。

由式（6）可知，直線電機(jī)存在耦合，為簡(jiǎn)化控制，加入前饋控制環(huán)節(jié)，有：

[diddt=1Ld（-ud0-Rsid）diqdt=1Lq（-uq0-Rsiq）] （7）

式中：[ud0]、[uq0]——解耦后[d、q]軸電壓，[ud0=ud-][ωLqiq]，[uq0=uq+ωLdid-ωψ]。

采用磁場(chǎng)定向控制策略，令[id=0]，則電機(jī)電磁力為：

[fu=3πpnψ2τiq=kuiq] （8）

式中：[pn]——極對(duì)數(shù)；[τ]——極距，m；[ku]——正常數(shù)。

可見電磁力與[q]軸電流正相關(guān)。

1.3 最優(yōu)控制策略

系統(tǒng)捕獲能量為：

[E=-fuvdt] （9）

應(yīng)用磁場(chǎng)定向控制策略時(shí)，系統(tǒng)銅耗為：

[Pcu=iq2Rs] （10）

忽略電機(jī)損耗時(shí)，可通過式（9）構(gòu)造能量泛函，求取最優(yōu)控制律，提高功率捕獲能力。但電機(jī)損耗是真實(shí)存在的，如若構(gòu)造能量泛函時(shí)直接忽略所有損耗，系統(tǒng)無法輸出理想最大功率，故在計(jì)算最優(yōu)控制律時(shí)，需盡可能考慮損耗。由式（8）和式（10）可知，電磁力與銅耗緊密正相關(guān)，受線性二次型最優(yōu)控制啟發(fā)，將控制能量即電磁力納入考慮，統(tǒng)籌考慮電磁力與功率捕獲關(guān)系，提高功率捕獲能力的同時(shí)減少系統(tǒng)主要損耗。泛函極值為：

[min：J[v]=t=0Tfuv+hf2udt，" Tgt;0] （11）

式中：[h]——正常數(shù)。

應(yīng)用變分法求解式（11），即可求出考慮系統(tǒng)主要損耗下的最優(yōu)電磁力。

令[L=fuv+hf2u]，則：

[?L?v=（2Rdh+1）fu+Rdv] （12）

[?L?a=Mv+2Mhfu] （13）

應(yīng)用歐拉方程，式（11）變?yōu)椋?/p>

[δJ[v]=t=0Tδv（2Rdh+1）fu+Rdv-Ma-2MhGdt，" Tgt;0] （14）

式中：[G=Ma+Rda+Kvv+Czzr]。

進(jìn)一步簡(jiǎn)化式（14），得：

[δJ[v]=t=0Tδv[（2Rdh+1）fu+Rdv-2MhG1]dt，" Tgt;0] （15）

式中：[G1=Ma+Kvv+Czzr]。

根據(jù)變分極值必要條件，可求解出最優(yōu)電磁力為：

[fu=2MhG1-Rdv2Rdh+1] （16）

聯(lián)立式（8）和式（16），可得[q]軸參考電流為：

[iqref=2MhG1-Rdvku（2Rdh+1）] （17）

通過跟蹤[q]軸參考電流，實(shí)時(shí)調(diào)整電機(jī)電磁力控制浮子運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)最大功率捕獲。此處[h]設(shè)置為0.0006。

2 擴(kuò)展卡爾曼濾波器

波浪運(yùn)動(dòng)特性決定了直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)是一個(gè)低速運(yùn)行系統(tǒng)，傳統(tǒng)預(yù)估算法適用性差，且大多為離線計(jì)算，不具備實(shí)時(shí)運(yùn)行條件。非線性輻射力相關(guān)變量很難直接測(cè)量，為實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，需提高觀測(cè)精度。實(shí)際海況復(fù)雜多變，過多傳感器會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)日常維護(hù)負(fù)擔(dān)重、成本高。擴(kuò)展卡爾曼濾波算法無需速度傳感器即可實(shí)現(xiàn)輻射力與速度觀測(cè)，實(shí)時(shí)性好、預(yù)估精度高［23］。應(yīng)用EKF算法實(shí)現(xiàn)狀態(tài)觀測(cè)，結(jié)合式（4）和式（5），可得波浪發(fā)電系統(tǒng)狀態(tài)方程：

[dxγdt=f（xγ）+Buy=Hxγ] （18）

式中：[xγ=[x;v;zr]]；[u=[fu;fex]]；[y=[x;v]]。

[f（xγ）=v（t）-KvMx（t）-RdMv（t）-CzMzr（t）Azzr（t）+Bzv（t）] （19）

[B=0" " 1M" " 0" " 0" " 00" " 1M" " 0" " 0" " 0T] （20）

[H=1" " 0" " 0" " 0" " 00" " 1" " 0" " 0" " 0] （21）

EKF算法首先根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)預(yù)測(cè)下一時(shí)刻狀態(tài)矢量，再由當(dāng)前觀測(cè)值更新預(yù)估值，具體步驟為：

1）由[k]時(shí)刻輸入[u（k）]和先驗(yàn)預(yù)估狀態(tài)向量，預(yù)測(cè)k+1時(shí)刻的系統(tǒng)信息：

[x+γ（k+1）=xγ（k）+Ts[f（xγ（k））+Bu（k）]y+（k+1）=Hx+γ（k+1）] （22）

式中：[Ts]——采樣時(shí)間；“^”——狀態(tài)估計(jì)；“+”——預(yù)測(cè)值。

2）計(jì)算協(xié)方差矩陣和增益矩陣：

[p+（k+1）=p（k）+Ts[F（k）p+p（k）F（k）T]+QK（k+1）=p+（k+1）HT[Hp+（k+1）HT+R]-1] （23）

[F（k）=?f（xγ）?xγxγ=xγ（k）] （24）

式中：[Q、R]——互不相關(guān)噪聲矢量的協(xié)方差矩陣，Q=diag（[0.0001，0.0001，0.0001，0.0001，0.0001]），R=diag（[20，20]）；[F（k）]——狀態(tài)變量的Jacobian矩陣。

計(jì)算[p+（k+1）]可修正[K（k+1）]，提高EKF精度。

3）狀態(tài)估計(jì)的校正，即“濾波”過程，更新狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差矩陣。

[xx（k+1）=x+x（k+1）+K（k+1）[y（k+1）-y+（k+1）]p（k+1）=I-K（k+1）Hp+（k+1）] （25）

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證所提控制策略的有效性和可行性，基于Matlab/ Simulink仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，建立WEC系統(tǒng)仿真模型，如圖2所示。WEC相關(guān)參數(shù)為：運(yùn)動(dòng)裝置總質(zhì)量和無窮頻域下附加質(zhì)量之和[M=325.6]kg，電機(jī)極對(duì)數(shù)[pn=4]，極距[τ=0.05]m，永磁體磁鏈[ψ=0.14]Wb，定子電阻[Rs=3.48] Ω，[d、q]軸電感[Ld=Lq=8.2]mH，摩擦和阻力系數(shù)[Rd=300]N?s/m，浮力系數(shù)[Kv=980] N/m。輻射力相關(guān)系數(shù)矩陣為：[Az=]［-5.062

-16.87 -22.96；1" 0" 0；0" 1" 0］；[Bz=]［1；0；0］；[Cz=]［72.88 352.1 -66.76］。

為比較不同方案對(duì)輸出平均功率的提升效果并保證不規(guī)則激勵(lì)力的隨機(jī)性，在同一場(chǎng)景下利用函數(shù)發(fā)生器模擬隨機(jī)激勵(lì)力，如圖3所示。在不規(guī)則激勵(lì)力下，圖4給出了擴(kuò)展卡爾曼濾波器所觀測(cè)輻射力狀態(tài)變量信息，可知EKF能夠準(zhǔn)確觀測(cè)這些信息。

由圖5、圖6可知，EKF濾波器能精準(zhǔn)觀測(cè)浮子速度，其波形接近正弦波，速度誤差小于0.03 m/s?；诖艌?chǎng)定向控制策略，跟蹤控制最優(yōu)電磁力對(duì)應(yīng)的[q]軸參考電流，由圖7可知，跟蹤效果良好，魯棒性強(qiáng)。

為驗(yàn)證所提最優(yōu)控制方案對(duì)直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)輸出功率的提升效果，在同一場(chǎng)景下，將本文所提控制策略與文獻(xiàn)［15］所提傳統(tǒng)變分法控制策略、MPC控制策略、傳統(tǒng)主頻控制策略進(jìn)行仿真分析對(duì)比。由圖8可知，傳統(tǒng)主頻只考慮主導(dǎo)頻率，捕獲功率最低，約為510 W。MPC控制策略經(jīng)預(yù)測(cè)規(guī)劃后可保證系統(tǒng)安全運(yùn)行并提高捕獲功率，但存在多重因素約束，無法實(shí)現(xiàn)最大功率捕獲，約為840 W。傳統(tǒng)變分法控制策略能量泛函設(shè)置合理，單純考慮捕獲功率，故捕獲功率最高，約為1180 W。本文所提策略在能量泛函中加入懲罰項(xiàng)，捕獲功率約為1080 W，略低于傳統(tǒng)變分法。

分析圖9可知，傳統(tǒng)變分法控制策略電機(jī)銅耗最高（約為570 W），約占其捕獲功率的48%；本文控制策略約為280 W，約占其捕獲功率的26%；MPC控制策略約為180 W，約占其捕獲功率的21%；傳統(tǒng)主頻控制策略約為60 W，約占其捕獲功率的12%。由此可見，系統(tǒng)能量損失為無法忽視因素，須將其納入考慮。分析圖10可知，本文所提控制策略輸出平均功率最高，約為800 W；其次為MPC控制策略，約為660 W；而傳統(tǒng)變分法由于未考慮損耗，雖然捕獲功率最高，但最終輸出平均功率約為610 W，只比傳統(tǒng)主頻控制策略高；傳統(tǒng)主頻控制策略輸出平均功率最低，約為450 W。本文所提控制策略捕獲功率高、系統(tǒng)損耗小、輸出平均功率最高，表現(xiàn)最為優(yōu)越。

4 結(jié) 論

在不規(guī)則激勵(lì)力和水動(dòng)力參數(shù)影響下，針對(duì)直驅(qū)式波浪發(fā)電系統(tǒng)轉(zhuǎn)換能力低和損耗問題，構(gòu)造捕獲功率能量泛函，并統(tǒng)籌納入控制能量懲罰項(xiàng)，應(yīng)用變分法求取最優(yōu)控制律，設(shè)計(jì)EKF觀測(cè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。結(jié)果分析后，得出如下主要結(jié)論：

1）相比于傳統(tǒng)變分法控制策略，所提策略在捕獲功率低約8.5%的情況下，最高減少約51%的主要損耗，提高了約31%的輸出平均功率。

2）相比于MPC控制策略和傳統(tǒng)主頻控制策略，兩者輸出平均功率約占所提策略的82.5%和56.3%，所提策略對(duì)提升輸出平均功率效果明顯。

3）應(yīng)用EKF，無需速度傳感器，可有效觀測(cè)非線性輻射力狀態(tài)變量與浮子速度。

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POWER OPTIMIZATION OF DIRECT-DRIVE WAVE POWER

SYSTEM BASED ON VARIATIONAL METHOD FOR LOSS REDUCTION

Lin Bingjun1，Yang Junhua1，Lin Huijin2，Liang Huigai1，Wu Fantong1，Qiu Dalei1

（1. School of Automation， Guangdong University of Technology， Guangzhou 510006， China；

2. China Energy Engineering Group Guangdong Electric Power Design Institute Co.， Ltd， Guangzhou 510006， China）

Abstract：Aimed at improve the output power of the direct-drive wave power system under irregular excitation force， improve the capturing ability of wave energy and reduce the main loss of the system， combining the motor and hydrodynamic equations to build the mathematical model of the direct-drive wave power system. The energy functional was constructed based on the Variational method， and the optimal control law was obtained after solving the extreme value of the functional. Designing the Extended Kalman filter observer to observe the dependent state variables which are difficultly obtained by the system， and the coefficient of the penalty term of the functional is adjusted off-line to obtain the ideal reference current without increasing the overall computational burden. The Field Oriented control strategy is applied to track the ideal reference current， and the relationship between electrostatic force constraint and power capture is considered. The simulation results show that the proposed strategy has fast response and high observation accuracy， which can validly add the power capture capability， decrease the main loss of the system and add the output power.

Keywords：wave power； losses； wave energy conversion； the Variational method； power harvesting