齒面粗糙度對(duì)風(fēng)電齒輪箱行星輪系動(dòng)力學(xué)特性影響

摘 要：為研究齒面粗糙度對(duì)行星輪系動(dòng)力學(xué)特性的影響，提出行星輪系齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸分析與系統(tǒng)振動(dòng)位移耦合方法。以某型兆瓦級(jí)風(fēng)電齒輪箱行星輪系為研究對(duì)象，基于分形理論對(duì)輪齒粗糙表面進(jìn)行分形表征，通過齒輪副嚙合變形協(xié)調(diào)條件，構(gòu)建齒面動(dòng)態(tài)承載接觸狀態(tài)與構(gòu)件振動(dòng)位移、粗糙齒面嚙合誤差以及摩擦力的關(guān)聯(lián)關(guān)系，建立風(fēng)電齒輪箱行星輪系動(dòng)力學(xué)模型，分析粗糙齒面嚙合誤差與摩擦力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。結(jié)果表明：隨著粗糙度的增大，齒面載荷峰值與波動(dòng)幅值增大，動(dòng)態(tài)嚙合剛度幅值出現(xiàn)明顯波動(dòng)，均載性能降低；增大粗糙度會(huì)降低行星輪系臨界轉(zhuǎn)速，在低轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)，其具有激勵(lì)增振作用，而在臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域附近，其具有阻尼減振作用；摩擦力主要影響行星輪系各構(gòu)件振動(dòng)位移，可改變動(dòng)態(tài)嚙合力在少齒嚙合區(qū)的幅值。

關(guān)鍵詞：風(fēng)電機(jī)組；齒輪傳動(dòng)；動(dòng)力學(xué)；行星輪系；齒面載荷

中圖分類號(hào)：TM315" " " " " " " " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

行星輪系是用于傳遞力與運(yùn)行的重要機(jī)械傳動(dòng)裝置，具有承載能力大、傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于風(fēng)電齒輪箱。近年來，為降低度電成本，風(fēng)電機(jī)組逐漸朝10 MW以上超大型化發(fā)展，不僅要求齒輪箱行星輪系具有更大的承載能力，還要求更高的可靠性。研究表明［1-2］，齒面粗糙度會(huì)加劇齒輪磨損，增大系統(tǒng)振動(dòng)與噪聲，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致輪齒折斷，引發(fā)安全事故。因此，開展計(jì)入齒面粗糙度的行星輪系動(dòng)力學(xué)特性研究可為改善行星輪系嚙合特性提供理論指導(dǎo)，對(duì)提高傳動(dòng)系統(tǒng)可靠性、增大承載能力等提供重要參考。

行星輪系是一個(gè)典型的多點(diǎn)嚙合動(dòng)態(tài)接觸系統(tǒng)。多點(diǎn)嚙合主要體現(xiàn)在多個(gè)行星輪分別與太陽輪、內(nèi)齒圈同時(shí)嚙合，形成多對(duì)齒輪副同時(shí)嚙合，并且在同一對(duì)齒輪副中輪齒會(huì)周期性地嚙入和嚙出，形成多輪齒交替嚙合狀態(tài)。動(dòng)態(tài)接觸主要體現(xiàn)在齒輪嚙合過程中，粗糙齒面不僅會(huì)使齒輪副產(chǎn)生嚙合誤差，還會(huì)形成時(shí)變滑動(dòng)摩擦力［3］，使齒面受力復(fù)雜化，加之各構(gòu)件承載變形的綜合影響，會(huì)改變齒輪副嚙合剛度、動(dòng)態(tài)傳遞誤差等嚙合特性，進(jìn)而反饋影響各構(gòu)件變形，造成齒面動(dòng)態(tài)承載接觸狀態(tài)與系統(tǒng)振動(dòng)、齒面粗糙度的關(guān)聯(lián)關(guān)系復(fù)雜。國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)摩擦動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了深入研究。準(zhǔn)確獲取齒面摩擦系數(shù)是開展齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)摩擦動(dòng)力學(xué)分析的重要基礎(chǔ)。為此，文獻(xiàn)［4-5］通過分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提出混合彈流潤(rùn)滑狀態(tài)下的摩擦系數(shù)計(jì)算模型；徐海［6］根據(jù)非牛頓熱彈性潤(rùn)滑理論，提出基于彈性流體動(dòng)力潤(rùn)滑方法的齒面摩擦系數(shù)擬合公式；鄒玉靜等［7］推導(dǎo)了計(jì)入齒面粗糙度和動(dòng)載荷的總摩擦系數(shù)計(jì)算公式；周長(zhǎng)江等［8］推導(dǎo)了干摩擦下齒輪嚙合摩擦系數(shù)與沖擊摩擦力，并進(jìn)行了驗(yàn)證。隨后，Velex等［9］研究了粗糙齒面摩擦對(duì)直齒輪定軸輪系振動(dòng)特性的影響；文獻(xiàn)［10］建立了考慮齒面滑動(dòng)摩擦的直齒輪定軸輪系動(dòng)力學(xué)模型，分析了滑動(dòng)摩擦對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響；文獻(xiàn)［11-12］采用滑動(dòng)摩擦系數(shù)半解析法計(jì)算公式，計(jì)算了齒面摩擦力，并分析了其對(duì)直齒輪/斜齒輪定軸輪系振動(dòng)特性的影響；侯少帥等［13］采用節(jié)點(diǎn)有限元法建立了考慮齒面滑動(dòng)摩擦、時(shí)變嚙合剛度和嚙合誤差的人字齒行星輪系動(dòng)力學(xué)模型，研究了滑動(dòng)摩擦對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響；羅偉等［14］建立了考慮齒面滑動(dòng)摩擦、時(shí)變嚙合剛度的直齒輪行星輪系動(dòng)力學(xué)模型，分析了齒面滑動(dòng)摩擦對(duì)嚙合剛度與振動(dòng)響應(yīng)的影響，指出滑動(dòng)摩擦對(duì)行星輪系的影響不可忽略。

上述研究［9-14］雖然為分析粗糙齒面對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特的性影響提供了重要參考，但僅將粗糙齒面嚙合誤差與摩擦力、時(shí)變嚙合剛度等作為單向激勵(lì)作用于系統(tǒng)模型并求解響應(yīng)，無法反映齒輪嚙合過程中的動(dòng)態(tài)接觸現(xiàn)象。例如文獻(xiàn)［15-19］建立了計(jì)入動(dòng)態(tài)位移影響的定軸輪系動(dòng)態(tài)嚙合剛度、齒面動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力等計(jì)算模型，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)構(gòu)件動(dòng)態(tài)位移會(huì)影響齒面動(dòng)態(tài)接觸狀態(tài)。此外，針對(duì)斜齒輪行星輪系相關(guān)的動(dòng)力學(xué)研究較少，有待進(jìn)一步深入分析。為此，本文同時(shí)計(jì)入粗糙齒面嚙合誤差與摩擦力，考慮行星輪系多對(duì)齒輪副在動(dòng)態(tài)嚙合過程中嚙合激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，提出行星輪系齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸分析（dynamic loaded tooth contact analysis， DLTCA）模型，建立“嚙合激勵(lì)-系統(tǒng)振動(dòng)-反饋影響”相閉環(huán)的行星輪系動(dòng)力學(xué)分析方法，分析粗糙齒面嚙合誤差與摩擦力對(duì)斜齒輪行星輪系動(dòng)態(tài)特性的影響。

1 NGW行星輪系構(gòu)型

圖1所示為NGW行星輪系，主要由行星架、內(nèi)齒圈、太陽輪和行星輪組成。輸入扭矩[Tin]通過驅(qū)動(dòng)行星架旋轉(zhuǎn)，帶動(dòng)行星輪轉(zhuǎn)動(dòng)（內(nèi)齒圈固定），進(jìn)而驅(qū)動(dòng)太陽輪（負(fù)載[Tout]）。表1、表2分別為行星輪系齒輪參數(shù)及軸承支撐剛度參數(shù)，其中[kx]、[ky]、[kz]為軸承在[x]、[y]、[z]方向的平移支撐剛度（N/m），[kθx]、[kθy]、[kθz]為軸承繞[x]、[y]、[z]軸的扭轉(zhuǎn)支撐剛度（Nm/rad）。

2 行星輪系動(dòng)力學(xué)建模

2.1 斜齒輪副嚙合

為方便建模，假設(shè)太陽輪（s）、行星輪（p）以及內(nèi)齒圈（r）分別為具有6個(gè)自由度的剛體，如式（1）～式（3）所示，并且嚙合線始終在嚙合平面上移動(dòng)；假設(shè)行星架為具有6個(gè)自由度的剛體，其與行星輪之間的耦合方程可參考文獻(xiàn)［20］。如圖2所示，定義[osxsyszs]為太陽輪參考坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于太陽輪中心；[opixpiypizpi]為行星輪[i]參考坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于行星輪中心；[orxryrzr]為內(nèi)齒圈參考坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于內(nèi)齒圈中心。其中，[opixpiypizpi]跟隨行星架轉(zhuǎn)動(dòng)；[osxsyszs]和[orxryrzr]為固定坐標(biāo)系［21］。

[us=xsis+ysjs+zsksθs=θxsis+θysjs+θzsks] （1）

[upi=xpiipi+ypijpi+zpikpiθpi=θxpiipi+θypijpi+θzpikpi] （2）

[ur=xrir+yrjr+zrkrθr=θxrir+θyrjr+θzrkr] （3）

式中：[us（θs）]、[upi（θpi）]、[ur（θr）]——太陽輪、行星輪[i]、內(nèi)齒圈的平移（扭轉(zhuǎn)）振動(dòng)位移向量；[i]、[j]、[k]——構(gòu)件自身參考坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸的單位法向量；[x（θx）]、[y（θy）]、[z（θz）]——構(gòu)件振動(dòng)位移在自身參考坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸上的投影。

將太陽輪、行星輪以及內(nèi)齒圈的6個(gè)自由度振動(dòng)位移分別在太陽輪-行星輪嚙合接觸線上各接觸點(diǎn)、內(nèi)齒圈-行星輪嚙合接觸線上各接觸點(diǎn)進(jìn)行投影并疊加，可得太陽輪與行星輪[i]在嚙合平面上第[l]個(gè)接觸點(diǎn)的相對(duì)位移[δspi]、內(nèi)齒圈與行星輪[i]在嚙合平面上第[l]個(gè)接觸點(diǎn)的相對(duì)位移[δrpi]，如式（4）所示［21］。

[δspi=（us+θs×rspi_sl）-（upi+θpi×rspi_pil）Ispi_η⊥+θzcRbs-δespiδrpi=（upi+θpi×rrpi_pil）-（urtj+θrtj×rrpi_rl）Irpi_η⊥+θzcRbr-δerpi] （4）

式中：[rspi_sl]、[rspi_pil]——[os]、[opi]分別到對(duì)應(yīng)嚙合接觸線上第[l]個(gè)接觸點(diǎn)的位移矢量；[rrpi_pil]、[rrpi_rl]——[opi]、[or]分別到對(duì)應(yīng)嚙合接觸線上第[l]個(gè)接觸點(diǎn)的位移矢量；[Ispi_η⊥]、[Irpi_η⊥]——位于太陽輪-行星輪[i]嚙合平面上且垂直于接觸線方向的單位法向量、位于內(nèi)齒圈-行星輪[i]嚙合平面且垂直于接觸線方向的單位法向量；[δespi]、[δerpi]——太陽輪-行星輪[i]、內(nèi)齒圈-行星輪[i]嚙合誤差；[θzc]——行星架轉(zhuǎn)角；[Rbs]、[Rbr]——太陽輪、內(nèi)齒圈基圓半徑。

結(jié)合式（1）～式（4）可得在第[l]個(gè)接觸點(diǎn)時(shí)，[δspi]對(duì)應(yīng)的嚙合向量[Vs（Ml）]、[Vpi（Ml）]和[δrpi]對(duì)應(yīng)的嚙合向量[Vr（Ml）]、[Vpi（Ml）]如式（5）所示［21］。

[δspi=Vs（Ml）Vpi（Ml）T·XsXpi-δespiδrpi=Vr（Ml）Vpi（Ml）T·XrXpi-δerpi] （5）

其中：

[Xs=xs，ys，zs，θxs，θys，θzsTXpi=xpi，ypi，zpi，θxpi，θypi，θzpiTXr=xr，yr，zr，θxr，θyr，θzrT] （6）

2.2 斜齒輪副摩擦力

如圖3所示，根據(jù)齒輪嚙合原理可知，一對(duì)齒輪在進(jìn)入嚙合到退出嚙合的過程中，輪齒表面既存在相對(duì)滑動(dòng)，又存在相對(duì)滾動(dòng)，當(dāng)考慮齒面粗糙度和潤(rùn)滑狀態(tài)時(shí)，嚙合齒面會(huì)出現(xiàn)滑動(dòng)摩擦。作用在太陽輪-行星輪[i]、內(nèi)齒圈-行星輪[i]嚙合接觸線上的摩擦力與對(duì)應(yīng)的接觸力、摩擦系數(shù)密切相關(guān)，分別如式（7）、式（8）所示。

[Ff_spi_sFf_spi_pi=l=1nFf_spi（Ml）Vf_spi_s（Ml）l=1nFf_spi（Ml）Vf_spi_pi（Ml）] （7）

[Ff_rpi_rFf_rpi_pi=l=1nFf_rpi（Ml）Vf_rpi_r（Ml）l=1nFf_rpi（Ml）Vf_rpi_pi（Ml）] （8）

式中：[Vf_spi_s、][Vf_spi_pi]——[Ff_spi]分別投影至太陽輪、行星輪[i]參考坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸所對(duì)應(yīng)的系數(shù)，可參考文獻(xiàn)［21］；[Ff_spi]、[Ff_rpi]——太陽輪-行星輪[i]、內(nèi)齒圈-行星輪[i]嚙合接觸線上第[l]個(gè)接觸點(diǎn)的摩擦力，N；[Vf_rpi_r]、[Vf_rpi_pi]——[Ff_rpi]分別投影至內(nèi)齒圈、行星輪[i]參考坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸所對(duì)應(yīng)的系數(shù)，可參考文獻(xiàn)［21］。

式（7）、式（8）中的[Ff_spi]和[Ff_rpi]的表達(dá)式分別為：

[Ff_spi（Ml）=uf_spi（Ml）Fspi（Ml）Ff_rpi（Ml）=uf_rpi（Ml）Frpi（Ml）] （9）

式中：[uf_spi]、[uf_rpi]——太陽輪-行星輪[i]、內(nèi)齒圈-行星輪[i]嚙合接觸線上第[l]個(gè)接觸點(diǎn)的摩擦系數(shù)；[Fspi]、[Frpi]——太陽輪-行星輪[i]、內(nèi)齒圈-行星輪[i]嚙合接觸線上第[l]個(gè)接觸點(diǎn)的接觸力。

在齒輪嚙合過程中，齒面摩擦系數(shù)與轉(zhuǎn)速、齒面載荷分布等因素密切相關(guān)。本文采用徐海［6］提出的齒面摩擦系數(shù)擬合公式計(jì)算摩擦系數(shù)，即：

[uf=ef（Rs，Ph，v0，S）PvohRsb3Veb6vb70Rb8f（Rs，Ph，v0，S）=b1+b4Rsphlg（v0）+b5e-Rsphlg（v0）+b9es] （10）

式中：[Rs]——滑滾比；[Ph]——齒面最大赫茲接觸壓力，Pa；[v0]——潤(rùn)滑油動(dòng)力黏度，取[v]=275.2 mPa·s；[S]——齒面粗糙度均方根值；[b1～b9]——與潤(rùn)滑劑類型相關(guān)的系數(shù)，如表3所示；[Ve]——齒面相對(duì)滾動(dòng)速度，m/s；[R]——齒面法向等效曲率半徑，m。

根據(jù)嚙合接觸線上第[l]個(gè)接觸點(diǎn)的位置，可得式（10）中的[R]的表達(dá)式為：

[R=R1R2max（R1，R2）±m(xù)in（R1，R2）] （11）

式中：[R1]、[R2]——主、從動(dòng)輪在接觸線上第[l]個(gè)接觸點(diǎn)的等效曲率半徑，[R1=R1′/cosβb，][R2=R2′/cosβb]［3］；當(dāng)描述外嚙合時(shí)，[±]取[+]；反之，[±]取[-]。

式（10）中其他參數(shù)的計(jì)算表達(dá)式分別為：

[Ph=FE′2πRVs=ω1R1-ω2R2Va=ω1R1+ω2R22Rs=VaVe] （12）

式中：[F]——作用在單位長(zhǎng)度接觸線上的載荷；[E′]——等效弾性模量；[Vs]——滑動(dòng)速度；[ω1]、[ω2]——主、從動(dòng)輪角速度；[Va]——卷吸速度。

采用式（13）描述摩擦力方向變化。

[uf_spi（Ml）=ufsign（Vs_spi）uf_rpi（Ml）=ufsign（Vs_rpi）] （13）

式中：[Vs_spi]、[Vs_rpi]——太陽輪-行星輪[i]、內(nèi)齒圈-行星輪[i]嚙合接觸線上第[l]個(gè)接觸點(diǎn)的滑動(dòng)速度。

2.3 行星輪系動(dòng)力學(xué)模型

基于太陽輪、內(nèi)齒圈、行星架和行星輪節(jié)點(diǎn)自由度間耦合關(guān)系，定義系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)在自身參考坐標(biāo)下的廣義位移向量為：

[Xall=XTs，XTr，XTc，XTp1，…，XTpNpT] （14）

式中：[Xs]、[Xr]、[Xc]、[Xp]——太陽輪、內(nèi)齒圈、行星架和行星輪的廣義位移向量；[Np]——行星輪數(shù)量。

根據(jù)式（14）中各節(jié)點(diǎn)編號(hào)組裝各構(gòu)件質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及阻尼矩陣，可建立行星輪系動(dòng)力學(xué)模型：

[MallX··all+CallX·all+KallXall=Fall] （15）

式中：[Mall]、[Kall]、[Call]——系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣；[Fall]——系統(tǒng)激振力矩陣。

3 靜態(tài)傳遞誤差建模

圖4所示為理想和實(shí)際的齒輪齒廓曲線。為了考慮實(shí)際粗糙齒面，本文采用分形理論［22］對(duì)實(shí)際齒面粗糙度進(jìn)行建?！，F(xiàn)有采用分形理論描述粗糙表面的方法較多，如W-M函數(shù)法、分形插值法、逆傅里葉變化法等［23］，本文選用工程領(lǐng)域應(yīng)用較為成熟的W-M函數(shù)法構(gòu)造齒面粗糙度，如式（16）所示。

[z（s）=G（D-1）n=nl∞γ（D-2）ncos2πλγns] （16）

[D=1.515Ra0.088] （17）

[G=10-5.26Ra0.042] （18）

式中：[z（s）]——隨齒廓變化的粗糙表面輪廓高度；[G]——特征系數(shù)，與粗糙度[Ra]相關(guān)；[D]——分形維數(shù)；[nl]——最低截?cái)囝l率；[γ]——大于1的常數(shù)，一般認(rèn)為齒面波紋度、粗糙度近似滿足正態(tài)分布，故取[γ]=1.5；[λ]——粗糙度波長(zhǎng)，取經(jīng)驗(yàn)值[λ=1]；[n]——表面輪廓截?cái)囝l率；[Ra]——輪廓算術(shù)平均偏差。

假設(shè)沿齒寬方向的任意切片輪齒具有相同的輪廓高度，因此可將二維輪廓高度擴(kuò)展至三維情況；假設(shè)嚙合齒輪具有相同的微觀結(jié)構(gòu)，可得計(jì)入粗糙齒面輪廓影響的齒輪嚙合誤差為：

[δe=z（s1）+z（s2）] （19）

式中：[z（s1）]、[z（s2）]——相互嚙合輪齒的輪廓高度。

4 斜齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸模型

如圖5所示，將齒輪嚙合接觸線離散為一系列接觸點(diǎn)，在外力作用下，根據(jù)變形協(xié)調(diào)、力平衡以及非嵌入條件的原理，建立接觸點(diǎn)變形協(xié)調(diào)條件為：

[λbF+uc-Y=δ-ε] （20）

式中：[λb]——各接觸點(diǎn)的彎曲-剪切柔度系數(shù)矩陣；[F]——作用在嚙合接觸線上的載荷列向量；[uc]——各接觸點(diǎn)的接觸變形列向量；[Y]——各接觸點(diǎn)的剩余間隙列向量；[δ]——各接觸點(diǎn)的動(dòng)態(tài)傳遞誤差；[ε]——各接觸點(diǎn)的初始間隙列向量，本文僅考慮由粗糙齒面產(chǎn)生的嚙合誤差。

選用切片法理論計(jì)算[λb]［24］和[uc]［25］，其表達(dá)式分別為：

[λb=λkp11+λkg11…λkp1l+λkg1l…λkp1n+λkg1n?????λkpl1+λkgl1…λkpll+λkgll…λkpln+λkgln?????λkpn1+λkgn1…λkpnl+λkgnl…λkpnn+λkgnn] （21）

[uc=uc1，…，ucl，…，ucnTucl=FlπbE*lnπb3E*（ρp+ρg）2Flρpρg+1] （22）

式中：[λkpln]、[λkgln]——主、從動(dòng)輪對(duì)應(yīng)的接觸點(diǎn)[l]對(duì)接觸點(diǎn)[n]的彎曲-剪切柔度；[ucl]——接觸點(diǎn)[l]對(duì)應(yīng)的接觸變形；[Fl]——作用在接觸點(diǎn)[l]上的載荷；[b]——切片齒寬；[E*]——等效彈性模量；[ρ]——接觸點(diǎn)[l]對(duì)應(yīng)的等效曲率半徑。

此外，各接觸點(diǎn)還需滿足如下載荷判斷條件：

[Yl=0，" " "δlgt;εl，" " "Flgt;0Ylgt;0，" " "δl≤εl，" " " "Fl=0] （23）

根據(jù)式（20）定義，當(dāng)求解得到[F]后，可計(jì)算得到輪齒動(dòng)態(tài)嚙合剛度[ks，κ]、齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合剛度[ksp/rp]以及齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合力[Fsp/rp]，如式（24）所示。

[ks，κ=l=1nkl=l=1nFlδl-εlFs，κ=l=1nFlKsp/rp=s=1ceil（ξ）ks，κFsp/rp=s=1ceil（ξ）Fs，κ] （24）

式中：[kl]——接觸點(diǎn)[l]的動(dòng)態(tài)接觸剛度；[ξ]——重合度；[κ]——齒輪副中第k個(gè)輪齒。

5 齒輪副動(dòng)態(tài)接觸與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)耦合建模

為了建立“嚙合激勵(lì)-系統(tǒng)振動(dòng)-反饋影響”的閉環(huán)耦合過程，本文提出基于精細(xì)積分法（precise integration method， PIM）［26］的齒輪副動(dòng)態(tài)接觸與系統(tǒng)耦合振動(dòng)求解方法，如圖6所示。其基本思路是當(dāng)給定載荷參數(shù)、幾何參數(shù)與仿真參數(shù)后，首先基于預(yù)先給定的位移和速度向量初值，計(jì)算由各構(gòu)件動(dòng)態(tài)位移投影至各接觸點(diǎn)上所形成的相對(duì)位移[δdt+Δt（k）]（式（4）），同時(shí)根據(jù)行星輪轉(zhuǎn)角[θzpi，dt+Δt（k）]計(jì)算齒輪副彎曲-剪切柔度系數(shù)矩陣[λbdt+Δt（k）]（式（21））、靜態(tài)傳遞誤差[δedt+Δt（k）]（式（19））；然后求解式（20），得到作用在齒面各接觸點(diǎn)上的接觸力[Ffdt+Δt（k）]，基于此可得到各接觸點(diǎn)的摩擦系數(shù)（式（10））和摩擦力（式（7）～式（9））；最后根據(jù)更新后的各接觸點(diǎn)載荷（接觸力和摩擦力）與當(dāng)前時(shí)刻各構(gòu)件動(dòng)態(tài)位移和速度，利用PIM求解下一時(shí)刻系統(tǒng)響應(yīng)，并不斷重復(fù)上述迭代過程。在計(jì)算時(shí)，PIM仿真步長(zhǎng)取5×10-5 s，各接觸點(diǎn)載荷收斂容差[ξ]=1×10-3。

6 結(jié)果討論與分析

6.1 有限元模型驗(yàn)證

行星輪系動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算精度在很大程度上取決于齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸計(jì)算的準(zhǔn)確性。為了驗(yàn)證本文提出的齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸模型，建立局部的太陽輪-行星輪-內(nèi)齒圈嚙合有限元（finite element method， FEM）模型，如圖7所示。在有限元模型中齒面接觸設(shè)置為無摩擦接觸，驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)角[（θzc=0.2 rad）]

施加在剛性行星架上，負(fù)載（[Tout]=2.048×105 Nm）施加在太陽輪上，同時(shí)在齒圈螺栓孔處設(shè)置線性彈簧-阻尼邊界約束。將有限元模型計(jì)算得到的輪齒接觸力與本文模型（齒面光滑）進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示。

相比于局部的太陽輪-行星輪-內(nèi)齒圈嚙合有限元模型，本文模型計(jì)算得到的輪齒接觸力略有差異，但本文模型得到的輪齒接觸力整體變化趨勢(shì)和峰值位置與有限元模型結(jié)果一致，驗(yàn)證了本文模型的正確性。

6.2 粗糙齒面嚙合誤差影響

圖9所示為粗糙度分別為3 μm和6 μm時(shí)太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪嚙合誤差的模擬結(jié)果。圖10所示為粗糙度對(duì)太陽輪、行星輪以及內(nèi)齒圈振動(dòng)位移的影響。圖11所示為粗糙度對(duì)太陽輪-行星輪齒輪副嚙合剛度（[ksp]）、內(nèi)齒圈-行星輪齒輪副嚙合剛度（[ksp]）的影響。圖12所示為粗糙度對(duì)太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪嚙合輪齒接觸力影響。本節(jié)僅考慮粗糙齒面嚙合誤差對(duì)行星輪系的影響，忽略摩擦力的影響。

由圖9可知，隨著粗糙度的增大，太陽輪-行星輪嚙合誤差和內(nèi)齒圈-行星輪嚙合誤差幅值均增大。由圖10可知，隨著粗糙度的增大，各構(gòu)件振動(dòng)位移幅值均逐漸增大，主要影響與2倍嚙頻（[2fm]）和3倍嚙頻（[3fm]）相關(guān)的振動(dòng)分量。由圖11可知，隨著粗糙度的增大，齒輪副嚙合剛度不再光滑，會(huì)出現(xiàn)較多的“毛刺”，且同時(shí)參與嚙合的齒數(shù)越多，粗糙度對(duì)嚙合剛度的影響也越明顯。這主要是由于粗糙齒面會(huì)對(duì)嚙合接觸線上各接觸點(diǎn)產(chǎn)生非規(guī)則的位移激勵(lì)，造成齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合剛度出現(xiàn)劇烈波動(dòng)，并且同時(shí)參與嚙合的齒數(shù)越多，粗糙齒面位移激勵(lì)的累積效應(yīng)也越明顯。由圖12可知，當(dāng)齒面光滑時(shí)，輪齒接觸力沿齒寬方向分布較為均勻，并主要集中在少齒嚙合區(qū)；隨著粗糙度的增大，輪齒接觸力峰值和波動(dòng)幅值顯著增大，表明齒面粗糙度會(huì)加劇齒面動(dòng)載荷波動(dòng)，增大接觸疲勞失效風(fēng)險(xiǎn)。此外，過大的粗糙度還會(huì)增大嚙合脫齒風(fēng)險(xiǎn)（見圖12c）。

圖13所示為粗糙度對(duì)行星輪系均載系數(shù)的影響。由圖13可知，當(dāng)齒面光滑時(shí)，由于存在構(gòu)件變形、嚙合相位差等因素，最大均載系數(shù)約為1.068。隨著粗糙度的增大，均載系數(shù)呈非線性增大，例如當(dāng)粗糙度為3 μm時(shí)，最大均載系數(shù)約1為.088（增大了約1.87%），而當(dāng)粗糙度為6 μm時(shí)，最大均載系數(shù)約為1.117（增大了約4.59%），表明粗糙度會(huì)惡化行星輪系均載性能。

圖14所示為粗糙度對(duì)行星輪系動(dòng)態(tài)嚙合力的影響。由圖14可知，當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速在60～70 rad/s（臨界轉(zhuǎn)速附近）時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力幅值達(dá)到最大；當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速小于臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域時(shí)，隨著粗糙度的增大，動(dòng)態(tài)嚙合力幅值逐漸增大，表明此階段粗糙度起到激勵(lì)的作用；當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速在臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域附近時(shí)，隨著粗糙度的增大，動(dòng)態(tài)嚙合力幅值逐漸減小，表明此階段粗糙度起到阻尼的作用；此外，增大粗糙度會(huì)降低行星輪系臨界轉(zhuǎn)速。

6.3 粗糙齒面摩擦力影響

圖15所示為行星輪齒面摩擦力。圖16～圖19分別為摩擦力對(duì)行星輪系構(gòu)件振動(dòng)位移、動(dòng)態(tài)嚙合剛度、動(dòng)態(tài)嚙合力以及均載系數(shù)的影響?！盁o摩擦+[δe]=0 μm”表示齒面無摩擦力、齒面無粗糙度，即齒面光滑；“摩擦力+[δe]=0 μm”表示僅考慮粗糙齒面摩擦力（取Ra=3 μm），不考慮粗糙齒面嚙合誤差；“摩擦力+[δe≠]0 μm”表示同時(shí)考慮粗糙齒面摩擦力和嚙合誤差（取Ra=3 μm）。其中，同時(shí)考慮粗糙齒面摩擦力和嚙合誤差的基本思路是：首先，基于W-M函數(shù)法，構(gòu)造齒面粗糙度（式（16）），計(jì)算計(jì)入粗糙齒面輪廓影響的齒輪嚙合誤差（式（19））；其次，基于本文提出的行星輪系齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸分析方法，計(jì)算齒面離散節(jié)點(diǎn)的接觸力（式（20））；然后，計(jì)算齒面離散節(jié)點(diǎn)的摩擦系數(shù)和摩擦力（式（13））；最后，通過精細(xì)積分法求解下一時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)（圖6）。

由圖15可知，當(dāng)嚙合點(diǎn)沿齒廓移動(dòng)時(shí)，行星輪齒面摩擦力方向會(huì)在節(jié)線兩側(cè)發(fā)生變化，并且粗糙齒面摩擦力與嚙合誤差的疊加效應(yīng)會(huì)顯著增大行星輪齒面摩擦力峰值和波動(dòng)幅值。例如當(dāng)僅考慮粗糙齒面摩擦力時(shí)（圖15a），在太陽輪-行星輪、內(nèi)齒圈-行星輪嚙合中行星輪最大齒面摩擦力分別為628、252 N，但當(dāng)同時(shí)考慮粗糙齒面摩擦力和嚙合誤差時(shí)（圖15b），對(duì)應(yīng)的行星輪最大齒面摩擦力將分別增大73.57%、127.38%。由圖16可知，粗糙齒面摩擦力主要影響太陽輪和內(nèi)齒圈振動(dòng)位移的2倍嚙頻（[2fm]）和3倍嚙頻（[3fm]）振動(dòng)分量，而主要影響行星輪對(duì)應(yīng)的嚙頻（[fm]）振動(dòng)分量。其中，粗糙齒面摩擦力對(duì)各構(gòu)件振動(dòng)位移的影響規(guī)律并不完全一致，其主要原因是摩擦力會(huì)減少齒面接觸力［3］，形成含摩擦力的系統(tǒng)受力平衡，造成行星輪系受力更復(fù)雜。由圖17可知，嚙合誤差比摩擦力更容易影響齒輪副嚙合剛度，其主要原因是嚙合誤差可直接改變嚙合接觸線上各接觸點(diǎn)的相對(duì)位移，影響各接觸點(diǎn)動(dòng)態(tài)接觸剛度，而摩擦力垂直于動(dòng)態(tài)接觸力方向，對(duì)嚙合剛度影響較小。由圖18可知，摩擦力會(huì)明顯改變動(dòng)態(tài)嚙合力整體波形，尤其是在波谷區(qū)域（對(duì)應(yīng)少齒嚙合區(qū)）。由圖19可知，摩擦力對(duì)行星輪系均載性能影響較小，而嚙合誤差對(duì)其影響較大。

7 結(jié) 論

本文計(jì)入粗糙齒面嚙合誤差和摩擦力，提出齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸分析與系統(tǒng)振動(dòng)位移耦合方法，建立了“嚙合激勵(lì)-系統(tǒng)振動(dòng)-反饋影響”相閉環(huán)的行星輪系動(dòng)力學(xué)模型，分析了粗糙齒面嚙合誤差和摩擦力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，所得主要結(jié)論如下：

1）粗糙齒面嚙合誤差會(huì)顯著影響齒輪嚙合特性，隨著粗糙度的增大，齒面載荷峰值與波動(dòng)幅值顯著增大，動(dòng)態(tài)嚙合剛度出現(xiàn)明顯的“毛刺”；摩擦力方向會(huì)在節(jié)線兩側(cè)發(fā)生變化，但整體上對(duì)齒輪嚙合特性影響較小。

2）在粗糙齒面嚙合誤差作用下，增加粗糙度會(huì)增大行星輪系各構(gòu)件振動(dòng)位移，降低均載性能和系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速；在低轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)，粗糙齒面嚙合誤差具有激勵(lì)增振作用，而在臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域附近，則具有阻尼減振作用。

3）粗糙齒面摩擦力對(duì)行星系各構(gòu)件振動(dòng)位移的影響規(guī)律不完全一致，主要影響太陽輪和內(nèi)齒圈振動(dòng)位移的2倍、3倍嚙頻振動(dòng)分量以及行星輪對(duì)應(yīng)的嚙頻振動(dòng)分量；摩擦力會(huì)改變動(dòng)態(tài)嚙合力在少齒嚙合區(qū)的幅值。

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DYNAMIC CHARACTERISTICS OF PLANETARY GEAR TRAIN IN WIND TURBINE GEARBOX UNDER INFLUENCES OF TOOTH ROUGHNESS

Tan Jianjun1，Yang Shuyi1，Li Hao1，Sun Xiantian1，Zhu Caichao1，Sun Zhangdong2

（1. State Key Laboratory of Mechanical Transmission for Advanced Equipment， Chongqing University， Chongqing 400044， China；

2. Hubei University of Automotive Technology， Shiyan 442002， China）

Abstract：To investigate the influences of tooth roughness on the dynamic characteristics of the planetary gear train， a coupling method between the dynamic loaded-tooth contact analysis and vibration displacements of the planetary gear train is proposed. Taking the planetary gear train in the megawatt-level wind turbine gearbox as the research object， the fractal theory is used to characterize the rough tooth surface. Based on the compliance conditions of gear mesh deformations， the relationship among the dynamic loaded-tooth contact status， the component’s vibration displacements， mesh errors， and friction forces of the rough tooth is established. A dynamic model of the planetary gear train in the wind turbine gearbox is constructed， and the influences of mesh errors and friction forces of the rough tooth on the system's dynamic characteristics are analyzed. The results show that as the tooth roughness increases， the peak and fluctuation amplitude of the tooth surface load increase， and the dynamic mesh stiffness shows obvious serrations， resulting in reduced load-sharing performance. Increasing tooth roughness reduces the critical speed of the planetary gear train. In the low-speed region， tooth roughness has an excitation effect， while in the vicinity of the critical-speed region， it has a damping effect. Friction forces mainly affect the vibration displacement of each component in the planetary gear train and change the amplitude of the dynamic mesh force in the less-tooth meshing zone.

Keywords：wind turbines； gear transmissions； dynamics； planetary gear train； tooth load